王佳偉，楊亞非，錢玉恒

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 飛行器控制實驗教學(xué)中心,黑龍江 哈爾濱 150001)

Model205a型扭轉(zhuǎn)振動裝置是由世界知名的教學(xué)設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)(美國ECP公司)生產(chǎn)制造的，已經(jīng)在世界上500所大學(xué)中推廣使用。該裝置可以模擬單自由度、雙自由度和三自由度系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動特性，分析激勵頻率對系統(tǒng)固有頻率的影響。此外，還可將其作為被控對象，進(jìn)行控制算法的設(shè)計和仿真驗證研究。本文將其配置成四階的雙自由度對象模型，推導(dǎo)其數(shù)學(xué)模型，設(shè)計極點配置控制器，并且通過仿真實驗驗證控制器的作用效果。

1 裝置簡介

實驗裝置的組成如圖1所示。該裝置有以下3個主要組成部分：

第1部分是扭轉(zhuǎn)振動裝置的機械部分，它由扭轉(zhuǎn)機構(gòu)、執(zhí)行器和傳感器構(gòu)成，詳細(xì)介紹見文獻(xiàn)[11]。

第2部分是由M56000系列的DSP控制器板卡(見圖2)和輸入輸出電箱組成的控制系統(tǒng)。DSP控制器能夠以高采樣率來執(zhí)行控制律，解釋軌跡命令，并支持?jǐn)?shù)據(jù)采集、軌跡生成、系統(tǒng)狀態(tài)及安全檢測等功能。板卡中還包括可以實現(xiàn)編碼器脈沖解碼邏輯門陣列和2個進(jìn)行實時模擬信號測量的輔助數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)?？刂破鞯陌蹇ㄅc實際工業(yè)控制中使用的板卡相同。電箱主要功能是為機械部分提供驅(qū)動電壓，同時接收編碼器的反饋信號，返回到控制器的板卡上，進(jìn)而為執(zhí)行程序提供測試數(shù)據(jù)。

圖1 扭轉(zhuǎn)振動裝置組成

圖2 DSP控制器卡

第3部分是系統(tǒng)執(zhí)行軟件，即應(yīng)用軟件和用戶界面，它支持控制器指定、軌跡定義、數(shù)據(jù)采集、繪圖系統(tǒng)執(zhí)行指令等功能。執(zhí)行軟件支持使用直觀的“類C”語言來編寫控制器算法程序，并且運行控制器。內(nèi)置的自動編譯器為執(zhí)行程序代碼提供有效傳送和運行。此外，該執(zhí)行軟件還提供了與其他應(yīng)用軟件的接口，可以與Matlab軟件進(jìn)行連接調(diào)試。執(zhí)行軟件的運行窗口如圖3所示。

圖3 執(zhí)行軟件的運行窗口界面

用戶可以編寫執(zhí)行程序中的控制算法，然后將其加載到基于DSP的實時控制板卡上，DSP在每個指定的采樣周期內(nèi)執(zhí)行此算法，讀取參考輸入和反饋傳感器(光電編碼器)的值，經(jīng)過計算將數(shù)字控制效果信號輸出到數(shù)模轉(zhuǎn)換器(DAC)，數(shù)模轉(zhuǎn)換器將數(shù)字流轉(zhuǎn)換為模擬電壓，然后通過一個伺服放大器轉(zhuǎn)換為電流，再通過電機變?yōu)檗D(zhuǎn)矩，電機根據(jù)設(shè)備動力學(xué)特性將電機的輸入轉(zhuǎn)變?yōu)樗谕妮敵?。設(shè)備完成指定的動作后，傳感器的測試數(shù)據(jù)通過電箱回傳到執(zhí)行軟件中，用于繪圖和存儲。

2 雙自由度對象的模型推導(dǎo)

實驗裝置可配置為雙自由度系統(tǒng)，如圖4所示，忽略摩擦。輸入為轉(zhuǎn)矩T(t)，輸出為第1個圓盤的角度θ1(t)和第2個圓盤的角度θ2(t)，2個圓盤的慣量分別為J1和J2，彈簧的彈性系數(shù)為k1，

圖4 雙自由度對象模型

對2個圓盤進(jìn)行受力分析及根據(jù)牛頓第二定律得到運動方程：

(1)

對上式兩邊取拉普拉斯變換，并假設(shè)初始條件為零，得到傳遞函數(shù):

N1(s)=J2s2+k1

N2(s)=k1

D(s)=s2(J1J2s2+(J1+J2)k1)

(2)

用狀態(tài)空間法表示：

(3)

其中：

當(dāng)Y=Xi,(i=1,2,3,4)且其余量為零時，Ci=1,(i=1,2,3,4)。

由數(shù)學(xué)模型可知，該模型為四階二型系統(tǒng)，可以看成是剛體加一階振蕩模態(tài)組成，可以模擬單輸入單輸出、單輸入多輸出的系統(tǒng)。對于該模型的控制算法的研究，具有重要的應(yīng)用意義。

3 極點配置控制器的設(shè)計及仿真驗證

極點配置是一種利用狀態(tài)或輸出反饋，把線性系統(tǒng)的極點配置到預(yù)定位置，用來使閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到某種控制性能的控制律[12]。它的實質(zhì)是用比例反饋去改變原系統(tǒng)的自由運動模式，以滿足設(shè)計規(guī)定的性能要求。目前多數(shù)采用狀態(tài)反饋和輸出反饋方法可以實現(xiàn)極點的任意配置。例如對于某個線性定常系統(tǒng) (A，B，C)，在采用反饋增益矩陣K實現(xiàn)狀態(tài)反饋后，閉環(huán)系統(tǒng)就變成為(A+BK，B，C)。只要原系統(tǒng)(A，B，C)是能控的，則這樣的反饋增益矩陣K就一定可以找到。反饋增益矩陣K的求解，對于單輸入單輸出情況，已有較為簡單的計算公式；對于一般的多輸入多輸出情況，計算步驟要復(fù)雜得多，往往需要采用計算機來處理。

