李耀紅，張祖峰

（1.宿州學(xué)院智能信息處理實(shí)驗(yàn)室，安徽宿州234000；2.華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，武漢430074）

無(wú)窮區(qū)間上常微分方程邊值問(wèn)題的研究最初起源于求解橢圓型微分方程徑向?qū)ΨQ(chēng)解，隨后在非經(jīng)典牛頓流體質(zhì)量傳遞問(wèn)題，火箭在固體推進(jìn)劑耗盡下的靜電探測(cè)問(wèn)題，相變固體在熱傳導(dǎo)中的溫度擴(kuò)散問(wèn)題以及邊界層等系列問(wèn)題中也得到了廣泛應(yīng)用.

本文考察無(wú)窮區(qū)間上一階非線性脈沖微分方程組邊值問(wèn)題：

其中，J＝［0，＋∞），0＜t1＜t2＜…＜tk＜…，tk→∞，J′＝J＼｛t1，…，tk，…｝，f1，f2∈C［J×J×J，J］，I1k，I2k∈C［J×J，J］（k＝1，2，…），u（∞）這里，分別為u（t）和v（t）在t＝tk處的跳躍度，即v）－v（tk），而u，v）和u（tk），v（tk）分別表示u（t）和v（t）在t＝tk處的右左極限.

近年來(lái)，定義在無(wú)窮區(qū)間上的微分方程邊值問(wèn)題解及正解的存在性問(wèn)題引起了廣泛關(guān)注和深入研究，獲得了一系列重要結(jié)果，見(jiàn)文獻(xiàn)［1－10］及其參考文獻(xiàn).特別地，在非脈沖情形下，文獻(xiàn)［6］利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理得到了邊值問(wèn)題（1）解的存在性，文獻(xiàn)［7］利用一個(gè)新的比較結(jié)果和M¨onch不動(dòng)點(diǎn)定理，去掉了文獻(xiàn)［6］中的先驗(yàn)估計(jì)條件，改進(jìn)了其解的存在結(jié)果；在脈沖情形下，文獻(xiàn)［8］利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理研究了邊值問(wèn)題（1）解的存在性，此時(shí)非線性項(xiàng)和脈沖項(xiàng)具有一定的增長(zhǎng)性條件和緊性條件，文獻(xiàn)［9］在相同的增長(zhǎng)性條件下，減弱了文獻(xiàn)［8］中非線性項(xiàng)和脈沖項(xiàng)的緊性條件，利用M¨onch不動(dòng)點(diǎn)定理和反證法，通過(guò)先驗(yàn)估計(jì)條件，在獲得解的存在性同時(shí)得到了解的唯一性，改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)［8］的結(jié)果.

受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，本文將在非線項(xiàng)和脈沖項(xiàng)滿足比文獻(xiàn)［8－9］更一般的增長(zhǎng)性條件下，利用非線性項(xiàng)的超線性條件取代文獻(xiàn)［6－9］中非線性項(xiàng)和脈沖項(xiàng)緊性條件，去掉了文獻(xiàn)［9］的先驗(yàn)估計(jì)要求，結(jié)合錐拉伸和壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理獲得多個(gè)正解的存在性結(jié)果，改進(jìn)現(xiàn)有文獻(xiàn)已有結(jié)論.進(jìn)一步，上述文獻(xiàn)都獲得了很好結(jié)果，但文獻(xiàn)［1－9］僅研究了無(wú)窮區(qū)間上單個(gè)方程或方程組至少有一個(gè)解的存在性，對(duì)于方程組邊值問(wèn)題（1）的多解存在性問(wèn)題卻未作進(jìn)一步研究.

1 預(yù)備知識(shí)和引理

設(shè)R＝（－∞，＋∞），PC［J，R］＝｛u：u（t）是定義在J上的實(shí)值函數(shù)，在t≠tk處連續(xù)，在t＝tk處左連續(xù)，且右極限，u）存在，k＝1，2，…｝，

可證X在范數(shù)‖（u，v）‖X下為一Banach空間.令

這里，γ＝min｛α－1，β－1｝.顯然P，Q是X中的兩個(gè)錐且Q?P.定義算子T：P→P如下：

其中，

若（u，v）∈P（u＞0，v＞0）且滿足（1），則稱(chēng)（u，v）為邊值問(wèn)題（1）的解（正解）.

為方便敘述，先列出下列假設(shè)：

（H1）存在bi（t）∈C［J，J］和Hi∈C［J×J，J］，使得（H2）存在Fi∈C［J×J，J］和正數(shù)δik（i＝1，2，k＝1，2，…），使得

→∞，u＋v→∞，對(duì)任意的t∈J和（u，v）∈P一致成立，且

（H4）存在di（t）∈C［J，J］，使得

→∞，u＋v→0，對(duì)任意的t∈J和（u，v）∈P一致成立，且

引理1假若條件（H1）、（H2）成立，則（5）定義的算子T是從Q到Q的全連續(xù)算子.

