周小勇 韓曉新

（江蘇理工學院電氣信息工程學院，江蘇 常州213001）

0 引言

現(xiàn)今混沌理論正由基礎研究向工程應用發(fā)展，并取得了很大突破，如在保密通信、圖像加密等信息安全領域的應用。但研究表明，在混沌加密的保密通信中，采用低維混沌信號實施加密往往容易被破譯，而采用高維的超混沌信號卻難以破譯［1－2］。因相比于三維混沌系統(tǒng)，高維混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌信號具有較寬的頻率特性，難以被濾波器有效濾除，其動力學行為比一般混沌系統(tǒng)更為復雜，用其進行信息加密具有更好的安全性能，因此，圍繞超混沌信號產(chǎn)生與應用的研究成為混沌動力學的熱點之一。對于超混沌信號生成的研究，人們早已關注，目前較為有效的方法是在現(xiàn)有三維混沌系統(tǒng)基礎上，通過增加一個狀態(tài)反饋控制器或一個外部激勵來獲得超混沌［2－3］。

本文提出了一個新的四維超混沌系統(tǒng)，研究了該四維系統(tǒng)的基本動力學特性，驗證了系統(tǒng)的超混沌特性。最后設計了該超混沌系統(tǒng)的電路原理圖，并進行了電路仿真實驗，證實了該系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性。

1 新四維超混沌系統(tǒng)描述與理論分析

1.1 新四維超混沌系統(tǒng)的數(shù)學模型

本文提出的新四維混沌系統(tǒng)，其數(shù)學模型描述為：

其中，a、b、c和d 是實常數(shù)。當a＝25、b＝25、c＝15和d＝20時，系統(tǒng)存在一個典型的混沌吸引子，如圖1所示。由吸引子相圖可以發(fā)現(xiàn)，相圖中的軌線在特定的吸引域內具有遍歷性。這個混沌吸引子與現(xiàn)有的典型混沌系統(tǒng)的吸引形狀完全不同，如Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Lü系統(tǒng)、Liu系統(tǒng)以及Qi系統(tǒng)等［4－8］。

1.2 系統(tǒng)混沌特性基本理論分析

本文所提出的混沌系統(tǒng)，其吸引子具有一般混沌吸引所具有的對稱性及坐標變化不變性，即（x，y，z，u）→（－x，－y，z，－u）變換下具有不變性，系統(tǒng)的相圖關于z軸對稱，這種對稱對系統(tǒng)所有參數(shù)均成立，系統(tǒng)具有對稱性。另外，當令系統(tǒng)（1）［指式（1）所表示的混沌模型］的右邊等于0時，解得系統(tǒng)唯一平衡點為s0＝（0，0，0，0），把系統(tǒng)（1）在平衡點s0＝（0，0，0，0）處線性化，得Jacobi矩陣J0。

圖1 系統(tǒng)混沌吸引子相圖

當a＝25、b＝25、c＝15和d＝20時，可由J0得系統(tǒng)的特征方程f（λ）＝0，并計算出平衡點s0處的特征值λ1＝－25、λ2＝14.933、λ3＝0.067及λ4＝－20，特征值中2個為正，2個為負，因此平衡點s0是一個不穩(wěn)定的鞍點。

對于混沌系統(tǒng)，還可采用Lyapunov指數(shù)（LE）描述動力學特性，特別是最大LE，它是判斷系統(tǒng)是否為混沌的重要特征量［2］。目前有關計算系統(tǒng)最大LE的方法有多種，本文采用奇異值分解的計算方法得系統(tǒng)（1）的4個LE，分別為LE1＝2.228 7、LE2＝0.179 8、LE3＝－0.225 7和LE4＝－40.409 1，其中2個為正，說明該系統(tǒng)的動力學狀態(tài)為混沌狀態(tài)且為超混沌狀態(tài)。在此基礎上，還可計算出系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)，由前面所得LE，采用式（2）計算得最終結果。該結果說明該系統(tǒng)的Lyapunov維數(shù)為分數(shù)維數(shù)，進一步證明系統(tǒng)為混沌系統(tǒng)。

值得關注的是，本文提出的超混沌系統(tǒng)在系統(tǒng)參數(shù)取一些特定值時，會呈現(xiàn)出一些較為奇特的吸引子結構圖（圖2）。當a＝1而其他參數(shù)保持不變時，系統(tǒng)y－z相圖如圖2（a）所示，系統(tǒng)運動狀態(tài)為復雜的周期狀態(tài)；當c＝7.5而其他參數(shù)不變時，系統(tǒng)x－z相圖如圖2（b）所示，系統(tǒng)吸引子結構形如2片羽毛。

