張競(jìng)凱, 章衛(wèi)國(guó), 袁燎原, 劉小雄

(西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院, 陜西 西安 710072)

故障樹(shù)分析(FTA)作為一個(gè)定性方法,對(duì)諸多復(fù)雜系統(tǒng)而言是一個(gè)有力的可靠性分析工具。而自Fussell等人[1]對(duì)優(yōu)先與門(mén)(PAND)進(jìn)行分析以來(lái),動(dòng)態(tài)故障樹(shù)分析(DFTA)也演變成一個(gè)更為有效的分析方法。由于時(shí)間齊次Markov過(guò)程及Markov鏈等方法的引入[2],使得基于DFT的定量分析方法更為成熟。但由于該方法在所適用的故障事件分布類(lèi)型和狀態(tài)空間的裁剪上存在局限,研究人員開(kāi)始尋求其它更具有普適性且更易于建模的方法。

Amari等人于2003年提出了適用于各種分布的定量分析方法[3],然而他們的定量分析僅僅用于各動(dòng)態(tài)門(mén),而沒(méi)有將其置于較為復(fù)雜的DFT中去,因此在處理綜合性較強(qiáng)(如含共因事件或共享備件的DFT)的問(wèn)題時(shí)欠缺說(shuō)服力;Boudali等人通過(guò)I/O交互式馬爾可夫鏈建立的動(dòng)態(tài)故障樹(shù)模型[4]增強(qiáng)了DFT的模塊化建模能力,但并沒(méi)有緩解Markov方法在分布類(lèi)型上的局限性;Yuge等人基于Markov方法提出了一種有序割集概念[5],但僅限于指數(shù)分布下PAND的分析中;G. Merle等人則利用代數(shù)模型工具對(duì)DFT的定性分析進(jìn)行了較為深入的嘗試,并且給出了以集合論為基礎(chǔ)的最小割序列/集合的代數(shù)表達(dá)式[6-8],但缺乏一個(gè)連接定性分析和定量分析的方法框架。

從上述的研究沿革中可以看出研究者們?cè)贒FT分析方法上探索的特點(diǎn):①針對(duì)時(shí)間齊次Markov方法的局限,常采用增強(qiáng)模塊化建模的能力,忽視了其在分布上的局限性;②對(duì)動(dòng)態(tài)邏輯的概率分析已經(jīng)非常全面,幾乎所有的動(dòng)態(tài)邏輯門(mén)都已得到分析,但很少放在一個(gè)完整的DFT系統(tǒng)(尤其是含共因事件或共享備件的DFT)中去研究;③DFT定性分析和定量分析較之于靜態(tài)故障樹(shù)(SFT)缺乏較好的銜接,使得定性分析不能為定量分析提供足夠的便捷性。

針對(duì)這些特點(diǎn),本文提出了一個(gè)通過(guò)不交化方法完善DFT分析的工具,該工具以布爾代數(shù)、集合論和概率論為基礎(chǔ),通過(guò)對(duì)“非”運(yùn)算和“反演運(yùn)算”在集合和概率方面的數(shù)學(xué)表達(dá),獲得一種適用于各分布類(lèi)型并將定性和定量分析較好銜接的基于不交化的分析方法。

1 DFT基本動(dòng)態(tài)邏輯(PAND)的非運(yùn)算

1.1 單個(gè)事件A及其“非”運(yùn)算的定義

A:(引入時(shí)間變量t時(shí))在0到t時(shí)刻內(nèi),事件A發(fā)生。

如果事件A指代部件或某系統(tǒng)A在時(shí)刻0開(kāi)始工作,在(0,t]內(nèi)發(fā)生故障,該事件概率即為部件A的失效分布函數(shù)F(t)。其“非”運(yùn)算指部件或系統(tǒng)A在(0,t]內(nèi)可靠。該事件概率為部件的可靠度R(t)。且R(t)=1-F(t)。

1.2 A與B(兩者獨(dú)立)進(jìn)行?運(yùn)算的非運(yùn)算

“?”是一種時(shí)序算子(temporal operator),代數(shù)模型在DFT分析中的有效應(yīng)用主要?dú)w功于G.Merle將時(shí)間算子(temporal operators)引入到代數(shù)模型中[6]。該算子和其它邏輯運(yùn)算的相關(guān)運(yùn)算律見(jiàn)文獻(xiàn)[7]附錄。

A?B定義為(引入時(shí)間變量t時(shí))在0到t時(shí)刻內(nèi),事件A發(fā)生在事件B之前。由于G.Merle對(duì)?算子的變量并沒(méi)有限定其獨(dú)立性,容易和貯備門(mén)事件發(fā)生混淆,故在此限定A、B兩事件是獨(dú)立的。

·(B?A)

(1)

(2)

1.3 雙輸入PAND門(mén)組合B·(A?B)的非運(yùn)算(由非到反演的轉(zhuǎn)換)

PAND門(mén)的定義可見(jiàn)文獻(xiàn)[2],利用時(shí)序算子?可以將雙輸入PAND門(mén)(如圖1所示)的結(jié)構(gòu)函數(shù)表示為:

TE=B·(A?B)

(3)

圖1 雙輸入PAND門(mén)

令事件C=A?B,對(duì)(3)式進(jìn)行“非”運(yùn)算可以表示為:

根據(jù)(1)式,可得

·(B?A)

(4)

將(4)式進(jìn)行初步不交化得到:

(5)

進(jìn)行定量計(jì)算得到

(6)

