張志昌，趙 瑩，傅銘煥

(西安理工大學 水利水電學院，陜西 西安 710048)

水躍長度是消力池長度設計的重要依據(jù)，自1818年貝登對水躍現(xiàn)象開展研究以來，水躍長度一直是該領域研究的熱點問題之一。1957年，Bradley等[1]對矩形斷面的水躍長度進行了研究，試驗的水槽寬度為0.305～1.500 m，躍前斷面弗勞德數(shù)為1.70～19.55，這是目前水槽寬度和弗勞德數(shù)范圍最大的研究成果，但該研究是以圖和表的形式給出的。1964年，陳椿庭[2]分析了12個人的研究成果，根據(jù)Bradley等[1]的試驗資料，給出了2個水躍長度經驗公式。1979年，張長高[3]根據(jù)不可壓縮液體恒定均勻紊流基本方程，得出了平底矩形明渠水躍長度的基本計算公式，并在分析前人研究成果的基礎上，提出了水躍長度的半經驗公式。1965年，Rajaratnam[4]提出可以根據(jù)附壁射流的研究成果對水躍進行研究，并進一步測量了水躍區(qū)的流速分布、壁面阻力和邊界層的發(fā)展，為水躍的研究提供了一種新的方法。眾多研究者中，Rajaratnam[4]和Hager等[5]將水躍的長度分為水躍長度和旋滾長度，為水躍長度的分類奠定了基礎。

雖然許多學者對水躍長度進行過研究，但由于水躍區(qū)水流的脈動性及水流條件的復雜性，至今尚未得出水躍長度的理論公式，現(xiàn)今采用的多是根據(jù)試驗資料總結出的圖表或經驗公式。目前已有數(shù)十個經驗公式，但這些公式得出的水躍長度相差較大，這給消力池長度的正確設計帶來了困難。為此，本研究根據(jù)Bradley 等[1]弗勞德數(shù)為1.7～19.55、Hughes等[6]弗勞德數(shù)為2.53～6.95、Francesco等[7]弗勞德數(shù)為1.87～7.67以及筆者弗勞德數(shù)為4.2～8.0的模型試驗資料，對現(xiàn)有的水躍長度計算公式進行歸納分類，以期提出矩形平底明渠水躍長度和旋滾長度的新的計算方法，進而為水躍計算公式的選擇提供參考。

1 水躍長度計算研究的現(xiàn)狀

作者收集的計算水躍長度的經驗公式有43個，其中部分公式因年代久遠找不到原始文獻，是從其他研究者的文章中轉引而來的。按照各種公式涉及的計算參數(shù)，可將這些公式分為4種類型：Ⅰ是以躍后水深表示的水躍長度公式；Ⅱ是以躍前、躍后水深表示的水躍長度公式；Ⅲ是以躍前斷面的弗勞德數(shù)與躍前或躍后水深表示的水躍長度公式；Ⅳ是采用其他方法表示的水躍長度公式。43個水躍長度計算公式及其分類如表1所示。由表1可以看出，對第Ⅰ種類型，即以躍后水深表示的5個公式，在躍后水深h2相同的情況下，Bradley等[1]公式計算值最大，Douma[8]公式計算值最小，最大值是最小值的2.03倍。

Bradley等[1]在寬度為0.305 m的水槽中進行了水躍長度的試驗，試驗的弗勞德數(shù)為2.20～7.62，得到的水躍長度為73.20～253.15 cm。根據(jù)Bradley等[1]的試驗資料，對表1中的第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ種類型的水躍長度公式分析如下。

表1 43個水躍長度計算公式的匯總及分類

第Ⅱ種類型，即表1中以躍前、躍后水深表示的12個公式，其中Posey[8]的公式Lj=(4.5～7.0)×(h2-h1)，由于其取值范圍不好確定，在此不做分析；Gini[8]和Smetana[8]的公式形式一樣，系數(shù)差別僅為0.02，故以Gini[8]公式為代表，與其他9個公式進行分析。以躍前斷面弗勞德數(shù)Fr1為橫坐標，以水躍長度與躍前斷面水深的比值Lj/h1為縱坐標，將該類型10個公式的計算結果繪于圖1。由圖1可以看出，當弗勞德數(shù)為7.62時，Walker[8]公式計算值最大，Шаумян[3]公式計算值最小，前者為后者的1.72倍；當弗勞德數(shù)為2.57時，Walker[8]公式計算值仍最大，Павловский[8]公式計算值最小，前者為后者的1.57倍。

