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        一類半線性橢圓問題非平凡解的存在性

        2014-03-26 01:27:28高婷梅
        關(guān)鍵詞:山路常數(shù)定理

        高婷梅

        (陜西理工學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院, 陜西 漢中 723000)

        1 主要結(jié)果

        考慮下面的Dirichlet邊界值問題

        -△u+b(x)u=f(x,u),x∈Ω,u=0,x∈?Ω,

        (1)

        在文獻[1]中,作者在(AR)條件成立的前提下研究了方程(1):

        此(AR)條件對于證明相應(yīng)的泛函具有山路幾何結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的(PS)c序列有界時起著至關(guān)重要的作用, 但它卻不包含一些超二次非線性項, 例如

        為了克服缺失(AR)條件帶來的困難,很多數(shù)學(xué)家作出了努力,可見文獻[2-8]。本文中, 假設(shè)條件(f1)成立,在缺乏(AR) 條件的情況下證明方程(1)存在非平凡解。下面給出本文的主要結(jié)果。

        定理假設(shè)f(x,t)滿足(f1)和以下條件:

        (f4) 存在常數(shù)θ≥1,θ0>0使得θG(x,s)≥G(x,t)-θ0對所有的x∈Ω,0≤t≤s都成立, 其中G(x,t)=f(x,t)t-2F(x,t)。

        則方程(1)至少存在一個非平凡解。

        注:文獻[9-10]中,在缺乏(AR)條件的情況下,利用局部環(huán)繞定理(見文獻[1])證明了方程(1)至少存在一個非平凡解,但是卻假設(shè)以下條件成立:

        顯然, 條件(f4)不同于條件(f0);其次,本文利用了條件(f3),由于0≤a<+∞, 這包含了文獻[9-10]中的情形。

        2 定理的證明

        由條件(f3),常數(shù)a<+∞,可以分成兩種情況:

        ,e2,…,en},n∈N,

        (a) 證明I在0處關(guān)于(X1,X2)局部環(huán)繞,即存在δ0>0,使得

        I(u)≤0,?u∈X2且‖u‖≤δ0,

        I(u)≥0,?u∈X1且‖u‖≤δ0。

        λk-1st2≤tf(x,st)≤λkst2。

        (2)

        因為dimX2<+∞,則存在C1>0,使得

        ‖u‖∞≤C1‖u‖, ?u∈X2,

        所以由式(2)可知

        其中C3>0是一個常數(shù)。因為q>2,則對所有的u∈X1,當‖u‖足夠小時,有I(u)≥0。

        (b) 證明I滿足(PS)*條件。

        假設(shè){uαn}是一個使得αn可容許的序列,并且滿足

        (3)

        ωn→ω在L2(Ω)中,

        ωn(x)→ω(x), a.e.x∈(Ω)。

        ∞, a.e.x∈Ω+,

        上式可以推出

        →+∞,n→+∞, a.e.x∈Ω+,

        (4)

        由條件(3),有

        所以

        ≤1+C4‖b‖∞≤C0,

        其中C4,C0>0是常數(shù)。這和(4)式矛盾。

        (5)

        由上式可得

        I(tnun)→+∞,n→+∞。

        (6)

        注意到I(0)=0且I(un)≤c,因此當n充分大時tn∈(0,1)。所以

        從而

        (7)

        因為0≤tn≤1,所以|tnun|≤|un|,連同 (f4),(6)以及(7)式可以得到,當n→+∞時,

        (8)

        然而由(3)可知

        這和(8)式矛盾。所以{un}有界。

        F(x,t)≥M1t2-M2, ?(x,t)∈Ω×R,

        所以

        利用局部環(huán)繞定理,方程(1)存在一個非平凡解。

        Ⅱ 假設(shè)0≤a<λ1,利用一個變化的山路引理(見文獻[11])證明定理。

        由條件(f2)和(f3),對任何ε>0,存在A>0使得

        上式結(jié)合Poincare不等式和Sobolev不等式可得

        則有

        I|?Bρ≥β>0。

        (c′)證明泛函I滿足(C)條件。

        I(un)→c, (1+‖un‖)‖I′(un)‖→0,n→+∞,

        利用變化的山路引理, 可以得到方程(1)的一個非平凡解。

        定理得證。

        [參考文獻]

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