2 以基本動(dòng)態(tài)邏輯衍生的貯備門(mén)(SP)非、不交化運(yùn)算

2.1 冷貯備(CSP)動(dòng)態(tài)邏輯的非運(yùn)算

先假設(shè)一個(gè)冷貯備(CSP)邏輯:主件為A,備件為B,如圖2所示。其定義參見(jiàn)文獻(xiàn)[2]。

圖2 雙輸入CSP門(mén)

該動(dòng)態(tài)邏輯失效的結(jié)構(gòu)函數(shù)為:

(7)

1) 在0到t時(shí)刻內(nèi),主件A不發(fā)生故障:主件A若可靠,即不會(huì)觸發(fā)備件B工作,B不會(huì)故障,因此整個(gè)CSP保持可靠;

2) 在0到t時(shí)刻內(nèi),備件B在被觸發(fā)后不發(fā)生故障:主件A故障觸發(fā)備件B工作,此時(shí),若備件在時(shí)刻t時(shí)保持可靠,則整個(gè)CSP不發(fā)生故障。

綜上2種情況,對(duì)(7)式進(jìn)行非運(yùn)算可以表達(dá)為:

(8)

(9)

(10)

故此得到(9)式成立。證畢。

對(duì)通過(guò)De Morgan定理得到邏輯運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行概率量化,亦可得到:

2.2 溫貯備(WSP)動(dòng)態(tài)邏輯的非運(yùn)算

假設(shè)一個(gè)WSP邏輯:主件為A,備件為B。

該邏輯失效的結(jié)構(gòu)函數(shù)為:

1) 若系統(tǒng)故障,在0到t時(shí)刻內(nèi),則必發(fā)生A·(Bd?A),即備件在休眠狀態(tài)中失效,當(dāng)主件A失效時(shí),整個(gè)WSP失效;

2) 若系統(tǒng)可靠,則在0到t時(shí)刻內(nèi)有2種情況發(fā)生——①主件A一直保持可靠;②主件A發(fā)生故障,備件B保持可靠。

(11)

2.3 熱貯備(HSP)動(dòng)態(tài)邏輯的非運(yùn)算

上述得到的對(duì)動(dòng)態(tài)序列進(jìn)行非或反演運(yùn)算的結(jié)果將作為不交化工具對(duì)一個(gè)較復(fù)雜的系統(tǒng)(相對(duì)僅包含獨(dú)立子樹(shù)或簡(jiǎn)單貯備門(mén)的系統(tǒng))進(jìn)行不交化運(yùn)算。

3 基于不交化方法的DFT系統(tǒng)可靠性分析

現(xiàn)取文獻(xiàn)[10]中的Fig.5,如圖[3]所示,根據(jù)文獻(xiàn)[10],可以得到由最小割序集合表達(dá)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù):

圖3 一個(gè)共享備件的雙WSP系統(tǒng)

(12)

利用第1部分和第2部分提供的不交化工具,對(duì)該結(jié)構(gòu)函數(shù)進(jìn)行不交化。這里要注意不交化的技巧,盡量使計(jì)算簡(jiǎn)便易行?？梢园l(fā)現(xiàn)等號(hào)右邊的前兩項(xiàng)是不交的,第三項(xiàng)和前兩項(xiàng)均存在非空交集,因此,以第三項(xiàng)A·(B?A)為基準(zhǔn)進(jìn)行不交化,可得:

(13)

根據(jù)(5)式和(11)式，(13)式中的

根據(jù)吸收律,上式可化為:

(14)

根據(jù)(4)式、(13)式可得

(15)

式中

Ca·(A?B)·(B?Ca)+

(16)

進(jìn)一步可得

(17)

該結(jié)果與文獻(xiàn)[10]中(4)式相同。其定量計(jì)算可見(jiàn)文獻(xiàn)[10]。

4 結(jié) 論

本文通過(guò)代數(shù)模型方法,對(duì)典型的DFT諸動(dòng)態(tài)邏輯進(jìn)行了“非”運(yùn)算,從集合角度分析了“非”運(yùn)算結(jié)果的構(gòu)成,并給出其概率分布。并且以此為DFT的不交化工具,通過(guò)將其應(yīng)用于一個(gè)共享備件的雙WSP系統(tǒng)的故障邏輯分析中,對(duì)該方法和眾多DFT研究者的方法進(jìn)行比較,可得到:

1) 代數(shù)模型法所得結(jié)果較之時(shí)間齊次Markov方法,適合于各種壽命分布類(lèi)型;

2) Markov定量分析建立在求解微分方程基礎(chǔ)上,隨著規(guī)模的增大,Markov方法可能陷入狀態(tài)爆炸,對(duì)求解造成影響,而代數(shù)模型方法的定量分析通過(guò)由割集邏輯運(yùn)算的定性分析轉(zhuǎn)化為概率模型求解而完成,由于在此過(guò)程中已經(jīng)進(jìn)行了化簡(jiǎn),故計(jì)算難度減小;

3) 由于代數(shù)模型法對(duì)DFT和靜態(tài)故障樹(shù)的建模均建立在邏輯代數(shù)的基礎(chǔ)上,因此不交化方法將某些靜態(tài)故障樹(shù)的模型轉(zhuǎn)換方法應(yīng)用于DFT中,使得DFTA中的定性分析和定量分析如同在靜態(tài)故障樹(shù)分析(SFTA)中一樣得到緊密的銜接,使得定性分析能更好地為定量分析服務(wù)。

4) 由于在具體的故障樹(shù)結(jié)構(gòu)函數(shù)不交化過(guò)程中,會(huì)遇到排序不定等問(wèn)題,因此如何將這種不交化方法及其定量分析從邏輯或解析表達(dá)式轉(zhuǎn)化為機(jī)器化算法語(yǔ)言成為復(fù)雜故障樹(shù)分析的亟待解決的問(wèn)題。

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