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        新四維超混沌系統(tǒng)分析與仿真研究

        2014-04-01 02:03:10周小勇韓曉新
        機(jī)電信息 2014年33期
        關(guān)鍵詞:電路仿真原理圖加密

        周小勇 韓曉新

        (江蘇理工學(xué)院電氣信息工程學(xué)院,江蘇 常州213001)

        0 引言

        現(xiàn)今混沌理論正由基礎(chǔ)研究向工程應(yīng)用發(fā)展,并取得了很大突破,如在保密通信、圖像加密等信息安全領(lǐng)域的應(yīng)用。但研究表明,在混沌加密的保密通信中,采用低維混沌信號實施加密往往容易被破譯,而采用高維的超混沌信號卻難以破譯[1-2]。因相比于三維混沌系統(tǒng),高維混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號具有較寬的頻率特性,難以被濾波器有效濾除,其動力學(xué)行為比一般混沌系統(tǒng)更為復(fù)雜,用其進(jìn)行信息加密具有更好的安全性能,因此,圍繞超混沌信號產(chǎn)生與應(yīng)用的研究成為混沌動力學(xué)的熱點之一。對于超混沌信號生成的研究,人們早已關(guān)注,目前較為有效的方法是在現(xiàn)有三維混沌系統(tǒng)基礎(chǔ)上,通過增加一個狀態(tài)反饋控制器或一個外部激勵來獲得超混沌[2-3]。

        本文提出了一個新的四維超混沌系統(tǒng),研究了該四維系統(tǒng)的基本動力學(xué)特性,驗證了系統(tǒng)的超混沌特性。最后設(shè)計了該超混沌系統(tǒng)的電路原理圖,并進(jìn)行了電路仿真實驗,證實了該系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性。

        1 新四維超混沌系統(tǒng)描述與理論分析

        1.1 新四維超混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

        本文提出的新四維混沌系統(tǒng),其數(shù)學(xué)模型描述為:

        其中,a、b、c和d 是實常數(shù)。當(dāng)a=25、b=25、c=15和d=20時,系統(tǒng)存在一個典型的混沌吸引子,如圖1所示。由吸引子相圖可以發(fā)現(xiàn),相圖中的軌線在特定的吸引域內(nèi)具有遍歷性。這個混沌吸引子與現(xiàn)有的典型混沌系統(tǒng)的吸引形狀完全不同,如Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Lü系統(tǒng)、Liu系統(tǒng)以及Qi系統(tǒng)等[4-8]。

        1.2 系統(tǒng)混沌特性基本理論分析

        本文所提出的混沌系統(tǒng),其吸引子具有一般混沌吸引所具有的對稱性及坐標(biāo)變化不變性,即(x,y,z,u)→(-x,-y,z,-u)變換下具有不變性,系統(tǒng)的相圖關(guān)于z軸對稱,這種對稱對系統(tǒng)所有參數(shù)均成立,系統(tǒng)具有對稱性。另外,當(dāng)令系統(tǒng)(1)[指式(1)所表示的混沌模型]的右邊等于0時,解得系統(tǒng)唯一平衡點為s0=(0,0,0,0),把系統(tǒng)(1)在平衡點s0=(0,0,0,0)處線性化,得Jacobi矩陣J0。

        圖1 系統(tǒng)混沌吸引子相圖

        當(dāng)a=25、b=25、c=15和d=20時,可由J0得系統(tǒng)的特征方程f(λ)=0,并計算出平衡點s0處的特征值λ1=-25、λ2=14.933、λ3=0.067及λ4=-20,特征值中2個為正,2個為負(fù),因此平衡點s0是一個不穩(wěn)定的鞍點。

        對于混沌系統(tǒng),還可采用Lyapunov指數(shù)(LE)描述動力學(xué)特性,特別是最大LE,它是判斷系統(tǒng)是否為混沌的重要特征量[2]。目前有關(guān)計算系統(tǒng)最大LE的方法有多種,本文采用奇異值分解的計算方法得系統(tǒng)(1)的4個LE,分別為LE1=2.228 7、LE2=0.179 8、LE3=-0.225 7和LE4=-40.409 1,其中2個為正,說明該系統(tǒng)的動力學(xué)狀態(tài)為混沌狀態(tài)且為超混沌狀態(tài)。在此基礎(chǔ)上,還可計算出系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù),由前面所得LE,采用式(2)計算得最終結(jié)果。該結(jié)果說明該系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為分?jǐn)?shù)維數(shù),進(jìn)一步證明系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)。

        值得關(guān)注的是,本文提出的超混沌系統(tǒng)在系統(tǒng)參數(shù)取一些特定值時,會呈現(xiàn)出一些較為奇特的吸引子結(jié)構(gòu)圖(圖2)。當(dāng)a=1而其他參數(shù)保持不變時,系統(tǒng)y-z相圖如圖2(a)所示,系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)為復(fù)雜的周期狀態(tài);當(dāng)c=7.5而其他參數(shù)不變時,系統(tǒng)x-z相圖如圖2(b)所示,系統(tǒng)吸引子結(jié)構(gòu)形如2片羽毛。

