吳灶全，陳熹，婁艷陽，陳杰，劉正春

(中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，生物醫(yī)學(xué)工程研究所，湖南 長沙，410083)

生物芯片是通過平面微細(xì)加工技術(shù)在固體芯片表面構(gòu)建的微流體分析單元和系統(tǒng)，以實現(xiàn)對細(xì)胞、蛋白質(zhì)、核酸以及其他生物組分的準(zhǔn)確、快速、大信息量的檢測，具有多通道、高通量、并行自動處理等優(yōu)點。通過處理和分析生物芯片數(shù)字熒光圖像，識別并提取陣列中每個樣點區(qū)域的信號強度，進行定量分析和相關(guān)信息挖掘[1-3]。樣點的識別和分割是微陣列分析的核心，但是由于誤差和外界干擾，在制備和掃描過程中芯片和圖像經(jīng)常會出現(xiàn)一定程度的傾斜和旋轉(zhuǎn)，甚至樣點分布歪曲。這樣，芯片圖像中樣點陣列的準(zhǔn)直特性必定受到影響，網(wǎng)格定位結(jié)果將會出現(xiàn)較大誤差，最終導(dǎo)致樣點的識別與分割不準(zhǔn)確，也得不到滿意的分析效果。常見的傾斜校正方法有霍夫(Hough)變換，傅里葉(Fourier)變換，拉東(Radon)變換，投影特性法和最小二乘法等[4-8]，根據(jù)它們改進的算法一直都是研究的重點。Meyenhofer 等[9]通過計算投影波形的方差尋找校正角度，并進行多次投影計算獲得最大投影方差值，對應(yīng)的角度即為圖像傾斜角度。該方法在尋優(yōu)的過程中需要多次對芯片圖像進行投影計算以及方差計算，在同樣精度下計算效率顯得相當(dāng)?shù)?。Deng 等[10]通過計算投影波形的能量譜密度獲得旋轉(zhuǎn)角度，并進行多次旋轉(zhuǎn)搜索獲得最大能量譜密度，對應(yīng)的角度即為最佳校正角度。該方法盡管減少了校正角度的搜索次數(shù)，但是每次搜索都需要通過傅里葉變換計算能量譜密度，龐大的計算量約束了傾角檢測的速度。劉艷等[11]運用Sobel 算子對芯片圖像進行邊界提取，然后通過Radon 變換確定傾斜角度。雖然邊界提取能減少Radon 變換的計算量，但是在檢測矩形樣點圖像的傾角時運算效率不高。嚴(yán)偉等[12]提出了Radon 變換和功率譜估計相結(jié)合的功率切片方法，并以此建立起三維功率譜密度圖，實現(xiàn)傾斜角度的精確計算。該方法采取了Radon 投影和功率譜的級聯(lián)運算，但檢測精度僅為1.0°，且計算量也相當(dāng)龐大。這些常見的傾斜校正算法一般都使用單一的方法處理各種形狀樣點的微陣列圖像，造成對某些形狀樣點圖像的傾斜校正效果不佳[13-14]。通過比較分析發(fā)現(xiàn)矩形樣點和圓形樣點在形狀和幾何空間規(guī)律上有明顯的差別，綜合考慮校正精度和運算速度等因素，本文作者提出了對矩形和圓形樣點的芯片圖像分別采用改進的Hough變換和改進的Radon 變換進行傾角檢測。

1 傾斜校正算法

1.1 改進的Hough 變換

Hough 變換將xy 平面直線檢測問題轉(zhuǎn)化為ρθ 參數(shù)空間尋找局部最大值的問題，能有效地檢測直線傾斜角度，并廣泛應(yīng)用于檢測感興趣的區(qū)域邊緣。Hough變換的優(yōu)點在于抗噪聲的能力強，并不受圖像中直線走勢的影響。但Hough 變換的精確度和運算復(fù)雜度存在著矛盾，而且對存儲空間的要求比較大[15-16]。ρθ 參數(shù)空間量化得越精細(xì)，算法的精度越高，算法所需的存儲空間和運算量也越大。雖然生物芯片的傾斜角度不大，大量統(tǒng)計得到傾斜角度范圍是[-5°，5°]，但是要求的精度比一般的直線檢測要高[17]，為了適應(yīng)生物芯片技術(shù)的發(fā)展，傾角的檢測精度如能從0.1°提升到0.01°，有利于提高分析結(jié)果的精確度。本文結(jié)合了矩形樣點的形狀和分布特點對Hough 變換進行改進，從而提高樣點邊緣檢測精度，減少ρθ 參數(shù)空間的計算量，提升其實用價值。

