李莎莎,呂俊良

基于Bergman-Selberg核的固定平移因子時(shí)的復(fù)高斯小波變換像空間

李莎莎1,2,呂俊良2

(1.大慶師范學(xué)院教師教育學(xué)院,黑龍江大慶163712;2.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林長春130012)

在固定平移因子時(shí),利用復(fù)Gauss小波變換像空間的再生核具體表達(dá)式和再生核空間相關(guān)理論,給出了復(fù)Gauss小波變換像空間中的等距變換和采樣定理,這為進(jìn)一步研究一般的小波變換像空間提供了新的方向。

小波變換;Bergman-Selberg核;復(fù)Gauss小波;平移因子

0 引 言

小波分析在當(dāng)前數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)展十分迅速,它是繼Fourier變換之后純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)完美結(jié)合的又一光輝典范,享有“數(shù)學(xué)顯微鏡”的美稱。同時(shí),小波變換也是調(diào)和分析這一重要科學(xué)大半個(gè)世紀(jì)以來的工作結(jié)晶,具有理論和實(shí)踐的雙重價(jià)值[1-4]。它能夠有效地從信號(hào)中提取有用信息,解決了Fourier變換不能解決的許多難題.到了20世紀(jì)90年代,小波變換受到了科學(xué)家和工程師的廣泛關(guān)注,在信號(hào)分析、圖像處理、模式識(shí)別、語音合成、方程求解等領(lǐng)域都取得了具有科學(xué)意義和應(yīng)用價(jià)值的重要成果。近年來復(fù)小波變換在地理環(huán)境科學(xué),局放信號(hào)特征的提取等方面的研究都取得了一些重要成果,應(yīng)用效果十分良好[5-7]。

再生核Hilbert空間是連續(xù)小波變換的基礎(chǔ)[7-10],連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度,小波變換系數(shù)在小波變換像平面上都具有一定的相關(guān)關(guān)系;相關(guān)區(qū)域的大小由再生核給出;并且隨著尺度的減小,其相關(guān)區(qū)域減小[11]。所以在小波的實(shí)際應(yīng)用中,可以根據(jù)再生核的結(jié)構(gòu)來選擇最合適的小波基?，F(xiàn)在見到的相關(guān)文獻(xiàn)大部分是固定尺度因子時(shí),對相關(guān)像空間的描述,對固定平移因子的相關(guān)文獻(xiàn)還比較少,文獻(xiàn)[16]已經(jīng)在固定尺度因子的時(shí)候,給出了復(fù)數(shù)形式的Gauss小波變換像空間的再生核具體表達(dá)式和相關(guān)的等距變換。本文借助Bergman-Selberg核來描述該空間,在固定平移因子的時(shí)候得到了像空間的相應(yīng)等距變換和采樣定理,這為進(jìn)一步了解小波變換的像空間提供了新的方向。

1 預(yù)備知識(shí)

定義2.1[12]設(shè)H是Hilbert函數(shù)空間,其元素是某個(gè)抽象集合E上的實(shí)值或復(fù)值函數(shù),內(nèi)積用下式表示

若對任意固定的q∈E,存在一個(gè)K(p,q)作為p的函數(shù)是H中的元素,而且對任意的f∈H及q∈E有

則稱K(p,q)是Hilbert函數(shù)空間H的再生核,稱H是再生核空間。

引理2.1[13]對?f,g∈L2() R,有

其中a,b∈R,a≠0。

引理2.2[14]

其中

K(a,a0,b,b0)稱為再生核,它度量了兩個(gè)分析小波ψa,b(t)和ψa0,b0(t)的相關(guān)性.

引理2.3[15]對于E上的再生核Hilbert空間HK和E上任意的非零的復(fù)值函數(shù)s(p),Ks(p,q)= s(p)s(q)K(p,q),p,q∈E,是Hilbert空間HKs的再生核,其中HKs是由E上所有形如下式的函數(shù)fs(p)構(gòu)成

且HKs具有內(nèi)積

由定義1.1可知Ks(p,q)為Hilbert函數(shù)空間HKs的再生核.

