鄭斯寧

(大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，遼寧大連116024)

文化是人類文明的積淀、科學(xué)與人文成果的結(jié)晶.大學(xué)以傳承人類文明為使命，應(yīng)當(dāng)是集科學(xué)與人文經(jīng)典之大成的神圣殿堂.一個人的文化品位，其實就是他自身的科學(xué)、人文等精神特質(zhì).“理性思維”是科學(xué)活動的基本要素，良好的數(shù)學(xué)修養(yǎng)對科學(xué)工作大有益處.每一個現(xiàn)代文明人從小學(xué)一年級就開始接受數(shù)學(xué)教育，經(jīng)受數(shù)學(xué)文化的熏陶.“激情”與“理性”都是校園文化不可或缺的.

數(shù)學(xué)向各學(xué)科滲透是大趨勢.人們普遍認(rèn)為：如果某研究結(jié)果尚不能用數(shù)學(xué)刻畫，該研究也許尚處“幼稚”階段.數(shù)學(xué)符號和公式頻繁出現(xiàn)在各類學(xué)術(shù)論文和專著中，不含數(shù)學(xué)的科學(xué)論文現(xiàn)在太難找了.數(shù)學(xué)家獲經(jīng)濟學(xué)諾貝爾獎早已不稀奇.“秀”數(shù)學(xué)幾乎成為“時尚”，甚至“數(shù)學(xué)深度”也成為衡量論文檔次的重要標(biāo)志之一.無形中給人這樣的感覺：一個人的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，直接關(guān)系到其科研工作的層次，以及個人的科學(xué)、文化品位.這到底是怎么回事？又該如何應(yīng)對呢？

這得從現(xiàn)代科學(xué)談起.一百年來，特別是二戰(zhàn)以后，現(xiàn)代科學(xué)使得人類文明的進(jìn)程突然加快了.如今每個地球人每天享受的現(xiàn)代科學(xué)成果，每分每秒都在更新，達(dá)到眼花繚亂的程度.這一突然加速的根本原因年在于：自文藝復(fù)興后，人類終于走上了科學(xué)發(fā)展的“正道”.何謂“正道”？愛因斯坦曾精辟地概括說：“西方科學(xué)的發(fā)展是以兩個偉大的成就為基礎(chǔ)的，那就是古希臘哲學(xué)家所發(fā)明的形式邏輯體系，以及發(fā)現(xiàn)通過系統(tǒng)的實驗可能找出因果關(guān)系[1].”簡單地說，科學(xué)就是“數(shù)學(xué)+實驗”.

近代科學(xué)開端于歐洲文藝復(fù)興時代，代表人物是伽利略.他提出以實驗作為科學(xué)的基礎(chǔ)，并主張用數(shù)學(xué)描述科學(xué)，用實驗驗證科學(xué)[2].四百多年前的一天，他從比薩斜塔扔下的兩個鐵球，向世人演示了最通俗的科學(xué)實驗，也宣告了人類真正意義的科學(xué)時代的到來.比薩斜塔實驗一百年后，牛頓-萊布尼茲構(gòu)建的微積分使“用數(shù)學(xué)描述科學(xué)”成為可能.那個時代包括行星軌道在內(nèi)的一大批用數(shù)學(xué)描述科學(xué)的成功案例，曾使人們激動不已，也成為現(xiàn)代科學(xué)的重要標(biāo)志.又過了兩百年，愛因斯坦的狹義及廣義相對論等劃時代科學(xué)發(fā)現(xiàn)，更加突顯了數(shù)學(xué)在科學(xué)的地位，也使科學(xué)達(dá)到更高的境界.在他看來，數(shù)學(xué)是描述科學(xué)的語言，更是發(fā)展科學(xué)的工具.形式邏輯推理(數(shù)學(xué))和實驗正是他心目中科學(xué)發(fā)展的兩大支柱.我們可以從愛因斯坦石破驚天的理論發(fā)現(xiàn)，清晰感悟人類理性思維與數(shù)學(xué)邏輯的神奇光芒.

那么，數(shù)學(xué)修養(yǎng)或數(shù)學(xué)文化有怎樣的內(nèi)涵？數(shù)學(xué)能力包括哪些？我們認(rèn)為主要是邏輯推理、計算和“數(shù)學(xué)化”這三要素.

數(shù)學(xué)無處不在.先看最簡單的例子.

例12010年南非世界杯西班牙隊進(jìn)球不多卻最終奪冠.自然要問：奪冠至少需要進(jìn)幾個球？小組賽三場允許平局，不進(jìn)球也可積3分，只要其它三隊中，一個隊一平二勝(7分)，另兩個隊均二平一負(fù)(2分)，即可以小組第二出線進(jìn)入16強.四輪淘汰賽都必須分出勝負(fù)，所以每場進(jìn)一個球(含點球決勝負(fù))為最低限度.于是可得出至少進(jìn)4球才能奪冠的嚴(yán)格結(jié)論.注意，這只是奪冠的必要而非充分條件：進(jìn)4球不見得奪冠，但不進(jìn)4球注定不能奪冠.這個邏輯推理只需小學(xué)數(shù)學(xué)知識.