在對Hough 變換進行改進的過程中，參考了傾斜文檔掃描圖像的校正方法[18-19]。傾斜文檔圖像的校正方法中經(jīng)常將文字簡化成類似矩形的連通體，并通過提取水平邊緣來減少計算量。針對矩形樣點的形狀特征和分布規(guī)律，本算法對Hough 變換進行了改進。對生物芯片圖像進行二值化后，僅計算矩形樣點的上下邊緣像素的Hough 參數(shù)和累計值。根據(jù)所得的Hough參數(shù)空間，提取占主導(dǎo)的直線組，并計算出直線組平均傾斜角度，從而得到最佳校正角度。

1.1.1 對生物芯片圖像進行二值化

本算法將采用大津算法(Otsu 算法)法對生物芯片圖像進行二值化，它在確保運算速度與準(zhǔn)確度的同時，能將樣點與背景很好地分割開來[20-21]。Otsu 算法，又稱最大類間方差法，是一種自動的非參數(shù)非監(jiān)督的閾值選擇法，具有優(yōu)良的性能，其效果一直是分割算法中的參考標(biāo)準(zhǔn)[22-23]。當(dāng)部分背景被錯分為對象時，會導(dǎo)致兩類之間的差別變小。而Otsu 法的原理正是選擇閾值使得背景與對象兩類之間的方差最大化，即兩部分之間的差別最大，意味著錯分的概率最小，類間分割效果最好。

在檢測傾斜角度之前，先對生物芯片圖像進行灰度化，然后進行一次形態(tài)學(xué)的開閉運算級聯(lián)操作[24]。由于開操作能抑制較小的亮噪聲，閉操作能抑制背景的暗噪聲，因此開閉操作消除了圖像中的孤立亮點，平滑背景并保留了樣點主體區(qū)域。開閉操作會產(chǎn)生一定的模糊，為保證盡量小地改變樣點形狀，應(yīng)該選擇較小的結(jié)構(gòu)元。接著選擇Otsu 算法自動計算最佳分割閾值，并使用這閾值將芯片圖像二值化。所得二值圖像的白色區(qū)域(灰度為255)代表芯片樣點，黑色區(qū)域(灰度為0)代表芯片背景，這樣就消除了原圖像背景中噪聲的干擾，也減少一定的計算量。

1.1.2 計算Hough 參數(shù)空間

在運用Hough 變換進行傾斜檢測時，若對圖像中每一個像素點都進行Hough 變換，那么計算量相當(dāng)大，將會影響算法運算速度，降低其實用價值。本算法提出在進行Hough 變換之前先對像素點進行判別，若當(dāng)前像素點符合條件，則進行Hough 變換，否則跳轉(zhuǎn)到下一個像素點。這不僅可以減少部分矩形樣點的不平整邊緣的影響，還大大提高了運算速度和準(zhǔn)確度。

像素點的灰度判別準(zhǔn)則：若當(dāng)前像素灰度為0，且下一行同樣位置的像素灰度為255；或者若當(dāng)前像素灰度為255，且下一行同樣位置的像素灰度為0，則計算當(dāng)前像素點的Hough 參數(shù)(ρ，θ)，即僅統(tǒng)計矩形樣點的上下邊緣像素。因此，這改進的Hough 算法僅適合矩形樣點，不適合圓形樣點。按照上述的判別準(zhǔn)則，以二值圖像的中心為計算原點，以對角線長度為ρ 軸最大值，步長為1；以5°為θ 軸的最大值，步長為0.01°，計算Hough 參數(shù)空間。統(tǒng)計(ρ，θ)參數(shù)空間中各正弦曲線角度的信號累加值，對應(yīng)著各個角度上特征點的累計數(shù)量。

1.1.3 提取占主導(dǎo)的直線組

無論是準(zhǔn)則圖像還是傾斜圖像，同一行矩形樣點的上(下)邊緣都處在同一條直線上，故可以通過累計同一行樣點的上(下)邊緣長度，來判別該行樣點是否對圖像傾斜貢獻較大。顯然，占主導(dǎo)地位的都是累計長度較長的直線，對應(yīng)的矩形樣點行信號強度好、樣點數(shù)量多。

