黃 毅， 劉 輝,2， 陳胤奇， 項昌樂,2

(1.北京理工大學機械與車輛學院， 北京 100081；2.北京理工大學車輛傳動重點實驗室, 北京 100081)

引 言

靈敏度分析的概念起源于電路設計，為達到整體性能最佳，需找出對整體性能影響最大的那些原件。這就是電路設計中靈敏度分析的概念。齒輪傳動系統(tǒng)振動特性直接影響機械系統(tǒng)和機械裝備的性能和工作可靠性[1]，因此，研究齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)特性以及靈敏度分析具有重要意義。

機械結構靈敏度分析的目的是對結構進行動態(tài)優(yōu)化，主要包括固有頻率問題、振型問題和動力響應振幅問題。其中固有頻率問題和振型問題的靈敏度分析統(tǒng)稱固有特性靈敏度分析。早期文獻在研究系統(tǒng)動態(tài)特性時以研究固有特性為主，希望通過修改和優(yōu)化參數(shù)避免機械結構共振的發(fā)生或減小發(fā)生共振時的振型，以此為目的進行固有特性靈敏度分析能使參數(shù)修改和優(yōu)化更具目的性。R G Parker等以復合行星排為對象[2,3]，分別研究了調諧和失諧系統(tǒng)中固有特性對設計參數(shù)的靈敏度，并將其簡化成與應變能/動能成比例的表達式，僅獲得模態(tài)應變能/動能的情況下就能在定性和定量上獲得對某階模態(tài)影響最大的參數(shù)。文獻[4,5]建立集中質量模型，應用系統(tǒng)矩陣法推導了定軸齒輪系統(tǒng)純扭轉振動固有特性對實際系統(tǒng)模型參數(shù)的靈敏度公式。文獻[6]利用實模態(tài)理論計算分析了系統(tǒng)各階固有頻率對轉動慣量和剛度的靈敏度，得到了系統(tǒng)的固有頻率分布規(guī)律和物理參數(shù)對固有頻率的影響。

在車輛傳動系統(tǒng)中，由于發(fā)動機的工作轉速在一個相對較寬的范圍之內，有時不管如何對設計參數(shù)進行修改都不能將所有共振頻率移出到工作轉速之外；或者在某轉速下雖然發(fā)生了共振現(xiàn)象但共振幅值很小，此時不足以對車輛傳動系統(tǒng)造成破壞影響；更進一步的情況是對傳動系統(tǒng)振動特性的分析從線性領域擴展到非線性領域以后傳統(tǒng)的線性固有特性的概念不再存在。所有這些都要求對車輛系統(tǒng)動態(tài)特性的分析從固有特性的分析轉向關于動態(tài)響應的分析。目前對系統(tǒng)振動響應靈敏度的研究還基本停留在理論研究的階段，張義民等針對直接法和攝動法進行靈敏度分析時會產生長期項的問題[7]，在對靈敏度方程解耦的基礎上，結合傅里葉級數(shù)有效消除了長期項并給出了消除長期項判斷法則。林家浩等對簡單線性系統(tǒng)采用簡諧激勵和脈沖激勵分析了動態(tài)響應對設計參數(shù)的靈敏度[8]，但其方法仍是基于模態(tài)靈敏度的基礎上演化而來。在車輛傳動領域，劉輝等建立線性純扭轉集中質量模型[9]，并采用直接求導法推導了扭振角位移和軸段附加扭振應力對軸系剛度的靈敏度計算公式。但并未考慮彎曲方向對扭轉自由度的影響和耦合作用。在很多情況下，振動能量是在彎曲方向上通過軸承傳到箱體引起振動和噪聲。本文在純扭轉模型的基礎上考慮了軸和齒輪在彎曲方向上的彈性以及軸承的彈性作用，以線性彎扭耦合模型為基礎，進行附加扭轉力矩和軸承支反力對設計參數(shù)靈敏度研究，以獲得更為精確的計算結果，并對實際問題中基于響應靈敏度進行參數(shù)優(yōu)化和動力學修改等應用提供理論依據(jù)。

1 動力學方程組的建立

車輛傳動系統(tǒng)包括齒輪、軸承和離合器等部件，此處將不同部件用統(tǒng)一表達式進行表述。齒輪嚙合部分采用平均嚙合剛度，忽略綜合傳動誤差等參數(shù)激勵以及齒側間隙和偏心等非線性因素。采用拉格朗日法建立齒輪系統(tǒng)動力學方程組，每個質量點在3個自由度方向表達式如下式所示

