陳 功，朱文輝

(1.復(fù)旦大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)系， 上海 200443; 2.南通職業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)課部,江蘇 南通 226007)

正交曲線坐標(biāo)系的引入，使物理學(xué)和工程技術(shù)中許多問題的研究得以大幅簡化[1-3]。不同于直角坐標(biāo)系，正交曲線坐標(biāo)系的基是流動(dòng)的，即為坐標(biāo)的向量值函數(shù)，因此基向量對坐標(biāo)的求導(dǎo)公式是正交曲線坐標(biāo)系下計(jì)算的基礎(chǔ)。一階偏導(dǎo)數(shù)公式可參看文獻(xiàn)[4、5]等，在場論、張量等的計(jì)算中經(jīng)常會用到二階偏導(dǎo)數(shù)[6,7]，但統(tǒng)一的計(jì)算公式目前尚未見到。正交曲線坐標(biāo)系基向量的偏導(dǎo)數(shù)是三維向量，坐標(biāo)系數(shù)由拉梅系數(shù)[8]及其偏導(dǎo)數(shù)組成。在二階偏導(dǎo)數(shù)公式的推導(dǎo)過程中，按照不同的求導(dǎo)順序，二階混合偏導(dǎo)數(shù)向量的對應(yīng)系數(shù)會產(chǎn)生不同的表達(dá)式。本文運(yùn)用基變換的單位正交性證明了當(dāng)坐標(biāo)函數(shù)三階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)拉梅系數(shù)滿足的兩個(gè)偏微分方程，從而上述系數(shù)的不同表達(dá)式實(shí)際上是相等的，因此基向量的二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)，并按4種基本類型給出了基向量的二階偏導(dǎo)數(shù)公式。

1 引理

以下3個(gè)引理給出了空間任意一點(diǎn)處的位置向量和單位基向量關(guān)于曲線坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)與拉梅系數(shù)的基本關(guān)系，用于證明本文的主要結(jié)論。

引理1

(1)

(2)

證明參見文獻(xiàn)[8]。由于i、j、k互不相同，可取1、2、3的任何一個(gè)排列，所以(1)式和(2)式實(shí)際上一共給出了9個(gè)公式。

引理2

(3)

(4)

其中i、j、k互不相同，可取1、2、3的任何一個(gè)排列。

引理3 設(shè)i、j、k互不相同，為1、2、3的一個(gè)排列，記矩陣(ri,rj,rk)T=A(ijk)，對角陣diag(Hi,Hj,Hk)=H(ijk)，則B(ijk)=H(ijk)-1A(ijk)為正交矩陣，即B(ijk)B(ijk)T=B(ijk)TB(ijk)=E，E是單位矩陣。特別地，B(123)=H(123)-1A(123)=(e1,e2,e3)T是直角坐標(biāo)到曲線坐標(biāo)的基變換陣。

2 主要結(jié)論及其證明

按照不同的求導(dǎo)順序計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，二階混合偏導(dǎo)數(shù)向量的對應(yīng)系數(shù)會產(chǎn)生不同的表達(dá)式，事實(shí)上，它們是相等的。下面的定理1給出了拉梅系數(shù)滿足的兩個(gè)偏微分方程，這兩個(gè)方程正是證明這一結(jié)論的關(guān)鍵所在。由此，定理2證明了基向量的二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)，并按4種基本類型給出了基向量的二階偏導(dǎo)數(shù)公式。定理1和定理2是本文的主要結(jié)論。

定理1 設(shè)i、j、k互不相同，可取1、2、3的任何一個(gè)排列，Hi為正交曲線坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)，則有

(5)

(6)

(7)

A(jik)rij=(rj,ri,rk)Trij=

A(jik)rjk=(rj,ri,rk)Trjk=

于是

(-HiHi,j,HiHi,i,-HiHi,k)H(jik)-2(HjHj,k,0,HkHk,j)T=

下面證明公式(6)。

(8)

類似于(7)式的證明，有

代入(8)式，整理可得

寫成向量內(nèi)積的形式即為(6)式。

(5)式和(6)式表示了拉梅系數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)滿足的一種對稱關(guān)系。特別地，(5)式說明第i個(gè)拉梅系數(shù)對兩個(gè)異于下標(biāo)的變量的二階混合偏導(dǎo)數(shù)可以用一階偏導(dǎo)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算直接得到。

定理2 曲線坐標(biāo)系的基向量ei(i=1,2,3)的二階偏導(dǎo)數(shù)有4種類型，計(jì)算公式分別為

(9)

(10)

(11)

(12)

這里i、,j、k互不相同，均表示1、2、3的一個(gè)排列。

下面推導(dǎo)ei,jk和ei,kj的計(jì)算公式，即(11)式，同時(shí)證明ei,jk=ei,jk。

類似地可求得

ei,kj=

比較上述兩式可知，ei,jk=ei,jk當(dāng)且僅當(dāng)

(13)

且

(14)

最后推導(dǎo)公式(12)，即二階偏導(dǎo)數(shù)ei,ji和ei,ij，并證明ei,ji=ei,ij。

ei,ji=

(15)

(16)

(17)

比較(15)和(17)式可知，ei,ji=ei,ij當(dāng)且僅當(dāng)

(18)

事實(shí)上，(18)式由定理1(6)式移項(xiàng)可得，故ei,ji=ei,ij，且(12)式得證。

由于i、j、k互不相同，可取1、2、3的任何一個(gè)排列，所以(9)和(11)分別給出了3個(gè)公式，公式(10)和(12)分別給出了6個(gè)公式。

3 結(jié)語

包括著名的Navier-Stokes方程在內(nèi)的大量流體力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程由于流體復(fù)雜的幾何形態(tài)，需要在與之相匹配的正交曲線坐標(biāo)系中進(jìn)行研究分析和計(jì)算表達(dá)，而對各種變量的求偏導(dǎo)數(shù)比比皆是，二階及其以上的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算繁瑣、形式龐大。本文給出的正交曲線坐標(biāo)系中基向量的二階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式可以使計(jì)算大為簡化，對理論研究和工程應(yīng)用都有一定的實(shí)用價(jià)值。運(yùn)用本文中式(9)～式(12)，可以很快得出圓柱坐標(biāo)系中基向量的二階偏導(dǎo)數(shù)均為0；類似地，對于如球坐標(biāo)系等更加復(fù)雜的正交曲線坐標(biāo)系，其基向量的各個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)亦可方便地求出。

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