張志昌，趙瑩

(西安理工大學 水利水電學院，陜西 西安 710048)

1 梯形斷面明渠的水躍共軛水深方程

水躍是水流從急流過渡到緩流時水面突然躍起的一種水面銜接形式，通過寫躍前和躍后斷面的動量方程，可以得到水躍共軛水深的一般計算公式為[1]：

Q2/gA1+A1hc1=Q2/gA2+A2hc2

(1)

式中，Q為流量、g為重力加速度,A1、A2分別表示水躍前和后斷面的面積,hc1、hc2分別表示水躍前和后斷面形心距水面的距離。

對于梯形斷面有：

A=(b0+mh)h

(2)

(3)

式中，m為梯形斷面的邊坡系數,h為梯形斷面的水深,b0為梯形斷面的底寬。

將公式(2)和公式(3)代入公式(1)得：

(4)

式(4)為梯形斷面水躍共軛水深計算的一般公式。

令，N=mq2/3/b0,q=Q/b0,代入公式(4)得梯形斷面的又一水躍方程為[2]：

(5)

將公式(2)和公式(3)代入公式(1)，并令β=b0/(mh1)、η=h2/h1，則有：

從而得梯形斷面的另一水躍方程為[3]：

η4+(2.5β+1)η3+(1.5β+1)(β+1)η2+

[(1.5β+1)β-3σ2/(1+β)]η-3σ2=0

(6)

因為：

代入公式(6)得：

(7)

式(7)中，Fr1為躍前斷面的弗勞德數,v1為躍前斷面的流速,h1為躍前斷面的水深,h2為躍后斷面的水深。

2 梯形斷面明渠水躍共軛水深方程解的現狀

由以上梯形斷面明渠水躍共軛水深的公式可以看出，公式(4)和(5)復雜，不易求得解析解，其求解方法主要有試算法，圖解法、近似計算法、迭代法和遺傳算法。對于公式(6)和(7)，雖然可以求得解析解，但計算過程仍然復雜。

試算法是最早應用的方法，該方法的特點是根據已知梯形斷面的有關參數和躍前斷面或躍后斷面的水深，通過試算求解另一斷面的水深，試算法計算工作量大[2]。

前蘇聯的拉赫曼諾夫教授給出了計算梯形斷面水躍共軛水深的圖解法[4]，在對數坐標內給出了函數mhk/b0曲線。在這些曲線上，位于同一條垂直直線上的每一對點都相當于一對共軛水深，只要知道了梯形斷面的底寬b0、邊坡系數m、臨界水深hk和共軛水深之一，就可以從該曲線上查出另一共軛水深。文獻[5]根據η=f(σ,β)的函數關系，以σ為橫坐標，以η為縱坐標，以β為參數繪制成一組曲線簇，以供計算時查用，但是圖解法計算精度較低。

迭代法近年來應用較多。1998年，馮家濤[6]根據水躍方程公式(5)提出了計算躍前和躍后斷面水深的迭代公式，其中躍前斷面水深的迭代公式為：

(8)

躍后斷面水深的迭代公式為：

(9)

式中,x=h1/q2/3,N=mq2/3/b0,y=h2/q2/3。

在初值的選取中，馮家濤利用矩形斷面共軛水深可以直接求解的特點, 將梯形斷面共軛水深的求解近似用矩形斷面的公式表達, 為了保證一定的精度, 引入斷面特征修正參數β1得：

(10)

(11)

其中：

β1=1+b0N0.9/6

(12)

1999年劉玲[7]采用與馮家濤完全相同的迭代方法，其不同點在于β1的計算為：

β1=1+[N4J(h)]0.196/7

(13)

2003年張小林[8]利用公式(5)計算梯形斷面水躍的共軛水深，計算時采用牛頓迭代法，得出梯形斷面水躍的躍前和躍后斷面水深的迭代公式為：

(14)

(15)

初值的選取仍用公式(10)和(11)，式中β1用公式(12)計算。

2003年孫道宗[9]直接利用公式(4)計算梯形斷面的水躍共軛水深，在計算時如果已知躍前水深h1，計算出J(h1)，則躍后水深的迭代式為：

(16)

如果知道躍后水深h2，計算出J(h2)，則躍前斷面水深的迭代公式為：

(17)

初值的選取公式為：

h10=hk+(hk-h2)(hk/h2)1/1.5

(18)

h20=hk+(hk-h1)(hk/h2)1/2

(19)

