何超，劉西林

西北工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，西安710129

1 引言

預(yù)測精度不僅與所用數(shù)據(jù)有關(guān)，還與選用的模型有關(guān)。預(yù)測科學(xué)發(fā)展至今，已積累了許多行之有效的預(yù)測方法，據(jù)不完全統(tǒng)計，多達300種[1]。傳統(tǒng)的單個預(yù)測模型僅是從模型提前假設(shè)好的某一方面表示數(shù)據(jù)規(guī)律，通常丟失了大量隱藏在數(shù)據(jù)中的信息，具有片面性。組合預(yù)測（也稱綜合或復(fù)合預(yù)測）[2]是一種利用各單項預(yù)測得到的預(yù)測信息，計算給予不同的權(quán)數(shù)組合，以獲得組合預(yù)測值的預(yù)測方法。Bates和Granger[3]在1959年首次提出組合預(yù)測理論，1969年，Bates和Granger在“運籌學(xué)季報”發(fā)表“組合預(yù)測”[4]，對僅僅是兩個預(yù)測結(jié)果的組合進行了系統(tǒng)研究。對于常見的時間序列，有研究表明，沒有哪一種方法能適用于所有的時間序列預(yù)測，而應(yīng)根據(jù)實際情況，選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ团c方法[5-6]。國內(nèi)在20世紀(jì)80年代中后期關(guān)于組合預(yù)測也有一些研究成果，而大部分組合預(yù)測[7-14]也都僅是兩種方法的組合。通過相關(guān)文獻檢索，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有組合預(yù)測模型還存在以下不足：（1）組合的兼容性與可增加性。已有的組合方法基本上都是將兩種預(yù)測方法組合起來，涵蓋的范圍較窄，一般不能夠在組合中再加入第三種預(yù)測方法。（2）預(yù)測方法與系統(tǒng)結(jié)合的不緊密。若能夠?qū)崿F(xiàn)預(yù)測方法與系統(tǒng)的結(jié)合，將使得預(yù)測自動化，這有利于科研成果走進企業(yè)應(yīng)用，實現(xiàn)科研成果的迅速推廣。

針對此，本文構(gòu)建了一般的組合模型，并且從多元線性回歸的角度給出權(quán)系數(shù)的數(shù)學(xué)計算步驟，避免人工賦權(quán)、專家難尋的弊端，使得模型具有可添加性。在此基礎(chǔ)上，建立專門的投資預(yù)測系統(tǒng)，實現(xiàn)預(yù)測的自動化，這使得科研成果能被實際企業(yè)應(yīng)用。

2 綜合模型的構(gòu)建與求解

2.1 綜合預(yù)測模型的構(gòu)思

本文構(gòu)建的綜合預(yù)測模型試圖將多種預(yù)測方法得到的預(yù)測結(jié)果進行組合，使最終的預(yù)測結(jié)果具有更高的精度。預(yù)測精度衡量的標(biāo)準(zhǔn)是最小方差，即將多種預(yù)測方法得到的預(yù)測值進行加權(quán)組合后得到的綜合預(yù)測值與給出的原始數(shù)據(jù)之間誤差的平方和最小。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型為：

式中，x1，x2，…，xp表示p種不同的預(yù)測方法計算的預(yù)測結(jié)果；β1，β2，…，βp則表示p種預(yù)測方法各自的權(quán)系數(shù)。

同時，為了使結(jié)果能更加體現(xiàn)各個預(yù)測方法在綜合模型中的相對重要程度，還需滿足條件：

只有滿足上述兩個條件的β1，β2，…，βp即綜合模型所要求的權(quán)系數(shù)。

2.2 綜合預(yù)測模型的求解

2.2.1 綜合預(yù)測模型目標(biāo)函數(shù)的求解

函數(shù)：

在形式上與p元線性回歸方程

相似，本文就是試圖利用多元線性回歸模型來求解權(quán)重β1，β2，…，βp。

從模型意義角度上講，多元線性回歸研究的是因變量與自變量間的因果關(guān)系，而綜合預(yù)測模型與所選取的典型模型方法之間也存在因果關(guān)系，典型預(yù)測方法的預(yù)測結(jié)果是影響綜合預(yù)測結(jié)果的因素。