在提取占主導(dǎo)地位的樣點上(下)邊緣之前，選擇圖像寬度的1/10 為最小直線長度Amin。遍歷Hough 參數(shù)空間，若參數(shù)空間坐標(biāo)(ρi，θj)的累加值為A(i，j)，代表直線xcos θj+ysin θj=ρi的累計長度為A(i，j)。若線長度A(i，j)小于Amin，則表明該直線不占主導(dǎo)地位，應(yīng)舍去不記錄。反之，若線長度A(i，j)不少于Amin，則要進一步判別它是否局部極大值。根據(jù)檢測精度確定合理的局部峰值半徑r，將Hough 參數(shù)空間中A(i，j)的r×r 鄰域值與當(dāng)前累加值A(chǔ)(i，j)比較，若A(i，j)在局部區(qū)域內(nèi)仍是極大值，則表明該直線起主導(dǎo)作用，應(yīng)保存并用于下一步計算。

1.1.4 計算直線組的平均傾斜角度

其中：Rm為直線的相對長度；θm為直線的傾斜角度；相對長度不少于0.5 的直線有M 條。

1.2 改進的Radon 變換

雖然Hough 直線檢測能很好地應(yīng)用在矩形樣點圖像上，但是Hough 圓形檢測在圓形樣點圖像的傾斜檢測上不具優(yōu)勢。圖像中的圓形樣點很少是標(biāo)準(zhǔn)的圓形，樣點邊緣經(jīng)常有缺口或樣點內(nèi)部存在空洞，容易引起Hough 圓形檢測的漏檢[25]。其次，在存儲空間方面，由于Hough 圓形檢測存在3 個參數(shù)，導(dǎo)致建立累加器所需要空間是Hough 直線檢測的平方級[26]。因此，圓形樣點的芯片圖像不適宜使用Hough 變換來檢測傾角?？紤]到檢測精度和運算存儲空間的關(guān)系，本算法選擇選用了Radon 變換[27-28]。

針對圓形樣點的形狀特征和分布規(guī)律，對Radon變換進行了改進。在提取生物芯片圖像中圓形樣點的邊緣后，對邊緣圖像進行二級Radon 變換，通過搜索得到最佳校正角度。它能精確地檢測出規(guī)則或不規(guī)則的圓形樣點圖像的傾斜角度[29]，同時減少了Radon 參數(shù)空間的存儲量，并提高了運算速度。

1.2.1 提取樣點邊緣

在檢測傾斜角度之前，先對生物芯片圖像進行灰度化，然后進行一次形態(tài)學(xué)的開閉運算級聯(lián)操作。接著選擇Otsu 算法自動計算最佳分割閾值，并使用這閾值將芯片圖像二值化。灰度化與二值化的方法跟Hough 變換中所用方法是一樣的。

由于Radon 變換的計算量較大[30-31]，為了減少檢測的計算量，在進行Radon 變換之前，先提取圓形樣點的邊緣。使用最小的結(jié)構(gòu)元B 對原二值圖像A 進行腐蝕，再用原二值圖像A 減去腐蝕圖像εB(A)，即可得到邊緣圖像β(A)=A-εB(A)，且其邊緣寬度為1。對比提取邊緣前后的Radon 參數(shù)空間可知：提取邊緣后得到的正弦圖的整體亮度減弱，即正弦曲線的數(shù)量減少，但具體位置未變，故仍能很好地代表樣點投影信號。通過精簡正弦圖來減少計算量，保持了準(zhǔn)確度而又不影響檢測效果，這就是Radon 變換的初步改進。

1.2.2 二級Radon 變換

Radon 變換一般將圖像的中心位置作為投影原點，采用其離散形式[32-33]，投影信號表達式為：

其中：(x，y)為二值邊緣圖像中的坐標(biāo)；(ρ，θ)為Radon參數(shù)空間中的坐標(biāo)， x，y，ρ，θ 均為離散變量。固定θ 為θk，通過覆蓋圖像所要求的ρ 的所有值產(chǎn)生一個投影g(ρ，θk)。改變θ 并重復(fù)上述過程，則產(chǎn)生另外的投影。最終得到以ρ，θ 為變量的二維數(shù)組g(ρ，θ)，并可以利用這數(shù)組合成正弦圖，而正弦圖中像素的亮點與對應(yīng)的g 成正比。