引理2.4[16]復(fù)Gauss小波變換像空間的再生核函數(shù)為

其中

2 固定平移因子時(shí),復(fù)Gauss小波變換像空間的具體描述

復(fù)Gauss小波母函數(shù)為

其Fourier變換是

易知ψ(x)滿足可容許條件。

復(fù)Gauss連續(xù)小波函數(shù)為

對?f∈L2(R),復(fù)Gauss小波變換為

在(6)式中考慮a＞0,且令A(yù)=a+bi,Z=x+yi,上式可推廣為下面的復(fù)數(shù)形式

有了上式我們就可以給出關(guān)于A的函數(shù)(Twavf)z(A)的等距恒等式。但為了簡化,可以先考慮z為的情況,即

關(guān)于a的函數(shù)f的偶部為

則(Twavf)a(A)可以表示為

并且,對任意固定的a,

在由所有關(guān)于點(diǎn)a的偶函數(shù)所構(gòu)成的L2(R)的子空間中完備,因此對任意固定的a及L2(R),像 (Twavf)a(A)可被看作為Hilbert空間HKa中的元素。這里HKa是由上的所有解析函數(shù)構(gòu)成且具有再生核式(9),關(guān)于點(diǎn)a的函數(shù)f的偶部fe,a有等距恒等式

下面來確定具有再生核式(9)的Hilbert空間HKa,對于

是Bergman-Selberg空間HK(q)的再生核,其中HK(q)是由在右半平面R+={Rez＞0}上的所有解析函數(shù)f(z)構(gòu)成。當(dāng)q=1時(shí),對于Bergman核KB(z,u)=K(1)(z,u)具有有限范數(shù)

HK(q)中的元f為q階解析微分,并且對任何從R+到區(qū)域R*的保角映射z*=φ(z),有等距恒等式

其中,z*=x*+iy*,且有

同時(shí)對R+和R*上Bergman-Swlberg核,有

成立。

由保角映射Z=A2,有

和

由這些恒等式得到下面的定理。

定理4.1對任意實(shí)數(shù)x及f∈L2(R),式(7)的像(Twavf)a(A)是在上解析的,并且有

以及關(guān)于Z的函數(shù)f的偶部fe,x的等距恒等式為

證明:令

則有

進(jìn)一步,有

定理得證。

3 采樣定理

小波分析理論提供了多尺度分析的方法,即函數(shù)族

構(gòu)成了一個(gè)L2(R)完全正交系。因此,對L2(R)進(jìn)行小波變換而得到的復(fù)高斯小波變換的像空間H就比較容易實(shí)現(xiàn),并且在像空間H中,對于實(shí)半平面的{(a,x ),a,x∈R,a＞0}上的點(diǎn){(2j,2jk)j,k∈Z}插值公式成立。

事實(shí)上,由于公式(13)在L2(R)中是一個(gè)完全正交系,所以L2(R)中的元f可由函數(shù)系張成,即

那么,有

上式即為復(fù)高斯小波變換的像空間HK的插值公式。利用再生核K(a,b;a′,b′)的有界性,可以得到復(fù)高斯小波變換的小波變換像空間HK的插值公式還可以等價(jià)的描述為

定理4.2 對L2(R)中的函數(shù),復(fù)高斯小波變換的小波變換像空間HK有如下性質(zhì):對任意g(2j,2jk)∈l2,j,k∈Z

其中,(15)中的和式取自于Hilbert空間HK,(15)式在{(a,x ),a,x∈R,a＞0}上是一致收斂的。

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O29

A

2095-0063(2014)06-0040-05

2014-09-12

李莎莎(1982-),女,黑龍江大慶人,大慶師范學(xué)院教師教育學(xué)院講師,從事小波分析研究。基金項(xiàng)目:黑龍江省自然科學(xué)基金(2011C103)。

DOI 10.13356/j.cnki.jdnu.2095-0063.2014.06.011