圖2 a,c取特定值時系統(tǒng)的相圖

2 新系統(tǒng)參數(shù)敏感性仿真研究

對于混沌系統(tǒng)參數(shù)敏感性的研究，為了直觀地描述出參數(shù)變化時系統(tǒng)動力學狀態(tài)變化特征，采用LE譜和分岔圖相結合的圖示法進行仿真研究。因篇幅所限，本文僅研究a變化對系統(tǒng)狀態(tài)的影響，即固定b＝25、c＝15和d＝20，只改變a，當a∈［0，28.5］變化時，系統(tǒng)的LE譜以及系統(tǒng)狀態(tài)y分岔圖如圖3所示。對于四維系統(tǒng)，當有一個LE＞0時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；而當系統(tǒng)存在2個LE＞0時，系統(tǒng)就處于超混沌狀態(tài)［3，9］。由圖3（a）不難發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的LE隨a變化的特征，LE譜圖表明系統(tǒng)隨著a的增大由周期狀態(tài)到超混沌狀態(tài)再到混沌狀態(tài)及周期狀態(tài)的演化過程，系統(tǒng)的狀態(tài)及Lyapunov指數(shù)如表1所示。圖3（b）的｜y｜－a分岔圖也說明了系統(tǒng)的這一演化過程。至于其他參數(shù)，也可采用這一方法進行仿真研究。

圖3 系統(tǒng)隨a變化時的LE譜和分岔圖

表1 參數(shù)變化時系統(tǒng)狀態(tài)及對應Lyapunov指數(shù)

從以上分析可知，參數(shù)a的變化影響著系統(tǒng)的狀態(tài)，系統(tǒng)有著十分豐富的混沌動力學行為特征。

3 系統(tǒng)電路設計與仿真實驗

根據(jù)混沌系統(tǒng)的數(shù)學模型設計出其電路原理圖，采用相應的電子元器件構建其物理電路，具體如圖4所示，即采用線性電阻、線性電容、運算放大器和模擬乘法器來實現(xiàn)。運算放大器采用LM741，主要完成加、減和積分運算，模擬乘法器采用AD633，實現(xiàn)系統(tǒng)的非線性項。仿真實驗所采用軟件為Multisim，仿真結果如圖5所示，表明電路仿真與數(shù)值仿真非常吻合。上述理論分析和仿真實驗證實，本文提出的四維自治非線性系統(tǒng)是一個新的超混沌系統(tǒng)，它具有一切超混沌系統(tǒng)的共同特征。

圖4 系統(tǒng)電路原理圖

圖5 系統(tǒng)電路仿真混沌吸引子相圖

4 結語

本文提出了一種新的四維超混沌系統(tǒng)，通過理論分析、數(shù)值仿真、Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖等，證實了該系統(tǒng)可以產(chǎn)生超混沌現(xiàn)象，并重點分析了參數(shù)變化對系統(tǒng)動力學特性的影響，給出了隨系統(tǒng)參數(shù)變化的LE譜和分岔圖。最后，設計了該超混沌系統(tǒng)的電子電路，并進行了電路的EWB仿真實驗，仿真結果與數(shù)值仿真結果十分吻合，表明了該超混沌系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性，所以，該超混沌系統(tǒng)在弱信號檢測和數(shù)據(jù)加密等領域中有著潛在的應用價值。

［1］禹思敏，丘水生，林清華.多渦卷混沌吸引子研究的新結果［J］.中國科學 E輯，2003（4）

［2］陳關榮，呂金虎.Lorenz系統(tǒng)族的動力學分析、控制與同步［M］.北京：科學出版社，2003

［3］唐良瑞，李靜，樊冰.一個新四維自治超混沌系統(tǒng)及其電路實現(xiàn)［J］.物理學報，2009（3）

［4］Lorenz E N.Deterministic nonperiodic flow［J］.J Atmos Sci，1963（20）

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［8］Qi G Y，Du S Z，Chen G R，et al.Analysis of a new chaotic system［J］.Physica A：Statistical Mechanics and Its Applications，2005（352）

［9］周小勇.一種具有恒Lyapunov指數(shù)譜的混沌系統(tǒng)及其電路仿真［J］.物理學報，2011（10）