針對圓形樣點邊緣進行的Radon 變換，如果檢測精度較高時，計算量的數(shù)量級也相應(yīng)增加。為了減少搜索次數(shù)，本算法采用二級不同尺度的搜索策略[34]，先進行粗略搜索，在確定大致范圍后再進行精細(xì)搜索。

不同尺度的搜索策略在很多傾斜校正的算法中都有體驗，其減少存儲空間、提高運算速度的作用是顯而易見的。大量實驗證明，采用二級Radon 變換算法后計算量明顯減少，要比同樣精度的直接Radon 變換的計算量少一半以上。

2 實驗與討論

2.1 針對矩形樣點改進的Hough 變換的效果

圖1 改進的Hough 變換的效果圖Fig.1 Effect of improved Hough transform

實驗表明改進的Hough 變換在檢測精度、存儲空間和運算速度方面有良好的表現(xiàn)，非常適合用于矩形樣點圖像的傾角檢測。對于長×寬為2 668×1 813 的矩形樣點芯片圖像，運用本文改進的Hough 變換和同類的算法進行傾角檢測，實驗數(shù)據(jù)如表1 所示。改進的Hough 變換僅需耗時4.730 s，得到的檢測結(jié)果2.19°與實際傾角2.15°相差僅為0.04°，算法誤差范圍為±0.05°，效率和準(zhǔn)確度比同類的算法更優(yōu)越。而對于沒有經(jīng)過改進的Hough 變換，檢測耗時為15.019 s，檢測結(jié)果為2.1°，檢測誤差范圍為±0.1°。對比前后2種Hough 變換的檢測速度和誤差范圍可見：本文對Hough 變換的改進和優(yōu)化的效果明顯，僅統(tǒng)計矩形樣點的上下邊緣像素的Hough 參數(shù)和累計值，不但大大減少Hough 變換運算的次數(shù)，而且有效地減少誤差范圍；提取占主導(dǎo)地位的直線組，能避免對局部極大值點的誤判，且有效地減少背景噪聲對檢測的干擾。

2.2 針對圓形樣點改進的Radon 變換的效果

為了驗證改進的Radon 變換的檢測精度和速度，現(xiàn)已知一幅長×寬為2 713×1 820 的圓形樣點芯片圖像的傾斜角度為1.55° (以逆時針為旋轉(zhuǎn)正方向)，其局部截圖如圖2(a)所示，運用改進的Radon 變換進行傾角檢測。對原芯片圖像進行邊緣提取，其局部截圖如圖2(b)所示。提取到的圓形樣點的邊緣清晰可見，大部分樣點的形狀飽滿，行列間隙中基本不存在噪聲，非常適合Radon 投影。對二值邊緣圖像進行第一級Radon 變換，在[-5°，5°]區(qū)間內(nèi)θ 以0.1°為步長，進行第一級Radon 變換得到初級傾斜角度θm=1.6°，對應(yīng)的Radon 參數(shù)空間的截圖如圖2(d)所示。然后在[1.50°，1.70°]區(qū)間內(nèi)θ 以0.01°為步長，進行第二級Radon 變換得到精確度更高的二級傾斜角度θm=1.58°，對應(yīng)的Radon 參數(shù)空間的截圖如圖2(e)所示。即得最佳的傾斜校正角度為-1.58°，對傾斜圖像進行旋轉(zhuǎn)校正，運用雙線性內(nèi)插方法對旋轉(zhuǎn)后的圖像進行反向映射，得到校正后的圖像如圖2(c)所示。

表1 對矩形樣點芯片圖像進行傾角檢測的實驗結(jié)果Table 1 Experimental results of inclination detection of microarray image with rectangular spots

圖2 改進的Radon 變換的效果圖Fig.2 Effect of improved Radon transform

實驗表明改進的Radon 變換在檢測精度、存儲空間和運算速度方面有良好的表現(xiàn)，非常適合用于圓形樣點圖像的傾角檢測。對于長×寬為2 713×1 820 的圓形樣點芯片圖像，運用本文改進的Hough 變換和同類的算法進行傾角檢測，實驗數(shù)據(jù)如表2 所示。改進的Radon 變換僅需耗時5.137 s，得到的檢測結(jié)果1.58°與實際傾角1.55°相差僅為0.03°，算法誤差范圍為±0.04°；與同類算法相比，它能在更短的時間內(nèi)得到更精確的結(jié)果。而對于沒有經(jīng)過改進的Radon 變換，傾角檢測耗時為21.659 s，得到的檢測結(jié)果為1.6°，檢測誤差范圍為±0.1°。比較檢測的速度和誤差范圍可見，本文對Radon 變換的改進和優(yōu)化的效果明顯，提取圓形樣點的邊緣能大大減少Radon 變換投影運算的次數(shù)，且有效地減少檢測誤差；從粗到細(xì)的二級Radon變換將Radon 參數(shù)空間所占的內(nèi)存大大減少，并將檢測精度提高到0.01°。