(1)

式中x，y為平動位移；θ為扭轉位移；mj和Jj為質量點j質量和轉動慣量；Fb表示彎曲方向上同一根軸上各質量點間相互作用力，Tt表示兩質量點間扭轉力矩，F(xiàn)n表示質量點所承受的橫向作用力，如果質量點j為軸承，F(xiàn)n表示軸承支反力；如果質量點j為齒輪，F(xiàn)n表示齒輪嚙合力；如果質量點j為離合器，F(xiàn)n為零；Tn表示齒輪副嚙合力矩，當質量點j為軸承和離合器時，Tn為零，各量表達式如下：

如果質量點j為軸承，有

(6)

如果質量點j為齒輪，有

(7)

式中Rj為所在齒輪基圓半徑；Kij為第i根軸上第j個質量點的軸段彎曲剛度，Cij為相應軸段的彎曲阻尼；ktj-1j和ktjj+1為質量點j-1與j，j與j+1間軸段的扭轉剛度，ctj-1j和ctjj+1為相應扭轉阻尼；kxj和kyj為軸承支承剛度，cxj和cyj為相應支承阻尼；kmk和cmk為第k對齒輪副嚙合剛度和阻尼，以上剛度和阻尼均為不隨時間變化的定值；αk為第k對齒輪副主被動輪之間位置角，βk為其壓力角；Δk為第k對齒輪副嚙合線變化量，其表達式為

(8)

2 響應靈敏度方程組的建立

直接法求靈敏度物理概念明確，數(shù)學推導簡單，數(shù)值計算方便，又可進行從一階到高階的靈敏度分析，故采用直接求導法建立靈敏度方程組。將通用化動力學方程組對參數(shù)a進行求導，a為扭轉剛度、轉動慣量和軸承支承剛度等參數(shù)。對動力學方程組用直接求導法建立的靈敏度方程組(1)如下式

(9)

其中，各量表達式為

式(12)中當a=ktj-1j，有

當a≠ktj-1j有

如果質量點j為軸承，由式(6)可推得靈敏度方程

(13)

如果質量點j為齒輪，由式(7)可推得靈敏度方程

其中

(15)

3 算例分析

3.1 系統(tǒng)力學模型

利用集中參數(shù)法對某車輛傳動系統(tǒng)樣機進行建模。該樣機能實現(xiàn)8個前進擋位和4個倒擋，CH，BL，BR，C1，C2，C3，C4為換擋離合器，本文將以4擋為例進行靈敏度的分析，4擋為離合器BL和C4結合，其他離合器分離。另外系統(tǒng)還包括1個輸入慣量盤、2個輸出慣量盤、11個軸承、7個離合器、4對定軸齒輪副和2個簡單行星排共計42個質量點，每個質量點包括x，y和θ三個方向自由度共計126自由度，其動力學模型如圖1所示。

圖1 某樣機彎扭耦合振動模型

對如圖1所示傳動系統(tǒng)采用發(fā)動機輸入，發(fā)動機在全油門額定轉速，輸入轉速4 200 r/min，其輸入轉矩如圖2所示。對質量點32和42施加大小相等的負載。計算工況取4擋進行計算。根據(jù)式(4)可將響應的一次物理量θ轉化為各質量點間軸段的附加扭轉力矩。在系統(tǒng)輸入轉速為4 200 r/min時，各軸段附加扭轉力矩最大值的計算結果如圖3所示。可以看出附加扭轉力矩較大的軸段為20-21,24-25,25-26,26-27,27-29等5段軸。

圖2 發(fā)動機輸入轉矩

圖3 系統(tǒng)各軸段附加扭轉力矩波動幅值

3.2 軸段附加扭轉力矩對軸段扭轉剛度靈敏度

在工程實際中，通常采用調整軸段扭轉剛度的方法進行動力學修改。在進行軸段的選取時，首先選取前面5段附加扭轉力矩較大的軸段，一軸上選取1-2，s1-s2，21-22以及三軸上選取32-33，33-35，37-38，40-41，41-42共計13個軸段為對象研究其對各軸段扭轉剛度的靈敏度，設計參數(shù)選取了22段軸扭轉剛度。計算通過Matlab編程進行，每個靈敏度程序運行時間約7 min，總時間共計154 min。