第Ⅲ種類型，即以躍前斷面的弗勞德數(shù)和躍前或躍后水深表示的21個公式，其中李煒2[12]公式因超出本研究分析的弗勞德數(shù)范圍而不做考慮，陳椿庭的2個公式依據(jù)的是同一試驗資料，故采用表1中陳椿庭1[2]公式。對此類所選擇的19個公式的分析結果見圖2。由圖2可以看出，當弗勞德數(shù)為 7.62 時，Silvester[19]公式計算值最大，Пиκалов[11]公式計算值最小，前者為后者的1.52倍；當弗勞德數(shù)為2.57時，劉沛清[16]公式計算值最大，基謝列夫1[14]公式計算值最小，前者為后者的1.68倍。

圖1 以躍前、躍后水深表示的水躍長度公式的比較

第Ⅳ種類型，即其他方法表示的5個公式，其中基謝列夫2[20]計算公式計算的水躍長度值很大，遠遠超出了其他公式的計算范圍，也遠遠超出了試驗范圍，在比較時未予考慮。其他4個公式的計算結果見圖3。從圖3可以看出，蘆丁[8]的公式反映的規(guī)律與其他公式相反，即隨著弗勞德數(shù)的增大相對水躍長度減小；當弗勞德數(shù)為7.62時，Воrдаиов[3]公式的計算值最大，Einwachter[8]公式的計算值最小，前者為后者的1.64倍；當弗勞德數(shù)數(shù)為2.57時，Knapp[8]公式的計算值最大，Einwachter[8]公式的的計算值最小，前者為后者的1.79倍。

1964年，陳椿庭[2]收集了國內外12個水躍長度計算公式，點繪了Fr1與Lj/h1的關系,如圖4所示。圖4還點繪了Bradley等[1]的6個水槽試驗結果。由圖4可以看出，各種公式的計算結果與試驗結果相差較大，例如當Fr1=10時，最大的Lj/h1是最小的2.2倍；當Fr1=16時，最大的Lj/h1是最小的2.3倍。

圖3 以其他方法表示的水躍長度公式的比較

由以上分析可以看出，目前對水躍長度的計算尚存在著較大的差異。產生這種差異的原因固然與水躍區(qū)水流的紊動特性有關，例如水躍的脈動特性、躍后位置擺動的不固定性等，更重要的是不同的人對水躍長度位置的判斷存在不同的看法。Αгроскин[11]認為，躍尾斷面應位于下游的緩流中，水躍長度應根據(jù)水躍擴散區(qū)內的流速分布規(guī)律來確定；Bradley等[1]認為，對水躍長度的觀測是困難的，水躍長度躍尾斷面的位置可以選擇在緊靠旋滾末端的下游斷面或較高的底流速開始脫離槽底位置的較遠的一個。陳椿庭[2]將前人的研究成果歸納為以下3種情況：一是從水面觀測，取水躍旋滾的末端或回流的終止點距躍前斷面的距離為水躍長度；二是從底流觀測，取較高流速的底流開始脫離槽底的位置距躍前斷面的距離為水躍長度；三是將躍后流速分布為明渠正常流速分布的斷面距躍前斷面的距離作為水躍長度。

正是由于對水躍末端位置的認識不同，不同學者根據(jù)自己對水躍長度的理解進行觀測，得出了不同的經驗公式，這是造成公式差異的主要原因。另外水躍區(qū)水流的紊動特性也是造成水躍長度不確定的重要因素，Bradley等[1]在進行水躍試驗時認為，水躍長度重復觀測值的差異在5%以內都是很困難的。

2 水躍長度的分類

2.1 水躍長度和旋滾長度的定義

水躍長度理解、測量及計算中存在的較大差異，給工程設計中如何選擇水躍長度的計算方法帶來了一定的困難，本研究試圖通過對水躍長度的分類，探求適合工程設計的水躍長度計算公式。

