戴澤興，王傳玉，方 顥

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

Phase-type分布，以下簡(jiǎn)稱PH分布，最初是由Erlang提出。Neuts[1]定義了PH隨機(jī)變量總結(jié)了一元PH分布的性質(zhì)，并給出了一元PH分布的矩陣指數(shù)的表達(dá)形式。PH分布的實(shí)質(zhì)是將一個(gè)時(shí)間隨機(jī)變量看成是一系列與Markov過(guò)程相關(guān)聯(lián)的的指數(shù)(幾何)分布的時(shí)間子段之和，從而通過(guò)Markov結(jié)構(gòu)來(lái)達(dá)到簡(jiǎn)化分析的目的。連續(xù)時(shí)間Markov鏈的一元PH分布定義為一個(gè)具有吸收狀態(tài)的有限狀態(tài)Markov過(guò)程的吸收時(shí)間分布。如果在此吸收狀態(tài)設(shè)置一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，測(cè)量此Markov鏈被吸收的時(shí)間，即首次到達(dá)此吸收點(diǎn)的時(shí)刻τ，這個(gè)隨機(jī)時(shí)間的分布，就稱為PH分布。因PH分布具有良好的封閉性，稠密性和可計(jì)算性，被廣泛應(yīng)用于生物統(tǒng)計(jì)學(xué)、風(fēng)險(xiǎn)理論、排隊(duì)論系統(tǒng)、可靠性分析等領(lǐng)域。

連續(xù)時(shí)間Markov鏈的一元Log-PH，最早是由Ramaswami提出，第一次正式發(fā)表于Ghosh et al.[2]的一個(gè)會(huì)議報(bào)告中，Ramaswami[3]成功地把一元Log-PH分布應(yīng)用到了排隊(duì)論和可靠性分析中。Ahn[4]給出了一元Log-PH分布的具體表達(dá)式，研究了一元PH分布的k階矩，CTE風(fēng)險(xiǎn)度量，以及尾部的漸近性。1984年，Assaf[5]給出了一類連續(xù)時(shí)間Markov鏈的二元PH分布。此二元PH分布的密度，Laplace變換，矩可以寫(xiě)成一個(gè)封閉形式。1989年，Kulkarni[6]提出了一類新的連續(xù)時(shí)間Markov鏈的多元PH分布。 Cai和Li[7]通過(guò)計(jì)算給出了連續(xù)時(shí)間Markov鏈的多元PH分布的條件尾期望風(fēng)險(xiǎn)度量(CTE風(fēng)險(xiǎn)度量)。

CTE風(fēng)險(xiǎn)度量是指在正常的市場(chǎng)條件下和一定的置信水平α上，測(cè)算出在給定的時(shí)間段內(nèi)損失超過(guò)的條件期望值。一般來(lái)說(shuō)，如果損失分布是連續(xù)的(至少對(duì)于大于相關(guān)分位數(shù)的值來(lái)說(shuō)是連續(xù)的)，那么，條件尾部期望可用如下公式進(jìn)行計(jì)算

CTEα=E(L|L>Qα)

簡(jiǎn)而言之，CTE是當(dāng)損失超過(guò)分布最差1-α部分的平均損失，這里損失分布最差1-α部分是指分布分α位點(diǎn)Qα之上的部分。由于其具有直觀性，易于理解，通過(guò)模擬容易實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，已逐漸成為精算應(yīng)用領(lǐng)域非常重要的風(fēng)險(xiǎn)度量方法。

本文是在文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[7]研究的一元Log-PH分布和多元PH分布的基礎(chǔ)上的推廣，運(yùn)用多元PH分布的Markov鏈性質(zhì)，推導(dǎo)出關(guān)于多元Log-PH分布的最大最小分布等的CTE風(fēng)險(xiǎn)度量表達(dá)式。

1 一元PH分布的CTE風(fēng)險(xiǎn)度量

fX(x)=αexp{Tx}t，F(xiàn)X(x)=1-αexp{Tx}1，

其Laplace變換為

φ(s)=E[e-sx]=

(1)

k階矩為

i=1,2,…,

矩母函數(shù)為

MX(s)=E(esx)=-α(sI+T)-1t

其中I是單位矩。

引理1[7]如果X服從參數(shù)為(α,T)的一元PH分布，對(duì)于任意的d>0，超額風(fēng)險(xiǎn)(X-d|X>d)有一個(gè)參數(shù)為(αd,T,d)的PH分布表達(dá)，其中

(2)

則對(duì)于任意的d>0

引理2[7]如果X服從參數(shù)為(α,T)的一元PH分布，對(duì)于任意的t>0，

E(X|X≤d)=

其中I是d×d維矩陣。

2 一元Log-PH分布的CTE風(fēng)險(xiǎn)度量

一元Log-PH分布，記為L(zhǎng)og-PH(α,T)，由Ramaswami最早提出。定義隨機(jī)變量Y=exp(X)，式中X滿足參數(shù)(α,T)的一元PH分布，Y滿足參數(shù)(α,T)的一元Log-PH分布。

從Log-PH分布的定義，我們同樣可以得到一元Log-PH分布的分布函數(shù)和密度函數(shù)的表達(dá)式

FY(y)=P(Y≤y)=P(logY≤logy)=

1-αexp{Tlogy}1,y≥1

(3)

(4)

根據(jù)Ahn S[4]文章中關(guān)于一元Log-PH分布的相關(guān)研究，一元Log-PH分布的k階矩可以表示為

引理3[4]如果隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為(α,T)的一元Log-PH分布，那么其CTE風(fēng)險(xiǎn)度量可以表示為