基于此兩點，本文建模的求解過程利用了多元線性回歸模型的思路。

假設(shè)影響結(jié)果y的因素有p個：x1，x2，…，xp。假設(shè)它們之間有線性關(guān)系：

式中x1，x2，…，xp都是可精確測量或可控制的一般變量，y是可觀測的隨機變量，β1，β2，…，βp是未知參數(shù)，ε是服從N(0，σ2)分布的隨機誤差。對于n組樣本

由式（1）可知，yi具有數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式：

其中各εi(i=1，2，…，n)相互獨立，且均服從N(0，σ2)。的估計分別記為那么得到一個p元線性方程：

將樣本點式（2）代入式（4），可求得相應(yīng)的值

想要求出β1，β2，…，βp的估計值，使得由式（5）計算得的與yi之間的離差最小。

其解β1，β2，…，βp稱為最小二乘估計。

因而式（6）用矩陣形式可簡潔地表示為：

在回歸分析中通常(XTX)-1存在，從而最小二乘估計可表示為：

借助多元線性回歸的思路完成了β1，β2，…，βp的估計值，使得由式（5）計算得的與yi之間的離差最小。

2.2.2 綜合預(yù)測模型中約束求解的探索

建模中的第二步，使得權(quán)值之和為1，即滿足

窮舉法：借助MATLAB強大的計算能力，但在實際操作過程中會遇到很多問題。如：窮舉法的取值間隔不好把握，間隔不可能取到足夠小，而取得較大可能導(dǎo)致錯過極值點。實驗表明，當(dāng)選取的間隔較小，達到小數(shù)點后4位時，窮舉法就會有非常大的計算量，導(dǎo)致MATLAB卡死；更重要的是，綜合預(yù)測模型是選取多種合適的預(yù)測方法進行組合，隨著更多合適的預(yù)測方法被發(fā)現(xiàn)，加入到綜合模型中的方法越多，使用窮舉法的計算量就會大幅上升，用這種方法解決的缺陷就更加明顯。

同樣借助回歸分析思路，可求得權(quán)值。但是回歸分析的思路過程中，本身不涉及權(quán)值和為1這樣的條件，若要滿足權(quán)值和為1，只能通過外部加入。從這樣的指導(dǎo)思想出發(fā)，設(shè)想在外部引入和為1這樣一個條件。已知β1，β2，…，βp，如果存在第βp+1種預(yù)測方法，則βp+1就應(yīng)當(dāng)滿足

通過這個方程，并經(jīng)過多次的實驗推理后，本文將該函數(shù)作為已知條件來解決。具體來講，已知線性關(guān)系：

等式約束為：

將式（9）代入到式（8）中，得到：

化簡得：

將(y-xp)記為z，將(xi-xp)記為mi，其中i=1，2，…，p-1。

則式（10）可寫為：這個式子與p-1元線性回歸方程很類似，這時運用上節(jié)提供的思路，由式（7）

同理推導(dǎo)出來式（11）最小二乘估計：

其中，M=[m1m2m3…mp-1]，Z=[y-xp]n×1。

可知βi的估計值也滿足：

至此，滿足本文最初建模要求

的p種預(yù)測模型的權(quán)重β1，β2，…，βp完滿求得。

3 實例驗證

投資預(yù)測及決策是油田開發(fā)生產(chǎn)企業(yè)經(jīng)濟管理的首要環(huán)節(jié)，合理安排投資規(guī)模是保證油田經(jīng)濟穩(wěn)定發(fā)展的基礎(chǔ)，投資增長過猛，規(guī)模過大，超過資金供給的可能，會給油田經(jīng)濟帶來嚴(yán)重的消極后果。一般油田企業(yè)在確定某油田有持續(xù)開采的經(jīng)濟價值后，需要連續(xù)投資。

現(xiàn)以某油田1998年—2007年勘探開發(fā)投資規(guī)模為例來驗證本文提出綜合預(yù)測模型的正確性。通過對多個單一模型各自使用條件與實際預(yù)測結(jié)果多次用MATLAB軟件仿真比較后，最終選用移動平均法（2階）、多項式擬合法（4階）、指數(shù)函數(shù)法、灰色預(yù)測模型作為四種獨立的方法對投資規(guī)模進行預(yù)測（這四種方法的理論在文獻[15]中）。在此基礎(chǔ)上，完成綜合預(yù)測模型。