式中，hk為梯形斷面的臨界水深。

孫道宗還通過三個算例總結出梯形斷面明渠水躍的躍前和躍后斷面的水深簡單計算公式為：

已知躍前水深h1，求躍后水深h2為：

h2=hk+(hk-h1)(hk/h1)1/2

(20)

(21)

已知躍后水深h2，求躍前水深h1為：

h1=hk+(hk-h2)(hk/h2)1/ε

(22)

ε=1.60-(1-hk/h2)2.57

(23)

公式(20)和(21)看似簡單，實際上梯形斷面的臨界水深hk也需要通過試算或迭代計算。

2009年趙延風[10]對梯形斷面的水躍方程進行了變換，令：

λ=B/b0=(b0+2mh)/b0=1+2mh/b0

由此得:

h=b0(λ-1)/(2m)

將其代入水躍方程公式(4)得：

(24)

即：

(25)

由公式(25)得出躍前斷面水深的迭代公式為：

(26)

躍后斷面水深的迭代公式為：

(27)

初值的計算公式為：

λ0=2ζmh/b0+1

(28)

式中，h為矩形渠道水躍的共軛水深。ζ用經驗公式計算。

躍前水深為：

ζ=1/(1+0.75mh2/b0)

(29)

躍后水深為：

ζ=1/[1+0.35mq2/3/b0-0.025(mq2/3/b0)2]

(30)

公式(29)和公式(30)的應用范圍為:

h1/q2/3=0～0.45

h2/q2/3=0.4～1.5

mq2/3/b0=0.1～4.0

2010年劉計良[11]令：N=mq2/3/b0,x=h1/hk,y=h2/hk,z=mhk/b0，將其代入梯形斷面的水躍方程公式(4)，得到水躍方程的另一表達式為：

(31)

劉計良認為x和y存在函數關系，即：

y=(1-αx)/[(1-α)x]

(32)

式中:

α=0.08N-0.3k

(33)

k=γ/γmin

(34)

式中，γmin是當x=y=1時由公式(31)計算的最小γ值。

2012年李蕊[12]在研究梯形渠道的水躍共軛水深時采用公式(5)，得到的迭代公式與馮家濤的相同，不同之處是在選取初值時，躍前水深的初值要解一元二次方程，躍后水深的初值要解一元三次方程。

2002年金菊良[13]把求解梯形明渠水躍共軛水深的問題等價于兩個非線性優(yōu)化問題。統一用模擬生物進行過程中優(yōu)勝劣汰規(guī)則與群體內部染色體信息交換機制通用的優(yōu)化方法是加速遺傳算法計算梯形斷面的水躍，誤差約為4%。

倪漢根[14]通過對梯形斷面的水躍方程公式(6)解一元四次方程，得到了梯形斷面的水躍共軛水深比的顯式解。在計算時先計算有關參數，即：

p=-(1.5β2+2.5β+1)

q=(2.5β+1)[1.5β2+β-

3σ2)/(1+β)]+12σ2

r=3(2.5β+1)2σ2-12(1.5β2+2.5β+1)σ2-

[1.5β2+β-3σ2/(1+β)]2

設：

αj=-p2/3+q

βj=2p3/27-pq/3+r

D1=0.5[(2.5β+1)-

共軛水深為：

(35)

上面論述了目前梯形渠道水躍共軛水深的一些主要計算方法，可以看出，梯形斷面水躍共軛水深的計算除試算法和圖解法外，近年來主要采用迭代計算方法。迭代計算不管采用哪種方法，計算過程均比較復雜，且均為近似計算，趙延風[10]比較了各家迭代公式的精度，認為“馮家濤公式計算的躍前水深最大相對誤差為-3.287% ，躍后水深為-3.002%；劉玲公式的躍前為-2.122% ，躍后為-2.236%；張小林公式的躍前為-6.014% , 躍后為9.460%；孫道宗公式的躍前為-14.359%, 躍后為-7.737%; 趙延風公式的躍前為0.963%, 躍后為-1.1%。倪漢根雖然通過求解一元四次方程得到了梯形斷面水躍共軛水深的精確解，但由于一元四次方程的求解過程比較復雜，計算工作量仍然較大。因此，有必要研究更簡便的梯形斷面水躍共軛水深的計算方法。

3 梯形斷面明渠水躍共軛水深新的迭代公式

下面由公式(7)來研究梯形斷面水躍共軛水深比η=h2/h1新的迭代公式。將公式(7)寫成：

(36)

設:

公式(36)變成：

(37)