表2 對圓形樣點芯片圖像進行傾角檢測的實驗結(jié)果Table 2 Experimental results of inclination detection of microarray image with circular spots

3 結(jié)論

(1) 針對矩形樣點和圓形樣點各自的形狀和空間分布特點，使用不同的方法分別檢測矩形和圓形樣點的芯片圖像，提出對矩形樣點圖像采用改進的Hough變換檢測傾角，而對于圓形樣點則采用改進的Radon變換，從而實現(xiàn)生物芯片圖像傾角的精確、快速檢測。

(2) 本算法將傾角檢測精度提高到0.01°，檢測誤差范圍控制在±0.05°，對傾斜生物芯片圖像的檢測和校正取得滿意的效果，成功地解決現(xiàn)有方法中傾角檢測精度和速度不佳的問題。

[1] Bajcsy P. An overview of DNA microarray grid alignment and foreground separation approaches[J]. Eurasip Journal on Applied Signal Processing, 2006, 2006: 1-13.

[2] Giannakeas N, Kalatzis F, Tsipouras M G, et al. Spot addressing for microarray images structured in hexagonal grids[J]. Comput Methods Programs Biomed, 2012, 106(1): 1-13.

[3] Belean B, Borda M, Le Gal B, et al. FPGA based system for automatic cDNA microarray image processing[J]. Comput Med Imaging Graph, 2012, 36(5): 419-429.

[4] Le Brese C, Ju J Z. Automatic gridding of rotated microarray images[C]//International Conference on Biomedical and Pharmaceutical Engineering, 2006 (ICBPE 2006). Singapore,2006: 34-38.

[5] Bracewell R N, Bracewell R. The Fourier transform and its applications[M]. New York: McGraw-Hill, 1986: 65-79.

[6] Honsinger C W, Jones P W. Method for image skew detection:US, 8160393[P]. 2012-04-17.

[7] Aithal P K, Rajesh G, Acharya D U, et al. A fast and novel skew estimation approach using radon transform[J]. International Journal of Computer Information Systems and Industrial Management Applications, 2013, 5: 337-344.

[8] Wang Y, Shih F, Ma M. Precise gridding of microarray images by detecting and correcting rotations in subarrays[C]//Proceedings of the 8th Joint Conference on Information Sciences.Newark, CA, 2005: 1195-1198.

[9] Meyenhofer F, Schaad O, Descombes P, et al. Automatic analysis of microRNA Microarray images using Mathematical Morphology[C]//29th Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society. Lyon, 2007:6235-6238.

[10] Deng N, Duan H. An automatic and power spectra-based rotate correcting algorithm for microarray image[C]//27th Annual International Conference of the Engineering in Medicine and Biology Society. Shanghai, 2006: 898-901.

[11] 劉艷, 張勇德. 含弱信號點微陣列圖像的自動網(wǎng)格劃分[J].中國醫(yī)學(xué)工程, 2008, 16(3): 221-227.LIU Yan, ZHANG Yongde, SHA Xianzheng. Automatic recognition of microarray images using projection algorithm[J].China Medical Engineering, 2008, 16(3): 221-227.

[12] 嚴(yán)偉, 胡松, 吳欽章, 等. 生物芯片圖像微陣列偏轉(zhuǎn)角度計算及樣點分割算法[J]. 光電工程, 2007, 34(10): 6-10.YAN Wei, HU Song, WU Qinzhang, et al. Computation for deflection angle of microarray signal and image segmentation of biochip[J]. Opto-Electronic Engineering, 2007, 34(10): 6-10.

[13] Haff R P, Quinones B, Swimley M S, et al. Automatic image analysis and spot classification for detection of pathogenic Escherichia coli on glass slide DNA microarrays[J]. Computers and Electronics in Agriculture, 2010, 71(2): 163-169.