本節(jié)將對于雙自由度的扭轉(zhuǎn)控制裝置，設(shè)計極點配置控制器來對其進(jìn)行控制，并通過在裝置上的仿真實驗來驗證控制律的有效性。

3.1 極點配置控制器的設(shè)計

如圖5所示，雙自由度系統(tǒng)等價為2個單自由度系統(tǒng)的串聯(lián)，通過2個閉環(huán)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)控制，同時在輸入端加前置濾波器kpf/R(s)。在內(nèi)環(huán)中考慮θ1(t)為被控量，則控制對象的模型為khwN1(s)/D(s)。然后為θ1(t)設(shè)計控制律，采用PD控制器kp+kds和低通濾波器af/(s+bf)，則內(nèi)環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

圖5 極點配置控制器結(jié)構(gòu)框圖

(4)

需要設(shè)計參數(shù)使得內(nèi)環(huán)等價為比例系數(shù)為1的環(huán)節(jié)。設(shè)計完內(nèi)環(huán)的控制器之后再針對θ2(t)作為被控量，則外環(huán)的控制對象為

(5)

需要設(shè)計一個反饋控制器S(s)/R(s)以得到預(yù)期的閉環(huán)極點。則外環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(6)

得到閉環(huán)特征多項式為

Dcl(s)=D*(s)R(s)+N*(s)S(s)

(7)

也可以表示為

Dcl(s)=(d2s2+d1s+d0)(r1s+r0)+

n0(s1s+s0)

(8)

式中，di和ni分別是公式(5)右邊部分中分子和分母的參數(shù)，它們的值可由對象模型公式確定。ri和si代表反饋控制器的參數(shù)，是需要設(shè)計的。

假設(shè)期望的特征多項式為

Dcl(s)=(s+p1)(s+p2)(s+p3)

(9)

式中的pi即為期望的極點，是預(yù)先給定的參數(shù)。通過比較閉環(huán)特征多項式和期望特征多項式，就可以求出反饋控制器的參數(shù)ri和si。至此，完成了雙自由度系統(tǒng)極點配置控制器的設(shè)計。

3.2 扭轉(zhuǎn)振動裝置的控制器參數(shù)的設(shè)計

本節(jié)的內(nèi)容是為上一小節(jié)得到的控制器設(shè)計參數(shù)。N1(s)，N2(s)和D(s)由公式(2)給出，其中J1、J2、k1，以及裝置的硬件增益khw均為已知。

首先按照單自由度的PD控制器設(shè)計方法進(jìn)行內(nèi)環(huán)PD控制器的設(shè)計，根據(jù)公式:

(10)

(11)

式中,fn為無限振蕩頻率,ζ為阻尼比。

設(shè)計PD控制增益，使fn=10 Hz，ζ=0.707。計算得到kp=2.5 ，kd=0.056。由于濾波器在s=-240(大約40 Hz)處有一個極點，并具有單位直流增益，解出濾波器參數(shù)af=240和bf=240。則內(nèi)環(huán)總的控制器傳遞函數(shù)C內(nèi)具有如下形式：

(12)

計算PD控制器和低通濾波器串聯(lián)形成的控制器的分子和分母，得到e0=600，e1=13.3，g0=240，g1=1，即為內(nèi)環(huán)的控制器參數(shù)，可知內(nèi)環(huán)的開環(huán)放大增益近似等于1。

其次，計算外環(huán)反饋控制器，指定3個期望的極點為

(13)

則相應(yīng)的期望特征多項式為

(14)

通過計算可得得到s0=-7.968 143，s1=3.492 598，r0=36.671 07，r1=1。計算出標(biāo)量前置濾波器增益kpf=29.70，使輸出θ2(s)匹配于輸入rr(s)。

3.3 仿真驗證

通過系統(tǒng)辨識的實驗，可以確定khw,J1,J2,k1的值。將計算得到的PD控制器參數(shù)、低通濾波器參數(shù)、反饋控制器參數(shù)以及前置濾波器參數(shù)輸入到軟件中，得到一個雙閉環(huán)的控制系統(tǒng)。

仿真步驟：設(shè)置輸入幅值為1 000，持續(xù)時間為2 s，重復(fù)次數(shù)為1的階躍信號；選擇控制器類型為General Form，分別輸入控制器參數(shù)，并加載到控制器中，設(shè)置數(shù)據(jù)采集，繪制編碼器1、編碼器3和命令位置的數(shù)據(jù)，得到對象的階躍響應(yīng)曲線見圖6。

圖6 極點配置控制器階躍響應(yīng)

由圖6中的響應(yīng)曲線可知，系統(tǒng)的超調(diào)量非常小，響應(yīng)速度較快，證明所設(shè)計的極點配置控制器具有良好的控制性能。

4 結(jié)束語

本文首先對美國ECP公司的扭轉(zhuǎn)振動裝置的系統(tǒng)組成、性能和所能實現(xiàn)的功能進(jìn)行概要介紹。然后對于該裝置的一種等效的雙自由度系統(tǒng)模型，設(shè)計了極點配置控制器，并驗證了控制器的效果。本實驗加深了對先進(jìn)控制器設(shè)計方法的理解，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)更復(fù)雜的控制方法打下基礎(chǔ)。

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