上式即為已知躍前水深，求躍后水深的梯形斷面水躍共軛水深比的迭代公式。

下面證明公式的收斂性。根據文獻[15]的迭代收斂原理，如果η=φ(η)在某一鄰域內有唯一的根α，則迭代形式ηk+1=φ(ηk)收斂于α的條件是在α的某一鄰域|η-α|<δ內||dφ/dη|<1|。那么以該鄰域內任一點為初值的迭代都收斂于α。因此, 只要證明以上迭代函數的導數絕對值小于1，就可以證明該迭代函數收斂。設：

對φ(η)求導得：

一般來說，公式中的c值遠大于a、b和d，η>1，上式中的第一項分母之積遠大于分子，第二項分母為1.5次方，其值也遠大于分子，故式中的兩項之和小于1，即|dφ/dη|<1。經過大量的例題分析也證明了這一點。所以梯形斷面水躍共軛水深比的公式(37)是收斂的。

對于已知躍后水深求躍前水深的情況，公式(7)可以寫成:

(38)

式中:

公式(38)的迭代式為：

(39)

設:

對上式求導得：

顯然，上式中分母為2次方，其值遠大于分子，所以|dφ(η0)/dη0|小于1。公式(39)也是收斂的。

對于迭代初值的選取，當已知躍前水深求躍后水深時，由水躍的試驗可知，躍后水深與來流弗勞德數密切相關，當1.79.0時躍后水深超過躍前水深的12倍。所以在選取初值時可以直接取Fr1的值作為初值。

當已知躍后水深求躍前水深時，0<η0=h1/h2<1，所以取0～1之間任一值即可。

4 實例分析

例1 有一梯形斷面渠道，通過的流量Q=54.3 m3/s，底寬b0=7m，邊坡系數m=1，在渠道中發(fā)生水躍，已知躍前水深h1=0.8 m，試求躍后水深h2。

解：計算時取小數點后15位數，以表示計算的精確度(如果在小數點某一位后的數值開始全為零時，即取該位數后一位數)，在實際工程中，只要取小數點后三位就可以了(以下的例題相同)。

β=b0/(mh1)=7/(1×0.8)=8.750

A1=(b0+mh1)h1=(7+1×0.8)×0.8=

6.240 m2

9.658 605 259 781 420

a=22.875 0

b=137.718 750

c=2 754.513 487 523 920

d=-158.920 453 848 607 0

將以上數據代入公式(37)得:

η=3.754 747 305 845 840

下面介紹用計算機中的Excel迭代的過程。已知a、b、c、d、Fr1，打開Excel，在Excel中輸入公式，公式輸完后回車，然后用鼠標下拉，即可得到迭代值，整個過程只要數秒時間就可完成。

躍后水深為：

h2=ηh1=3.754747305845840×0.8

=3.003797844676630 m

躍后水深的真值為h2=3.003 798 446 766 70，二者相差為-0.0002%。

如果已知躍后水深為：

h2=3.003 798 446 766 70

求躍前水深h1，計算過程為：

β0=b0/(mh2)=2.330 383 188 870 510

a1=(2.5β0+1)=6.825 957 972 176 290

初值選η0=0.5，由上式迭代到第35步時收斂，得：

η0=0.266 329 507 299 488 0

真值為：

η0=0.266 329 507 299 491 0

二者相差0.00000000000112552387%。

躍前水深為：

h1=η0h2=0.2663295072994880×

3.003797844676630=0.8 m

解：a=2.5β+1=2.5×40+1=101.0

b=(1.5β+1)(β+1)=(1.5×40+1)(40+1)

=2501.0

將a、b、c、d代入公式(37)迭代得:

η=1.332 080 234 721 930,

真值η=1.332 080 234 721 930,相差為零。

由以上算例可以看出，本研究提出的迭代公式不僅簡單、初值選取方便、收斂快，而且精度很高。分析原因，是由于本研究構造的迭代方程比其他迭代公式更加合理、形式更加簡單，所以計算精度更高。

5 結 論

1) 分析了前人對梯形斷面明渠水躍共軛水深求解方法的研究成果，試算法工作量大,查圖法精度不高,迭代法不管是公式的形式還是初值的選取，都比較復雜,解一元四次方程雖然可以得到精確解，但計算過程繁雜。

2) 根據梯形斷面水躍共軛水深的公式(7)，重新提出了梯形斷面明渠水躍共軛水深的迭代公式，在初值的選取中，已知躍前水深求躍后水深時，初值取躍前斷面的弗勞德數,已知躍后水深求躍前水深時，初值取0～1之間的任一值。

3) 由算例可以看出，本研究提出的迭代算法簡便，初值選取簡單，計算精度更高。比試算法、查圖法、其他迭代法以及精確計算公式應用更加方便。

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