[14] Bariamis D, Maroulis D, Iakovidis D K. Unsupervised SVM-based gridding for DNA microarray images[J]. Comput Med Imaging Graph, 2010, 34(6): 418-425.

[15] Duda R O, Hart P E. Use of the Hough transformation to detect lines and curves in pictures[J]. Communications of the ACM,1972, 15(1): 11-15.

[16] Herout A, Dubská M, Havel J. Real-time detection of lines and grids[M]. London: Springer, 2013: 3-16.

[17] Bidaut G, Manion F J, Garcia C, et al. WaveRead: automatic measurement of relative gene expression levels from microarrays using wavelet analysis[J]. Journal of Biomedical Informatics,2006, 39(4): 379-388.

[18] Amin A, Fischer S. A document skew detection method using the Hough transform[J]. Pattern Analysis & Applications, 2000, 3(3):243-253.

[19] Nandini N, Murthy K S, Kumar G H. Estimation of skew angle in binary document images using hough transform[J]. World Academy of Science, Engineering and Technology, 2008, 42:44-50.

[20] Farrahi Moghaddam R, Cheriet M. A multi-scale framework for adaptive binarization of degraded document images[J]. Pattern Recognition, 2010, 43(6): 2186-2198.

[21] Cheng H D, Shan J, Ju W, et al. Automated breast cancer detection and classification using ultrasound images: A survey[J].Pattern Recognition, 2010, 43(1): 299-317.

[22] Otsu N. A threshold selection method from gray-level histograms[J]. IEEE Transactions of Systems, Man, and Cybernetics, 1979, SMC-1(1): 62-66.

[23] 邵桂芳, 李剛, 李鐵軍, 等. 基因芯片圖像高亮噪聲處理算法研究[J]. 廈門大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2009, 48(3): 331-333.SHAO Guifang, LI Gang, LI Tiejun, et al. Methods for highly fluorescent noise reduction in microarray images[J]. Journal of Xiamen University (Natural Science), 2009, 48(3): 331-333.

[24] Angulo J, Serra J. Automatic analysis of DNA microarray images using mathematical morphology[J]. Bioinformatics, 2003,19(5): 553-562.

[25] Sun H, Mao Y, Yang N, et al. A real-time and robust multi-circle detection method based on randomized Hough transform[C]//International Conference on Computer Science and Information Processing (CSIP). Xi’an, 2012: 175-180.

[26] Chattopadhyay K, Basu J, Konar A. An efficient circle detection scheme in digital images using ant system algorithm[C]//Proceedings of the 2008 IEEE Sponsored Conference on Computational Intelligence, Control And Computer Vision in Robotics & Automatic. Rourkela, India, 2008: 145-148.

[27] Bariamis D, Iakovidis D K, Maroulis D. M3G: maximum margin microarray gridding[J]. Bmc Bioinformatics, 2010, 11(1):49-59.

[28] Rueda L, Rezaeian I. A fully automatic gridding method for cDNA microarray images[J]. Bmc Bioinformatics, 2011, 12(1):113-129.

[29] Antoniol G, Ceccarelli M, Petrosino A. Microarray image addressing based on the radon transform[C]//IEEE International Conference on Image Processing, 2005 (ICIP 2005), 2005: 1-13.

[30] Ceccarelli M, Antoniol G. A deformable grid-matching approach for microarray images[J]. IEEE Trans Image Process, 2006,15(10): 3178-3188.

[31] Br?ndle N, Bischof H, Lapp H. Robust DNA microarray image analysis[J]. Machine Vision and Applications, 2003, 15(1):11-28.

[32] Beylkin G. Discrete radon transform[J]. Acoustics, Speech and Signal Processing, IEEE, 1987, 35(2): 162-172.

[33] Dai X B, Shu H Z, Luo L M, et al. Reconstruction of tomographic images from limited range projections using discrete Radon transform and Tchebichef moments[J]. Pattern Recognition, 2010, 43(3): 1152-1164.

[34] 李政, 楊揚, 頡斌, 等. 一種基于Hough 變換的文檔圖像傾斜糾正方法[J]. 計算機應(yīng)用, 2005, 25(3): 584-585.LI Zheng, YANG Yang, XIE Bin, et al, et al. Skew angle detection and correction of document images based on Hough transform[J]. Computer Applications, 2005, 25(3): 584-585.