證明令（u，v）∈Q，取r1≥‖（u，v）‖X.由條件（H1），可知

其中，Mi＝max｛Hi（u，v）：0≤u≤r1，0≤v≤r1｝，i＝1，2.故無(wú)窮積分收斂且有

進(jìn)一步，由條件（H2），可知

其中，Ni＝max｛Fi（u，v）：0≤u≤r1，0≤v≤r1｝，i＝1，2.故無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂且有

另外，由（6）可得

則從（6）、（9）、（11）和（13）可推知，對(duì)任意t∈J，有T1（u，v）（t）≥0且

進(jìn)一步，從（12）、（13）可知

同理可知，對(duì)任意t∈J，有T2（u，v）（t）≥0且

由（15）、（17），則有

故算子T是從Q到Q的.

下面證明算子T是連續(xù)的，令（um，vm），）則存在），容易得到，

顯然當(dāng)m→∞時(shí)，

同時(shí)，由（8）可知

其中，M3＝max｛H1（u，v）：0≤u≤r2，0≤v≤r2｝.則從（20）、（21）和勒貝格控制收斂定理有

另一方面，類(lèi)似（10）可知

其中，N3＝max｛F1（u，v）：0≤u≤r2，0≤v≤r2｝.由（23）結(jié)合級(jí)數(shù)收斂性，對(duì)任意給定的ε＞0，可選取一個(gè)整數(shù)k0，使得

注意到，當(dāng)m→∞時(shí)，

于是，可以選取一個(gè)正整數(shù)m0，使得當(dāng)m＞m0時(shí)有

從（24）、（25）可知，當(dāng)m＞m0時(shí)有

故從（19）、（22）和（27）有

類(lèi)似容易證明

最后與文獻(xiàn)［10］引理2類(lèi)似，利用Ascoli－Arzela定理及對(duì)角線方法，可知T是緊算子.故算子T是從Q到Q的全連續(xù)算子.

引理2［8］假若條件（H1）（H2）成立，則（u，v）∈BPC［J，J］∩C1［J′，J］×BPC［J，J］∩C1［J′，J］是方程組（1）的解有且僅當(dāng)（u，v）∈Q是（5）定義的算子T的不動(dòng)點(diǎn).

引理3［11］假設(shè)E是Banach空間，P為E中的錐，若Ω1，Ω2為E中的兩個(gè)開(kāi)集，且滿足0∈Ω1，?Ω2.算子A：P∩＼Ω1）是全連續(xù)的.若下面條件之一滿足

2 主要定理

定理1假設(shè)條件（H1）～（H4）成立.若存在η＞0，使得

其中，

則方程組（1）至少有兩個(gè)正解（u1，v1），（u2，v2）∈BPC［J，J］∩C1［J′，J］×BPC［J，J］∩C1［J′，J］，且

證明由引理1知，（5）式定義的算子T是從Q到Q的全連續(xù)算子，結(jié)合引理2和引理3，僅需要證明算子T在Q中至少有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)（u1，v1），（u2，v2）滿足‖（u1，v1）‖X＜η＜‖（u2，v2）‖X.

從條件（H3）知，存在正數(shù)r3＞0，使得u（t）＋v（t）≥r3，（u，v）∈Q時(shí)，有

取

對(duì)任意的（u，v）∈Q，｜｜（u，v）｜｜X＝r4，有

于是，由（6）、（7）和（29）～（32），知

故有

從條件（H4）知，存在正數(shù)r5＞0，使得0＜u（t）＋v（t）＜r5時(shí)，有

取

對(duì)任意的（u，v）∈Q，｜｜u，v）｜｜X＝r6，有

于是，由（6）、（7）和（36）～（39），知

故有

另一方面，對(duì)?（u，v）∈Q，‖（u，v）‖X＝η，類(lèi)似于（14），有

其中，M，N由（28）式定義.因此，由（43）、（44）和（28）可知，

從（31）和（38）可知0＜r6＜η＜r4.因此，由（35）、（42）及引理3可知算子T有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)（u1，v1），（u2，v2）∈Q，且r6＜‖（u1，v1）‖X＜η＜‖（u2，v2）‖X＜r4，即有

3 例子

例1考慮無(wú)窮區(qū)間上一階非線性脈沖微分方程組邊值問(wèn)題

（u（t），v（t））≡（0，0）是無(wú)窮區(qū)間上方程組邊值問(wèn)題（46）的一組零解.

結(jié)論1方程組（46）至少有兩個(gè)正解（u1，v1），（u2，v2），且

證明顯然方程組邊值問(wèn)題（46）是方程組邊值問(wèn)題（1）的形式.其中，

因此條件（H1）、（H2）顯然成立.又因?yàn)?/p>

取c1（t）＝e－100t，c2（t）＝e－80t，則條件（H3）成立，且c1＝，c2＝.又注意到

取d1（t）＝e－80t，d2（t）＝e－100t，則條件（H4）成立，

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