1965年，Rajaratnm[4]就將水躍分為旋滾長度Lr和水躍長度Lj，其將旋滾長度定義為躍首到水躍表面旋滾末端之間的水平距離，將水躍長度定義為躍首至躍后水深約等于尾水水深斷面之間的水平距離，約為1.43倍的旋滾長度。1984年，Hughes等[6]也將水躍長度分為旋滾長度和水躍長度，其定義與Rajaratnm[4]相同，并認為水躍長度的定義與Bradley等[1]水躍長度的試驗資料一致。1987年，Bretz[15]認為水躍長度應該有2種定義，一種是以水躍的旋滾末端確定的長度為旋滾長度Lr，另一種是以旋滾后水面基本與渠底平行時的最近點確定的長度為水躍長度Lj，并給出了旋滾長度的公式為：

Lr=(6.29Fr1-3.59)h1。

(1)

1990年，Hager 等[5]給出了旋滾長度的計算公式為：

Lr=8(Fr1-1.5)h1，2.5

(2)

1991年，Hager[21]又對旋滾長度進行了進一步研究，給出的計算公式為：

Lr=[160 tanh(Fr1/20)-12]h1，F(xiàn)r1<15,h1/b<0.1；

(3)

Lr=[100 tanh(Fr1/20)-12]h1，F(xiàn)r1<15,0.1

(4)

式中:b為水槽(即消力池)寬度。作者分析了以上4個旋滾長度的計算公式，其中公式(3)和公式(4)因涉及到消力池寬度而不易比較，故在分析旋滾長度中不考慮采用。公式(1)公式(2)相比，在弗勞德數(shù)較小時，公式(2)計算的旋滾長度小于公式(1)，而在弗勞德數(shù)較大時，公式(2)計算的旋滾長度大于公式(1)，且公式(2)計算的旋滾長度曲線斜率與試驗點的變化趨勢相差較大，而公式(1)計算的旋滾長度曲線斜率與試驗點的趨勢基本一致。由于目前旋滾長度的計算公式很少，故在旋滾長度的比較中采用公式(1)。

以上研究對水躍長度和旋滾長度的分類具有重要的借鑒意義，可以根據(jù)這種分類來研究不同情況下的水躍長度，從而找出適合工程需要的計算公式。表1所列的43個水躍長度計算公式，由于未準確區(qū)分水躍長度和旋滾長度的關系而混淆了水躍長度的概念，從而對其應用產生了困難。

2.2 以躍后水深表示的水躍長度計算公式的比較

以躍后水深表示水躍長度的計算公式的計算結果見圖5。

圖5的數(shù)據(jù)來自于Bradley等[1]、Hughes等[6]、Francesco等[7]和作者的模型試驗，其中旋滾長度用公式(1)計算。計算結果與Bradley等[1]、Hughes等[6]和作者的水躍長度試驗結果接近的為水躍長度；計算結果與Francesco等[7]和作者的旋滾長度試驗結果以及公式(1)計算結果接近的為旋滾長度?？梢钥闯觯珺radley等[1]、Page[8]公式的計算結果與水躍長度的試驗數(shù)據(jù)接近，而Safranez 1[3]公式的計算結果與旋滾長度接近，Safranez 2[8]公式的計算結果介于旋滾長度與水躍長度之間，Douma[8]公式的計算結果遠小于旋滾長度。

2.3 以躍前、躍后水深表示的水躍長度計算公式的比較

圖6是以躍前、躍后水深表示的水躍長度計算公式的計算結果與試驗資料和公式(1)旋滾長度計算結果的比較。由圖6可以看出，張長高[3]、Gini[8]的公式與Bradley等[1]、Hughes等[6]及作者的水躍長度模型試驗結果比較接近，而Павловскйиs[8]的計算結果與旋滾長度模型試驗結果接近，Аравин[8]和Павловский[8]公式介于旋滾長度與水躍長度之間。Walker[8]、Elevatorski[3]、張迎春[9]的公式計算的Lj/h1值大于Bradley等[1]、Hughes等[6]和作者的水躍長度模型試驗結果，而Мацман[3]和Шаумян[3]的計算結果略大于旋滾長度模型試驗值，但小于公式(1)的計算值。

