田 強，徐 權(quán)

分立的一維β—FPU晶格中周期的準(zhǔn)周期的和混沌呼吸子

田 強1，徐 權(quán)2

（1.北京師范大學(xué)物理系，北京100875；2.大慶師范學(xué)院物理與電氣信息工程學(xué)院，黑龍江大慶163712）

通過對帶有色散項的β—FPU模型的研究，利用在全振子的線性相互作用項中引入一個周期相互作用項，成功將其時空進(jìn)行了分離變量處理，進(jìn)而得到了周期的、準(zhǔn)周期的和混沌的呼吸子存在于帶有色散項的一維分立β—FPU晶格中的證據(jù)。

β—FPU晶格；周期呼吸子；準(zhǔn)周期呼吸子；混沌呼吸子

0 引言

自從Sievers和Takeno發(fā)現(xiàn)了分立呼吸子［1］（一種時間上具有周期性，空間上具有局域性質(zhì)的模型），幾十年來非線性晶格系統(tǒng)的局域激發(fā)一直是能量局域性質(zhì)及傳輸領(lǐng)域的研究熱點，而且越來越被眾多學(xué)者專家重視。隨后，特殊FPU晶格模型中呼吸子存在的證據(jù)被大量獲得。例如雙原子FPU晶格中的呼吸子和禁帶呼吸子，β—FPU問題［2－6］，F(xiàn)PU鏈中呼吸子的非拓?fù)鋭恿W(xué)［7－8］，F(xiàn)PU鏈中扭結(jié)孤子與呼吸子之間的相互作用［9］，F(xiàn)PU晶格中亮呼吸子和暗呼吸子［10－11］等等。

接下來的突破是在哈密頓晶格的研究中發(fā)現(xiàn)了準(zhǔn)周期的和混沌的呼吸子存在的證據(jù)。準(zhǔn)呼吸子是由Johansson和Aubry引入的，［12］準(zhǔn)呼吸子的典型特征可以作如下描述：在反連續(xù)極限條件下，準(zhǔn)周期解很容易獲得，其特征就是不同位置的振子具有不成比例的頻率ωn。最簡單的是兩個位置的振子分別具有ω1和ω2兩個不成比例的頻率，而其它振子是靜止的?；煦绾粑邮怯蒀retegny等引入的，混沌呼吸子的典型特征可以描述如下［13］：最初最高頻率（π－mode）不穩(wěn)定的微擾導(dǎo)致了一定數(shù)量的局域的類呼吸子結(jié)構(gòu)凝聚系統(tǒng)的能量，隨后進(jìn)一步退化為少量的局域結(jié)構(gòu)和一個高能量的峰，他們在相對長的時間內(nèi)是穩(wěn)定的，每個局域結(jié)構(gòu)類似呼吸子，但運動無規(guī)律。在大多數(shù)情況下，混沌呼吸子最后將塌陷在一個熱狀態(tài)（平衡態(tài)）。這種居于激發(fā)與呼吸子明顯的不同是前者是在個不規(guī)范（混沌）路徑運動的，而且大多數(shù)只有有限的壽命，因此被命名為混沌呼吸子。

最近的一些研究主要是探索準(zhǔn)周期呼吸子和混沌呼吸子的行為。但是這些研究都只限于沒有色散項的簡單FPU模型［14－17］。本文將探索帶有色散項的FPU模型中準(zhǔn)周期呼吸子和混沌呼吸子的情況。

1 分立的一維β—FPU晶格中周期的、準(zhǔn)周期的和混沌呼吸子

具有N個質(zhì)量相等原子非線性耦合成的FPU系統(tǒng)的運動方程可以寫成：α模型

β模型

這里un是粒子離開原始平衡位置的位移。假定解可以寫成純空間和時間乘積的形式：

方程（4）和（5）右邊都是不依賴于時間的空間項，左邊是時間項與空間項δ0n的混合。當(dāng)δ0n是一個常數(shù)時α模型沒有解，所以，這里只研究β模型有

方程（7a）的數(shù)值解如圖1所示

圖1 顯示方程（7a）具有空間局域解。方程（7b）的數(shù)值解如圖2所示

（a），（b）是方程（7b）周期性解的相軌跡和振動曲線其中K＝1，β＝±1及＝1；（c），（d）是方程（7b）準(zhǔn)周期性解的相軌跡和振動曲線其中K＝1＋0．2cos（2．368t），β＝±1及＝1；（e），（f）是方程（7b）混沌解的相軌跡和振動曲線其中K＝1＋0．8cos（2．368t），β＝±1及＝1。

圖2（a）和（b）顯示帶有線性色散項的一維β－FPU模型具有穩(wěn)定的呼吸子。圖2（c）和（d）給出在線性色散項中引入一個周期性調(diào)幅的系數(shù)，帶有線性色散項的一維β－FPU模型中也具有準(zhǔn)周期呼吸子。這種在線性色散項中引入周期性驅(qū)動參數(shù)情況可以在實驗中完成。圖2（e）和（f）給出在線性色散項中引入一個周期性調(diào)幅的系數(shù)，帶有線性色散項的一維β－FPU模型中也具有混沌呼吸子。

3 結(jié)語

本文對帶有色散項β－FPU模型進(jìn)行研究，巧妙地將其進(jìn)行了空間和時間的分離，進(jìn)而獲得了精確的呼吸子。同時通過在全體振子的線性色散項中引入一個周期性驅(qū)動項實現(xiàn)了兩個具有不成比例頻率的單個呼吸子的耦合，進(jìn)而得到了準(zhǔn)周期呼吸子和混沌呼吸子在具有線性色散項β－FPU模型中存在的證據(jù)。本文將對在實驗中獲得準(zhǔn)周期呼吸子和混沌呼吸子具有很強的理論指導(dǎo)意義。

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0431

A

2095－0063（2014）03－0022－03

2014－03－15

田強（1961－），男，北京人，北京師范大學(xué)物理系教授，博士生導(dǎo)師，從事非線性輸運理論、半導(dǎo)體量子點光學(xué)性質(zhì)和電學(xué)性質(zhì)、bose愛因斯坦凝聚等領(lǐng)域研究。

國家自然科學(xué)基金（11247255）。

DOI 10.13356／j.cnki.jdnu.2095－0063.2014.03.006