3.1 綜合預(yù)測模型的計算及M ATLAB軟件仿真

綜合最優(yōu)模型所需要用到的是上一章中推導(dǎo)出的四個式子：

表1 單個模型及綜合模型預(yù)測結(jié)果

利用上一節(jié)的結(jié)論計算權(quán)重。

各單一預(yù)測方法及綜合預(yù)測模型預(yù)測結(jié)果如表1所示。其中：

y1表示移動平均法（二階）模型預(yù)測結(jié)果；

y2表示多項式擬合法（四階）模型預(yù)測結(jié)果；

y3表示指數(shù)函數(shù)模型預(yù)測結(jié)果；

y4表示灰色預(yù)測模型預(yù)測結(jié)果；

y5表示綜合模型預(yù)測結(jié)果。

從表1結(jié)果可看出，組合后的預(yù)測結(jié)果y5，其誤差平方和最小，達到了最初建立綜合模型的目的。

用MATLAB軟件仿真得各個預(yù)測結(jié)果趨勢圖，如圖1所示；將2003年—2008年的圖像進行放大觀察，如圖2所示。由圖可看出，綜合預(yù)測模型趨勢線對于數(shù)據(jù)點的擬合情況相比單一的四種預(yù)測結(jié)果都要好，由此可判斷組合后的預(yù)測結(jié)果精度有所提高，預(yù)測結(jié)果更可靠。

圖1 單個模型及綜合最優(yōu)模型趨勢圖

綜合預(yù)測結(jié)果可表示為：y5=a×y1+b×y2+c×y3+d×y4。

圖2 放大的單個模型及綜合模型趨勢圖

計算得到的各權(quán)重：a=-0.539 1，b=-0.997 5，c=2.039 1，d=0.497 6。

由表1還可看出四種單一預(yù)測模型中指數(shù)模型的誤差平法和最小，指數(shù)模型在綜合模型中所占的權(quán)重也的確是最大的。這符合常理，預(yù)測精度高的模型在綜合模型中的權(quán)重也會較大。而且從表中結(jié)果可以看出，綜合后的預(yù)測結(jié)果y5，其誤差平方和最小，達到建立綜合模型的目的。

3.2 綜合預(yù)測系統(tǒng)

初始數(shù)據(jù)不同，選用擬合方法的不同，都需要重新建模，重新仿真。為了避免重復(fù)建模與實現(xiàn)預(yù)測的自動化，本文針對上例建立了專門的預(yù)測系統(tǒng)，使得預(yù)測簡單化、自動化，視圖直觀化。該系統(tǒng)的建立，使得對預(yù)測模型不懂的非專業(yè)人員也能利用此系統(tǒng)進行預(yù)測計算，方便決策者做出決策。此處為說明問題，只簡要展示了用戶認(rèn)證模塊與數(shù)據(jù)綜合處理模塊，如圖3～圖5，在實際應(yīng)用中，企業(yè)可以根據(jù)自身情況，建立更加完善的系統(tǒng)，作為企業(yè)內(nèi)部使用。

3.2.1 登陸模塊

登陸模塊如圖3、圖4所示。

圖3 登錄界面

圖4 提示窗口

圖5 組合處理模塊界面

3.2.2 綜合處理模塊

各個單獨模型及綜合模型處理的結(jié)果如圖5所示，決策者可根據(jù)綜合預(yù)測結(jié)果為決策依據(jù)，做出投資規(guī)模決策。

4 結(jié)論

以往的組合預(yù)測僅僅是建模、計算，并且主觀的人工賦權(quán)會直接影響到預(yù)測的準(zhǔn)確性，而本文建立的通用綜合預(yù)測模型，不僅從多元線性回歸的角度給出權(quán)系數(shù)的數(shù)學(xué)計算步驟，而且增加了組合預(yù)測模型的可添加性。通過實例驗證了本文模型及計算步驟的正確性，并建立了專門的投資預(yù)測系統(tǒng)，將預(yù)測與系統(tǒng)緊密結(jié)合，使得預(yù)測自動化，有利于科研成果走進企業(yè)應(yīng)用。

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