根據(jù)式(12)定義的靈敏度，此時取a=kti進行軸段附加扭轉力矩對各軸段扭轉剛度靈敏度計算，其結果如圖4所示。

圖4 各質量點間軸段附加扭轉力矩對各扭轉剛度靈敏度

圖4所得結果是系統(tǒng)輸入端轉速為4 200 r/min，輸入轉矩為如圖2所示波形的情況下所得。其中x坐標為各軸段的扭轉剛度，y坐標為參與靈敏度比較的13段軸段代號。從左往右剖開來單獨看每一軸段對扭轉剛度的靈敏度，可以發(fā)現(xiàn)各軸段間靈敏度在趨勢上趨于一致，各軸段附加扭轉力矩對kt25-26的靈敏度高于對其他扭轉剛度的靈敏度。接下來對附加扭轉力矩影響較大的扭轉剛度有：kt 1-2，kt 2-3，kt s1-s2，kt c2-20，kt 24-25，kt 27-29，對這6個量的靈敏度基本處于同一數(shù)量級。從表1和圖1中可以看出同處在二軸的扭轉剛度kt 25-26和kt 29-31的大小明顯小于該軸上其他扭轉剛度的數(shù)值大小，但各軸段附加扭轉力矩僅對kt 25-26靈敏度高，而對kt 29-31靈敏度較低，通過觀察力矩的傳遞可以發(fā)現(xiàn)kt 25-26在傳遞路線上，kt 29-31不在傳遞路線上，結合同樣不在傳遞路線上的扭轉剛度kt 21-22，附加扭轉力矩對其靈敏度也較低，但kt 21-22本身數(shù)值并不明顯小于該軸上其他扭轉剛度，因此可以認為附加扭轉力矩對不在傳遞路線上的扭轉剛度靈敏度低。在一軸上扭轉剛度普遍較小， 從圖4上可以看出各軸段附加扭轉力矩對一軸上各扭轉剛度的靈敏度并沒有明顯高出其他靈敏度的情況出現(xiàn)。因此可以認為出現(xiàn)靈敏度數(shù)值較高的情況是由扭轉剛度較大的軸段中夾雜一個較小扭轉剛度的軸段引起的。

表1 軸段扭轉剛度列表

在比較不同軸段對同一扭轉剛度靈敏度時發(fā)現(xiàn)，不管選哪一扭轉剛度為對象，靈敏度高的情況始終出現(xiàn)在軸段20-21，24-25，25-26，26-27，27-29和37-38這6段軸上。從圖3可以看出，這6段軸的附加扭轉力矩較其他軸段的附加扭轉力矩高。

結合上面的分析，可以看出影響附加扭轉力矩對扭轉剛度靈敏度主要因素有兩點：其一是某一軸上是否存在扭轉剛度明顯小的軸段；其二，該軸段是否具有較大附加扭轉力矩。

3.3 軸段附加扭轉力矩對質量點慣量靈敏度

在設計階段，由于可以選擇系統(tǒng)中各部件的尺寸等參數(shù)來獲得對各質量點質量/慣量屬性的選取。因此往往將慣量作為可研究的宏觀參數(shù)進行靈敏度分析。在參數(shù)選取時，選取各軸承、齒輪的轉動慣量并將軸的慣量等效到各質量點上。對于行星傳動部分，選取了太陽輪、齒圈和行星架的質量進行靈敏度分析。設計參數(shù)選取了30個質量點轉動慣量，每個靈敏度程序運行時間約6 min,總時間共計180 min。其輸入條件如前所述，不同軸段附加扭轉力矩對各質量點慣量靈敏度如圖5所示。

圖5 各質量點間軸段附加扭轉力矩對各質量點轉動慣量靈敏度

在圖5中從左往右剖開來看每一軸段對各點慣量的靈敏度，可以發(fā)現(xiàn)各軸段間靈敏度在趨勢上趨于一致，只不過存在數(shù)值上的差異。在趨勢上各軸段對各質量點慣量的靈敏度數(shù)值較大的情況出現(xiàn)在J1,J2,J3,J4,Js1,Js2以及三軸上各質量點的慣量上。通過表2可以看出，以上慣量大小各異，并沒有同時大或者同時小的情況出現(xiàn)。因此，可以認為其靈敏度大小同軸系結構相關，與本身慣量的大小并無太大聯(lián)系，對附加扭轉力矩的影響較大的慣量出現(xiàn)在一個系統(tǒng)的輸入和輸出端。