        圖2 a,c取特定值時系統(tǒng)的相圖

        2 新系統(tǒng)參數(shù)敏感性仿真研究

        對于混沌系統(tǒng)參數(shù)敏感性的研究,為了直觀地描述出參數(shù)變化時系統(tǒng)動力學(xué)狀態(tài)變化特征,采用LE譜和分岔圖相結(jié)合的圖示法進(jìn)行仿真研究。因篇幅所限,本文僅研究a變化對系統(tǒng)狀態(tài)的影響,即固定b=25、c=15和d=20,只改變a,當(dāng)a∈[0,28.5]變化時,系統(tǒng)的LE譜以及系統(tǒng)狀態(tài)y分岔圖如圖3所示。對于四維系統(tǒng),當(dāng)有一個LE>0時,系統(tǒng)處于混沌狀態(tài);而當(dāng)系統(tǒng)存在2個LE>0時,系統(tǒng)就處于超混沌狀態(tài)[3,9]。由圖3(a)不難發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的LE隨a變化的特征,LE譜圖表明系統(tǒng)隨著a的增大由周期狀態(tài)到超混沌狀態(tài)再到混沌狀態(tài)及周期狀態(tài)的演化過程,系統(tǒng)的狀態(tài)及Lyapunov指數(shù)如表1所示。圖3(b)的|y|-a分岔圖也說明了系統(tǒng)的這一演化過程。至于其他參數(shù),也可采用這一方法進(jìn)行仿真研究。

        圖3 系統(tǒng)隨a變化時的LE譜和分岔圖

        表1 參數(shù)變化時系統(tǒng)狀態(tài)及對應(yīng)Lyapunov指數(shù)

        從以上分析可知,參數(shù)a的變化影響著系統(tǒng)的狀態(tài),系統(tǒng)有著十分豐富的混沌動力學(xué)行為特征。

        3 系統(tǒng)電路設(shè)計與仿真實驗

        根據(jù)混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型設(shè)計出其電路原理圖,采用相應(yīng)的電子元器件構(gòu)建其物理電路,具體如圖4所示,即采用線性電阻、線性電容、運(yùn)算放大器和模擬乘法器來實現(xiàn)。運(yùn)算放大器采用LM741,主要完成加、減和積分運(yùn)算,模擬乘法器采用AD633,實現(xiàn)系統(tǒng)的非線性項。仿真實驗所采用軟件為Multisim,仿真結(jié)果如圖5所示,表明電路仿真與數(shù)值仿真非常吻合。上述理論分析和仿真實驗證實,本文提出的四維自治非線性系統(tǒng)是一個新的超混沌系統(tǒng),它具有一切超混沌系統(tǒng)的共同特征。

        圖4 系統(tǒng)電路原理圖

        圖5 系統(tǒng)電路仿真混沌吸引子相圖

        4 結(jié)語

        本文提出了一種新的四維超混沌系統(tǒng),通過理論分析、數(shù)值仿真、Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖等,證實了該系統(tǒng)可以產(chǎn)生超混沌現(xiàn)象,并重點分析了參數(shù)變化對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響,給出了隨系統(tǒng)參數(shù)變化的LE譜和分岔圖。最后,設(shè)計了該超混沌系統(tǒng)的電子電路,并進(jìn)行了電路的EWB仿真實驗,仿真結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果十分吻合,表明了該超混沌系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性,所以,該超混沌系統(tǒng)在弱信號檢測和數(shù)據(jù)加密等領(lǐng)域中有著潛在的應(yīng)用價值。

        [1]禹思敏,丘水生,林清華.多渦卷混沌吸引子研究的新結(jié)果[J].中國科學(xué) E輯,2003(4)

        [2]陳關(guān)榮,呂金虎.Lorenz系統(tǒng)族的動力學(xué)分析、控制與同步[M].北京:科學(xué)出版社,2003

        [3]唐良瑞,李靜,樊冰.一個新四維自治超混沌系統(tǒng)及其電路實現(xiàn)[J].物理學(xué)報,2009(3)

        [4]Lorenz E N.Deterministic nonperiodic flow[J].J Atmos Sci,1963(20)

        [5]Chen G R,Ueta T.Yet another chaotic attracror[J].Int J Bifur Chaos,1999(9)

        [6]LüJ,Chen G.A new chaotic attractor coined[J].Int J Bifur Chaos,2002(3)

        [7]Liu C X,Liu T,Liu L,et al.A new chaotic attractor[J].Chaos,Solitons and Fractals,2004(22)

        [8]Qi G Y,Du S Z,Chen G R,et al.Analysis of a new chaotic system[J].Physica A:Statistical Mechanics and Its Applications,2005(352)

        [9]周小勇.一種具有恒Lyapunov指數(shù)譜的混沌系統(tǒng)及其電路仿真[J].物理學(xué)報,2011(10)

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