李曉康

(陜西理工學院 數(shù)學與計算機科學學院， 陜西 漢中 723000)

0 引 言

兩點分布是一類最基本、最簡單的統(tǒng)計分布，它描述僅有兩種狀態(tài)(其中一個結果視為成功，另一個結果視為失敗)的隨機現(xiàn)象，許多隨機現(xiàn)象都可用它進行描述，如產(chǎn)品合格率問題、疾病發(fā)病率問題等。故對其參數(shù)(成功概率)的估計成為統(tǒng)計中的重要問題?；诓煌慕y(tǒng)計思想，可給出不同的估計，常用的有矩估計、極大似然估計等。按照Bayes統(tǒng)計學的觀點，參數(shù)估計問題可視為一個特殊的統(tǒng)計決策問題，可按照一定的標準進行評價，如均方誤差風險等，在不同的先驗信息下，會給出不同的估計，不同的估計即為不同的決策。故可在不同的先驗下，尋找風險最小的估計。對此問題，已取得了一些結果。[1-6]

本文在幾種不同先驗信息和平方損失下研究了0-1分布參數(shù)的Bayes估計，討論了其性質(zhì)，并進行了數(shù)值仿真實驗，利用仿真實驗結果對其進行比較。

1 先驗信息

Bayes理論認為：未知參數(shù)θ可視為隨機變量，可用某種概率分布π(θ)去描述。至于具體用何種分布去描述，依賴于對總體參數(shù)過去的認識，是取得樣本前已有的，稱為先驗信息(亦稱先驗分布)。本文對0-1分布未知參數(shù)θ(成功概率)的先驗分布考慮如下兩種。

1.1 無信息先驗分布

此種先驗分布無任何先驗信息可用，故先驗分布可取為參數(shù)空間Θ上的均勻分布。對0-1分布，其成功概率θ的無信息先驗分布可取為區(qū)間[0,1]上的均勻分布，即：

(1)

1.2 Jeffreys先驗分布

Jeffreys先驗分布為參數(shù)θ的Fisher信息陣的行列式的平方根[1]，即：

π2(θ)=[I(θ)]1/2，

本文假設：總體X～b(1,θ)，分布列P(X=x|θ)=θx(1-θ)1-x,x=0,1。

樣本聯(lián)合條件分布(似然函數(shù)):

對數(shù)似然函數(shù):

xlnθ+(n-x)ln(1-θ),

,

故

π2(θ)=[I(θ)]1/2∝θ-1/2(1-θ)-1/2。

(2)

2 后驗分布

Bayes理論認為：由先驗分布和樣本信息可計算后驗分布，即先驗分布+樣本信息?后驗分布:

π(θ)⊕p(x|θ)?π(θ|x),

此即Bayes公式：

(3)

下面按式(3)可計算后驗分布。

2.1 無信息先驗分布的后驗分布

由式(1)給出的先驗分布及式(3)可得樣本與參數(shù)的聯(lián)合分布為

樣本邊際分布為

后驗分布為

(4)

2.2 Jeffreys先驗分布的后驗分布

由式(2)給出的先驗分布及式(3)可得樣本與參數(shù)的聯(lián)合分布為

樣本邊際分布為

故由Bayes公式，先驗分布π2(θ)的后驗分布為

(5)

3 Bayes估計

參數(shù)的Bayes估計依賴于損失函數(shù)，本文選取平方損失函數(shù)，即：

在此損失函數(shù)下，參數(shù)的Bayes估計有以下結論：

由此結論，對本文給出的兩種先驗分布，有如下結果:

3.1 無信息先驗分布

由式(4)給出的后驗分布，有：

3.2 Jeffreys先驗分布

由式(5)給出的后驗分布，有：

4 兩種估計的比較

4.1 無偏性

即：兩種估計都不是θ的無偏估計，但都是θ的漸近無偏估計。

4.2 方 差

4.3 均方誤差

均方誤差的定義為：

θ)2。

對如上給出的兩種參數(shù)估計，可計算其均方誤差：

4.4 風 險

Bayes估計的風險定義為后驗分布下的平均損失，即：

兩種估計的風險分別為：

由以上結果可以看出，兩種估計的均方誤差取決于樣本容量n和參數(shù)真值θ的大小，風險取決于樣本觀測值與樣本容量n的大小,可以證明：

,R1(n,x)

下面通過數(shù)值仿真來討論其性質(zhì)。

5 數(shù)值仿真及結論

對如上給出的兩種參數(shù)估計，對不同的樣本容量n和參數(shù)真值θ，下面采用數(shù)值仿真計算結果進行比較。

對樣本容量n=30,50時的不同參數(shù)真值及不同樣本觀測值，經(jīng)隨機模擬仿真實驗，產(chǎn)生的隨機樣本，計算兩種估計的均方誤差及風險，部分結果如表1—表4、圖1—圖4所示。

表1 n=30時不同參數(shù)真值的均方誤差

表2 n=50時不同參數(shù)真值的均方誤差

表3 n=30時不同樣本觀測值的風險

表4 n=50時不同樣本觀測值的風險

圖1 n=30時不同參數(shù)真值的均方誤差 圖2 n=50時不同參數(shù)真值的均方誤差

圖3 n=30時不同樣本觀測值的風險 圖4 n=50時不同樣本觀測值的風險

由表1—表4及圖1—圖2可以看出，當n=30,50時，對不同參數(shù)真值，兩種估計的均方誤差都具有隨參數(shù)真值先增大、后減小的趨勢；對不同的樣本觀測值，兩種估計的風險也具有隨樣本觀測值先增大，后減小的趨勢；總體來講，無信息先驗分布下估計的均方誤差及風險要小于Jeffreys先驗分布下估計的均方誤差及風險。

[參考文獻]

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[5] BERGER O.統(tǒng)計決策及貝葉斯分析[M].賈乃光,譯.北京：中國統(tǒng)計出版社，1998.