表2 質量點慣量列表

而研究同一慣量對不同軸段的影響時，從圖中可以看出不管選哪一質量點慣量為對象，靈敏度高的情況始終出現(xiàn)在軸段20-21,24-25,25-26,26-27,27-29和37-38這6段軸上。而從圖3可以看出，這6段軸的附加扭轉力矩較其他軸段的附加扭轉力矩高。因此，可以認為不同軸段對同一慣量靈敏度與該軸段本身的附加扭轉力矩的大小相關，當該軸承受較大附加扭轉力矩時，其對慣量的靈敏度也較高。

3.4 純扭和彎扭模型下軸段附加扭轉力矩對設計參數(shù)靈敏度比較

為了解在彎扭模型下靈敏度規(guī)律同純扭模型的區(qū)別，采用文獻[9]中的方法對本文研究對象建立了純扭模型。純扭模型下，系統(tǒng)動力學方程(1)變成為下式

(16)

其中，Tt定義同式(4)和(5)。如果質量點j為軸承，有

Tnj=0

如果質量點j為齒輪，有

此時有

Δk=R2k-1θ2k-1+R2kθ2k

相應的，靈敏度方程(9)變成

(17)

其中，?Tt/?a定義同式(12)。如果質量點j為軸承，有

如果質量點j為齒輪，有

此時有

以質量點20和21間軸段附加力矩為例，在純扭轉模型和彎扭耦合模型下對各軸段扭轉剛度和質量點慣量靈敏度如圖6(a)和圖6(b)所示。

圖6 純扭和彎扭模型下靈敏度比較

從圖6(a)可以看出，在趨勢上，質量點20和21間軸段附加扭轉力矩對各扭轉剛度的靈敏度在純扭模型和彎扭下規(guī)律和趨勢一致，其附加扭轉力矩對各質量點慣量靈敏度如圖6(b)所示，也能得出相同結論；但是具體到數(shù)值大小，彎扭模型下由于考慮了軸、軸承以及齒輪的彎曲變形，其靈敏度值小于將以上因素考慮為剛體的純扭模型。表3中給出了質量點20-21間的軸段附加扭轉力矩對各扭轉剛度的靈敏度在純扭和彎扭模型的情況下動態(tài)靈敏度的各自幅值以及它們的對比信息，可以看出對于大部分靈敏度在彎扭模型下的計算結果比在純扭模型下的計算結果小10%～20%。其他軸段的情況也類似，在此不在贅述。

表3 不同模型中軸段20-21間附加扭轉力矩對扭轉剛度靈敏度幅值比較

因此可以認為將彎曲方向上考慮為彈性體時的彎扭耦合模型計算出來的靈敏度是小于將彎曲方向上考慮為剛體時的純扭轉模型計算出來的靈敏度，加上彎曲方向的彈性后一部分能量會轉移到彎曲方向上，因此減小了扭轉方向上設計參數(shù)對附加扭轉力矩的影響。

3.5 軸承支反力對軸承支承剛度靈敏度分析

車輛傳動系統(tǒng)在工作過程中振動和噪聲不僅在扭轉方向上存在，在橫向上同樣存在。橫向上的力是造成箱體變形的主要因素，其對齒輪傳動系統(tǒng)的穩(wěn)定性和安全性造成一定程度的影響。

公式(6)對軸承支承剛度ki求偏導可獲得支反力對軸承支承剛度靈敏度。當i≠j時，表達式即為公式(13)所示；當i=j時有

(18)

根據(jù)式(13)和(18)計算樣機中11處軸承所受支反力對支承剛度的靈敏度，計算結果如圖7所示。

圖7 各軸承支反力對支承剛度靈敏度

根據(jù)圖7以某一軸承支反力對支承剛度的靈敏度為例發(fā)現(xiàn)，軸承支反力首先是對軸承本身的支承剛度靈敏度高，除此之外就整個系統(tǒng)而言各支反力對軸承3、軸承5、軸承6、軸承7、軸承9、軸承10支承剛度靈敏度較高。對于軸承1和軸承2而言，它們的支反力對另外9個軸承的支承剛度靈敏度都較低；對軸承1支反力影響較大的支承剛度是軸承1本身和軸承2的支承剛度，對軸承2支反力影響較大的支承剛度是軸承2本身；對于一軸左側的兩軸承，軸承3支承剛度對各支反力的影響明顯大于軸承4；對于二軸上三軸承而言，它們對各支反力影響都較大，其中軸承6支承剛度對二軸上其他兩軸承以及三軸上部分軸承的支反力都有較大影響；對于三軸上四軸承的支承剛度而言，中間兩軸承即軸承9和軸承10對三軸上各支反力都有較大影響。