CTEp[Y]=-(Qp(Y))αQp(X)(I+T)-1t

(5)

其中令d=Qp(X)，Y=exp(X)，p階分位數(shù)ed=Qp(Y)，那么一元Log-PH分布的CTE風(fēng)險(xiǎn)度量就可以表示為CTEp[Y]=-edαd(I+T)-1t。

3 多元Log-PH分布的CTE風(fēng)險(xiǎn)度量

(6)

其中Q為m×m階非退化矩陣，m=|ε|-1，令β=(0,α)為ε上的初始概率向量，那么β(△)=0。

定義

Xi=inf{t≥0;X(t)∈εi},i=1,…,n

(7)

類似于Assaf D[5]，假設(shè)Pr{X1>0,…,Xn>0}=1，意味著Markov鏈{X(t),t≥0}以ε0開(kāi)始。(X1,…,Xn)的聯(lián)合分布就稱為參數(shù)為(α,T,ε,ε1…,εn)的多元PH分布，轉(zhuǎn)換隨機(jī)變量，令Y1=expX1,…,Yn=expXn,得到的關(guān)于(Y1,…,Yn)的聯(lián)合分布就為多元Log-PH分布。

Cai和Li[8]關(guān)于卷積分布S=X1+…+Xn推導(dǎo)出了明確的表達(dá)式。為了表述這個(gè)結(jié)論，如下定義部分空間狀態(tài)

等等。

對(duì)于任意的D?{1,…,n}，定義

k(i)=|{j:i?εi,1≤j≤n}|

αexp{Tlogyn}gnexp{Tlogyn-1/yn}gn-1

…exp{Tlogy1/y2}g11

(8)

F(y1,…,yn)=Pr{Y1≤y1,…,Yn≤yn}=

βexp{Qlogyn}hnexp{Qlogyn-1/yn}hn-1

…exp{Qlogy1/y2}h11

(9)

其中，對(duì)于k=1,…,n,gk，定義為m×m的對(duì)角矩陣，對(duì)于i=1,…,d，若i∈εεk，該矩陣的第i個(gè)對(duì)角元素為1，否則為0。hk定義為(m+1)×(m+1)的對(duì)角矩陣，對(duì)于i=1,…,d+1，若i∈εk，該矩陣的第i個(gè)對(duì)角元素為1，否則為0。

對(duì)于(6)中的矩陣，現(xiàn)在引進(jìn)兩種Markovv鏈。令ε{△}=S∪S*，其中S∩S*≠φ。矩陣Q可以分段的表示如下：

(10)

此處Ts和Ts*分別是對(duì)s?S和s?S*的T移掉s行和s列之后得到的子矩陣，相應(yīng)的，Tss*和Ts*s分別是對(duì)于s∈S*、s*∈S和s∈S、s*∈S*的T移掉s行和s*列之后得到的子矩陣。特別地，Tε{△}=T。

對(duì)于任意的Log-PH隨機(jī)變量(Y1,…，Yn),類似Assaf[5]中表述的，多元Log-PH分布的極值可以表示為Y(1)=min{Y1,…,Yn}和Yn=max{Y1,…,Yn}。

定理1 令(Y1,…,Yn)服從參數(shù)為(α,T,ε,ε1,…,εn)的Log-PH分布，那么

(1)Y(1)服從參數(shù)為(α(ε0)/α(ε0)1,T(ε0)1,|ε0|)的Log-PH分布，其中T(ε0)如(10)式中定義；

(2)Y(n)服從參數(shù)為(α,T,|ε|-1)的Log-PH分布

證明：由(8)式，對(duì)于y≥0，Y(1)的生存函數(shù)為

αexp{Tlogy}gn…g11

因gn…g11=I(ε0)。對(duì)于1≤i≤n，εi都是隨機(jī)封閉的，

因此Y(1)服從參數(shù)為(α(ε0)/α(ε0)1,T(ε0),

|ε0|的Log-PH分布。

同理，由(9)式，對(duì)于y≥0，Y(n)的分布函數(shù)如下

FY(n)(y)=Pr{Y(n)≤y}=F(y,…y)=

βexp{Qlogy}hn…h(huán)11=βexp{Qlogy}I({△})=

1-αexp{Tlogy}1

因此，Y(n)服從參數(shù)為(α,T,|ε|-1)的Log-PH分布。

定理2 令(Y1,…,Yn)服從參數(shù)為(α,T,ε,ε1,…,εn)的Log-PH分布，那么

(1)Y(1)的CTE風(fēng)險(xiǎn)度量為

CTEp(Y1)=-edαd(ε0)(I+T(ε0))-1t(ε0)

(2)Y(n)的CTE風(fēng)險(xiǎn)度量為

CTEp(Yn)=-edαd(I+T)-1t,

證明：令Y(k)，1≤k≤n是(Y1,…,Yn中第k個(gè)最小的元素，并且服從參數(shù)為(α,T,ε,ε1,…,εn)的Log-PH分布，則(Y(1),…,Y(n))服從參數(shù)為(α,T,ε,?1,…,?n)的Log-PH分布，其中

4 結(jié)論

本文是在一元PH分布和多元PH分布的基礎(chǔ)上，研究的多元Log-PH分布的CTE風(fēng)險(xiǎn)度量。將這一類Log-PH分布應(yīng)用到風(fēng)險(xiǎn)模型中，如假設(shè)等待時(shí)間或者索賠次數(shù)服從Log-PH分布等，以及考慮此類分布下的其他更優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)度量，如一致性風(fēng)險(xiǎn)度量等的情況，還有待進(jìn)一步研究。

參考文獻(xiàn)：

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