2.4 以躍前斷面的弗勞德數(shù)和躍前或躍后水深表示的水躍長度計算公式的比較

圖7是以躍前斷面的弗勞德數(shù)和躍前或躍后水深表示的水躍長度計算公式計算結果與試驗結果及公式(1)旋滾長度計算結果的比較。由圖7可以看出，陳椿庭1[2]、陳椿庭2[2]、吳持恭1[10]、Bremen等[17]、郭子中[8]以及李煒1[12]公式與Bradley等[1]、Hughes等[6]和作者的水躍長度模型試驗結果比較接近，而Safranez 3[3]的計算結果與公式(1)計算的旋滾長度接近，Ohtsu[15]和吳持恭2[13]公式的計算結果介于旋滾長度與水躍長度之間。Wu[2]、Kozeny[3]、沈波[18]、Silvester[19]、劉沛清[16]和倪漢根等[15]公式的計算結果大于Bradley等[1]、Hughes等[6]和作者的模型試驗結果，而Iνаnchenko[8]、姚琢之[8]、基謝列夫1[14]、Чертоусов[8]和Пиκалов[11]公式計算值均略大于旋滾長度的試驗值，但小于用公式(1)計算的旋滾長度。

圖6 以躍前、躍后水深表示的水躍長度計算公式Lj/h1計算值與試驗數(shù)據(jù)的比較

2.5 其他方法表示的水躍長度計算公式的比較

圖8是以其他方法表示的水躍長度計算公式計算結果與試驗結果和公式(1)旋滾長度計算結果的比較。由圖8可以看出，Вогдаиов[3]的計算值過于偏大，遠大于水躍長度的試驗值；Einwachter[8]和Knapp[8]的公式介于旋滾長度與水躍長度之間；蘆丁[8]公式計算的Lj/h1隨著弗勞德數(shù)的增加而減小，與其他公式的規(guī)律不同。

由以上分析可以看出，水躍長度與Bradley等[1]、Hughes等[6]與作者的模型試驗資料比較接近的有Bradley等[1]、Page[8]、張長高[3]、Gini[8]、Smetana[8]、陳椿庭1[2]、陳椿庭2[2]、吳持恭1[10]、Bremen等[17]、郭子中[8]公式以及李煒[12]的2個公式；與經驗公式(1)計算的旋滾長度接近的公式有Safranez 1[3]、Safranez 3[3]和Павловскйиs[8]公式；介于水躍長度和旋滾長度之間的有Safranez 2[8]、Аравин[8]、Павловский[8]、Ohtsu[15]、吳持恭2[13]、Einwachter[8]和Knapp[8]的公式；大于Bradley等[1]、Hughes等[6]和作者的水躍長度模型試驗資料的有Walker[8]、Elevatorski[3]、張迎春[9]、Silvester[19]、Wu[2]、Kozeny[3]、沈波[18]、劉沛清[16]和倪漢根等[15]的公式；小于旋滾長度的公式有Douma[8]公式；Мацман[3]、Шаумян[3]、Iνаnchenko[8]、姚琢之[8]、基謝列夫1[14]、Чертоусов[8]和Пиκалов[11]公式的計算結果略大于旋滾長度試驗結果，但小于用公式(1)計算的旋滾長度。與試驗規(guī)律相反的是蘆丁[8]公式。

圖8 以其他方法表示的水躍長度計算公式Lj/h1計算值與試驗數(shù)據(jù)的比較

在以上公式中，陳椿庭[2]和吳持恭[10,13]所依據(jù)的資料來自Bradley等[1]的試驗資料，Bremen等[17]的公式與Bradley等[1]的試驗資料基本吻合，張長高[3]公式的數(shù)據(jù)來源于前蘇聯(lián)學者的試驗資料(弗勞德數(shù)為1.702～18.450)，與Bradley等[1]試驗的弗勞德數(shù)(1.70～19.55)比較接近。作者分析張長高[3]的公式，發(fā)現(xiàn)其計算結果與所使用的資料誤差較大，平均誤差為33.5%，而與Bradley等[1]的試驗資料比較接近，誤差僅為5.37%。因此認為張長高在分析其公式的系數(shù)時，參考了Kozeny[3]、Elevatorski[3]、吳持恭1[10]和陳椿庭[2]等人的公式，所得結果反而與Bradley等[1]的試驗資料基本一致。由于Bradley等[1]和張長高[3]所使用資料的弗勞德數(shù)范圍較大，所以建議在設計消力池時，自由水躍長度使用陳椿庭[2]、吳持恭1[10]、Bremen等[17]和張長高[3]的公式計算。對于旋滾長度，由于計算公式較少，下面根據(jù)Francesco等[7]和作者的模型試驗資料重新分析給出。