因此，調整某軸承支反力首先是考慮到該軸承本身的支承剛度，除此之外對整個系統(tǒng)而言影響較大的支承剛度有軸承3、軸承6、軸承9、軸承10；對于軸承1和軸承2的支反力而言，它們對另外9個軸承的支承剛度都不敏感，其中軸承2的支承剛度對兩者影響大于軸承1。

結合各軸承支反力的大小發(fā)現(xiàn)，本身支反力大的軸承對各支承剛度的靈敏度也相對較大。從能量的角度出發(fā)來看，在某些設計參數(shù)變化之后能量大的軸承能量變化率也較大，這同之前扭轉方向上靈敏度結論相同。不同之處在于彎曲方向上，各軸承支反力還和同一軸上各質點之間力的相互制約相關，這種情況下除了本身支承剛度對自身支反力影響較大還需要找出系統(tǒng)中對其他軸承支反力影響較大的軸承支承剛度。

3.6 軸承支反力對各點質量靈敏度

除了上述因素，也對各點質量對軸承支反力的影響進行了分析，其結果如圖8所示。

圖8 各軸承支反力對各點質量靈敏度

根據(jù)圖8以某一軸承支反力對各點質量的靈敏度為例發(fā)現(xiàn)，對各支反力影響較大的質量點包括m1，m2，m3，m4，ms1，ms2以及三軸上從m32到m42的各點質量。這同各質量點慣量對扭轉力矩的影響規(guī)律類似。以某一質量為例研究對各支反力的影響發(fā)現(xiàn)，影響最大的支反力有軸承3、軸承4、軸承5、軸承6、軸承7、軸承10、軸承11，且各質量的規(guī)律類似。

因此，為改變各軸承支反力調整各點質量的規(guī)律和扭轉方向的規(guī)律類似。改變質量/慣量參數(shù)同時對扭轉方向的力矩和彎曲方向的力都能起到較大作用。

4 結 論

本文以某樣機系統(tǒng)為研究對象，建立了包含彎曲和扭轉方向自由度的動力學模型，并考慮兩個方向的耦合作用。通過拉格朗日法建立多自由度動力學方程組，并采用直接求導法獲得靈敏度方程組，分別從橫向和縱向分析軸段附加扭轉力矩和軸承支反力對剛度和質量/慣量的靈敏度，結論如下：

1)考慮了軸、軸承和齒輪彎曲變形的彎扭耦合系統(tǒng)計算出來的附加扭轉力矩對設計參數(shù)靈敏度與純扭模型大小排序規(guī)律類似，但是由于彎曲方向上考慮為彈性以后的耦合作用，一部分能量分配到彎曲方向上造成彎扭耦合模型的靈敏度數(shù)值略小于相對應純扭模型的數(shù)值。

2)影響附加扭轉力矩對扭轉剛度靈敏度主要因素有兩點：其一是某一軸上是否存在扭轉剛度明顯小的軸段；其二，該軸段是否具有較大附加扭轉力矩。

3)附加扭轉力矩對各質量點慣量的靈敏度和軸承支反力對各點質量的靈敏度規(guī)律類似，本身的力/力矩大，其對同一質量/慣量參數(shù)靈敏度較大；從本文來看,對某一軸段附加扭轉力矩/軸承支反力影響大的質量點位于輸入和輸出附近的各質量點。

4)從各軸承支反力對各軸承支承剛度的靈敏度來看，影響最大的首先是各軸承本身的支承剛度；其次由于同一軸上各點在彎曲方向上的力互相作用，因此需要找出對整個系統(tǒng)各軸承支反力影響最大的那幾個軸承支承剛度，如本文系統(tǒng)中的軸承3、軸承6、軸承9、軸承10的支承剛度。

5)從能量的角度來看，能量大的各軸段(扭轉方向附加扭轉力矩)或軸承(彎曲方向支反力)對某一設計參數(shù)的靈敏度也越大。

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