例2過度肥胖是許多現(xiàn)代人的苦惱.流行的“體重指數(shù)=體重/身高平方”道理何在？橫截面積與高度之比相等的人(柱體)為相似.那么，分子、分母同乘以高度.橫截面積乘以高度為體積，再乘以比重(不妨無量綱化為1)為體重，于是(不論高矮)體重與身高平方之比為某常數(shù)的人，即屬于體重指數(shù)相同的一類，其正常范圍為22±2.航天員們的體重指數(shù)全都十分接近22這個中心位置.

邏輯推理是數(shù)學(xué)的根本.公元前600年的歐幾里得《幾何原本》，堪稱人類文明發(fā)展史中的經(jīng)典，全球累計印刷數(shù)僅次于《圣經(jīng)》，2000多年后的今天仍被作為每個地球人接受邏輯推理訓(xùn)練的兒時啟蒙內(nèi)容.從公理出發(fā)的形式邏輯推理至今仍然是證明數(shù)學(xué)真理的唯一途徑.現(xiàn)代數(shù)學(xué)這個高深莫測的龐然大物，其實就是從幾條并不復(fù)雜的公理出發(fā)，經(jīng)過一代又一代數(shù)學(xué)人不斷進(jìn)行演繹、推理，累積而成.作為集體推理的結(jié)果，就原理和方法來講，與《幾何原本》并無二至.世界各國數(shù)學(xué)人每天所做的，不過就是在不同分支和平臺上，根據(jù)前人已有結(jié)果繼續(xù)進(jìn)行邏輯推理而已.這個推理過程相當(dāng)艱辛.例如，具有轟動效應(yīng)的費爾馬猜想、龐加萊猜想這類里程碑式成果的最終證明，全都經(jīng)歷了幾代人、數(shù)十年甚至數(shù)百年的艱苦努力.數(shù)學(xué)創(chuàng)新，首先要需要進(jìn)入前沿或相應(yīng)的平臺，這需要大量準(zhǔn)備性學(xué)習(xí)和工作的積累；但就數(shù)學(xué)邏輯推理能力訓(xùn)練本身(特別是對非數(shù)學(xué)類學(xué)科專業(yè)來說)，并非一定要有那樣高的平臺不可.每門數(shù)學(xué)課、每篇學(xué)術(shù)論文，甚至日常生活，都有這樣的訓(xùn)練機會.人的精力有限，如果把所遇到的問題的細(xì)節(jié)都搞清楚，其研究工作肯定走不遠(yuǎn).但如果事事都不求甚解，習(xí)慣于盲目接受，從不問“為什么”，注定無力讀懂從定理、公式出發(fā)的簡單推導(dǎo)，更不用說用數(shù)學(xué)進(jìn)行推理創(chuàng)新了.邏輯推理的能力訓(xùn)練是他人無法替代的.在哪個平臺訓(xùn)練也許并不重要，但一定要有讀懂證明、完成證明的若干親身經(jīng)歷.可以說，邏輯推理能力強一寸，數(shù)學(xué)功力就長一分.

“計算”的重要性似乎最容易理解.但許多人也許不知道：第一，數(shù)學(xué)中的計算大都是作為邏輯推理的一部分，為邏輯推理服務(wù)的；第二，數(shù)學(xué)人的任務(wù)只是建立計算的理論和方法，而非計算具體的實際問題本身.關(guān)于計算的另一個要點是：計算應(yīng)該從“首位”算起，首先判斷“數(shù)量級”，而不是末位的“精度”，正如冪級數(shù)或傅立葉級數(shù)展開式中，越靠前的項越要緊.先去抓“西瓜”而不是“芝麻”.當(dāng)然，“閾值”附近的末位“精度”是重要的.

“數(shù)學(xué)化”就是我們常說的數(shù)學(xué)建模.日常工作、生活中的許多現(xiàn)象可以抽象為數(shù)學(xué)問題；經(jīng)過數(shù)學(xué)處理后，再還原回去.前面兩個例子說明，許多實際問題的“數(shù)學(xué)化”并不需要高深的數(shù)學(xué).當(dāng)然，反映深刻科學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)模型另當(dāng)別論.例如，熱傳導(dǎo)方程的建立，需要在傅立葉實驗定律、熱量守恒定律等物理定律的基礎(chǔ)上，經(jīng)由高斯公式、牛頓-萊布尼茲公式等數(shù)學(xué)工具的推導(dǎo)才能完成.

我們的民族曾經(jīng)擁有過以四大發(fā)明為代表的輝煌的古代科學(xué)技術(shù)成就，但冷靜分析就會發(fā)現(xiàn)：邏輯推理和科學(xué)實驗恰為中華傳統(tǒng)文化的弱項.本世紀(jì)中華民族偉大復(fù)興的前提是高度發(fā)展的科學(xué)技術(shù).從這個意義說，數(shù)學(xué)修養(yǎng)和數(shù)學(xué)文化，不僅事關(guān)個人的文化品位和科研工作的水平，而且事關(guān)民族復(fù)興的偉業(yè).作為一名數(shù)學(xué)教師，使命光榮，責(zé)任重大.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 愛因斯坦 A. 1953年給斯威策J E的信—愛因斯坦文集(第一卷)[M].北京：商務(wù)印書館，1983：574.

[2] 丹皮爾 W C. 科學(xué)史(上冊)[M].北京：商務(wù)印書館，1997:194-202.