3 旋滾長度和水躍長度計算的新公式

3.1 旋滾長度

2007年，F(xiàn)rancesco等[7]在粗糙壁面水躍的研究中，為了對比同時測量了光滑壁面水躍的旋滾長度，測量的弗勞德數(shù)為1.87～7.67，共有72組數(shù)據(jù)。作者也進行了旋滾長度的模型試驗，共有10組數(shù)據(jù)。用這82組數(shù)據(jù)對公式(1)和公式(2)進行驗證，結果如圖9所示?？梢钥闯?，公式(1)和公式(2)與試驗點偏離較大，公式(1)的平均誤差為42.44%，公式(2)的平均誤差為19.57%。為了提高計算精度，根據(jù)Francesco等[7]和作者共82組試驗數(shù)據(jù)，重新擬合得到旋滾長度的計算公式為：

Lr=5.450 6(Fr1-1)1.037 6h1，1.82

(5)

將公式(5)的計算值也列于圖9進行比較，可以看出，該公式的計算精度高于公式(1)和公式(2)，平均誤差為11.38%。

3.2 水躍長度

根據(jù)Bradley等[1]于1957年得到的水躍長度試驗的117組數(shù)據(jù)，以及1984年Hughes等[6]水躍長度試驗的30組數(shù)據(jù)和作者水躍長度模型試驗的10組數(shù)據(jù)，繪制Fr1-1和Lj/h1關系圖，結果如圖10所示。由圖10可以看出， 在弗勞德數(shù)相同的情況下，Hughes等[6]與Bradley等[1]的試驗結果是基本一致的。因此重新對水躍長度進行分析，擬合關系式為：

Lj=10.55(Fr1-1)0.941 6h1，1.7

(6)

經分析，上式的平均誤差為5.05%。

水躍長度還可以用下式計算，即：

Lj=7.425 7(h2-h1)(Fr1-1)-0.054 8，1.7

(7)

公式(7)的平均誤差為4.5%。

圖9 旋滾長度計算值與試驗結果的比較

比較公式(5)和公式(6)，可得水躍長度和旋滾長度之間的關系為：

Lj=1.936Lr(Fr1-1)-0.096。

(8)

經計算，在弗勞德數(shù)為1.82～7.67時，水躍長度是旋滾長度的1.973～1.614倍?？梢姼诘聰?shù)越小，水躍長度與旋滾長度的比值越大。

圖10 水躍相對長度Lj/h1與(Fr1-1)的關系

4 結 論

本研究對國內外的43個水躍長度公式進行歸納整理，按照Bradley等[1]、Hughes等[6]、Francesco等[7]和作者對水躍長度和旋滾長度的試驗資料以及公式(1)對43個公式進行了分類，認為與Bradley等[1]、Hughes等[6]和作者的水躍長度試驗結果比較符合的為水躍長度公式，與Francesco等[7]和作者的旋滾長度試驗結果以及公式(1)計算結果比較符合的為旋滾長度公式。分析表明，43個公式中，有12個公式的計算結果與Bradley等[1]、Hughes等[6]和作者的水躍長度試驗結果吻合，可以作為水躍長度公式；有3個公式基本符合Francesco等[7]和作者的旋滾長度試驗結果以及公式(1)的計算結果；其余大多數(shù)公式計算結果介于水躍長度和旋滾長度之間，但也有少數(shù)公式水躍長度的計算值大于Bradley[1]、Hughes等[6]和作者水躍長度的試驗結果，或小于Francesco等[7]和作者旋滾長度的試驗結果以及公式(1)的計算結果；而蘆丁[8]公式與試驗結果相差較大。顯然，小于旋滾長度的公式在工程上應用是不安全的，為此推薦陳椿庭[2]、吳持恭1[10]、Bremen等[17]、張長高[3]以及作者提出的計算水躍長度的新公式為消力池自由水躍長度的計算公式，這幾個公式適用的弗勞德數(shù)為1.70～19.55。對于旋滾長度，推薦采用作者提出的公式(5)進行計算。另外，本研究還分析了水躍長度和旋滾長度之間的關系，表明在弗勞德數(shù)為1.82～7.67時，水躍長度是旋滾長度的1.973～1.614倍。

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