楊圖強

（三明市計量所，福建 三明 365000）

1 引言

ISO/IEC GUIDE 98-3：2008《 測 量 不 確定度 第3部分：測量不確定度表示指南》（Uncertainty of measurement-part 3：Guide to the expression of uncertainty in measurement），簡稱GUM。我國在這一最新國際標(biāo)準(zhǔn)和貫徹JJF1059-1999的基礎(chǔ)上，修訂并發(fā)布實施了JJF1059.1-2012。在日常的不確定度評定中，GUM為主要的評定方法。GUM通過建立輸出量是輸入量的函數(shù)關(guān)系這一測量模型，應(yīng)用不確定傳播率傳播輸入量的最佳估計值和其相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度獲得輸出量的估計值及其不確定度。但GUM應(yīng)用有一定的局限性和假設(shè)條件，僅當(dāng)假設(shè)輸入量的概率分布呈對稱分布或近似為正態(tài)分布、t分布[1]；測量模型為線性模型、可轉(zhuǎn)換為線性模型或可用線性模型近似的模型時方可采用GUM進行評定。

蒙特卡洛法(Monte Carlo Method)簡稱MCM，與GUM不同，其評定測量不確定度中，應(yīng)用分布傳播的方式，使用建模階段所提供的信息來確定輸出量的概率密度函數(shù)（PDF）。輸出量的概率密度函數(shù)（PDF）用于獲取輸出量的估計、標(biāo)準(zhǔn)不確定度以及給定包含概率下輸出量的包含區(qū)間。MCM尤其適用于不宜對測量模型進行線性化等近似場合以及輸出量的概率密度函數(shù)（PDF）較大程度地偏離正態(tài)分布或t分布這兩種情況。2013年6月21日起實施的JJF1059.2-2012《用蒙特卡洛法評定測量不確定度》（Monte Carlo Method for Evaluation of Measurement Uncertainty）指出MCM的適用范圍比GUM更廣泛，且可用MCM對GUM不確定度框架進行驗證，并評價GUM評定的結(jié)果。

文中以動平衡機不平衡量校準(zhǔn)中示值的測量不確定度評定為例，運用常規(guī)的GUM進行不確定度評定，再通過MCM對GUM的不確定度框架進行驗證。結(jié)合實例的理論闡述，能給讀者在不確定度框架驗證中提供參考和幫助，較快地掌握不確定度框架的驗證方法，具有一定的現(xiàn)實意義。

2 驗證方法及步驟

2.1 驗證方法

JJF1059.2-2012規(guī)定采用MCM對GUM不確定度框架驗證時采用自適應(yīng)蒙特卡洛法。自適應(yīng)蒙特卡洛法（MCM）的計算算法在JJF1059.2-2012的4.8.4節(jié)中已有詳細(xì)闡述，在此不做贅述。

2.2 驗證步驟

（1）運用GUM不確定度框架得到輸出量

（2）運用蒙特卡洛法獲得輸出量估計值相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(y)以及包含區(qū)間的端點值y_low和 y_high；

（3）確定數(shù)值容差δ；

（4）通過公式計算

3 驗證實例——GUM法

3.1 數(shù)學(xué)模型

依據(jù)JJF1151-2006《車輪動平衡機校準(zhǔn)規(guī)范》，以AT-7010型車輪動平衡機現(xiàn)場校準(zhǔn)為例，動平衡校準(zhǔn)示值不確定度的測量模型為：

3.2 靈敏系數(shù)

3.3 標(biāo)準(zhǔn)不確定度評定

3.3.1 試重標(biāo)稱值引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

試重在使用中按標(biāo)稱值使用，標(biāo)稱值以g為單位，其所引起的極限誤差為0.5g,分布為均勻分布，包含因子,所以其引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

3.3.2 被檢車輪動平衡機不平衡量示值引入的

標(biāo)準(zhǔn)不確定度

該型被檢車輪動平衡機不平衡量示值分度值為5g，其所引起的極限誤差為2.5g,分布為均勻分布，包含因子，所以其引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

3.3.3 被檢車輪動平衡機不平衡量示值重復(fù)性引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

用一試重為120g的砝碼，對車輪動平衡機做10次動平衡測試，車輪動平衡機的不平衡質(zhì)量示值顯示如下：120g, 120g, 125g, 120g, 120g,120g, 120g, 120g, 120g, 120g。

3.4 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

3.5 擴展不確定度

則該車輪動平衡機示值測量修正值的擴展不確定度為4.2g，k=1.96。

4 驗證實例——MCM法

4.1 數(shù)學(xué)模型

該例中，用加載試重測試的方式測量不平衡量，屬于直接測量，因此數(shù)學(xué)模型為f=X。此時應(yīng)考慮，試重自身的誤差以及數(shù)顯分辨力對測量結(jié)果會產(chǎn)生影響，應(yīng)將這些影響補充到數(shù)學(xué)模型中，則數(shù)學(xué)模型變?yōu)椋?/p>

4.2 輸入量PDF設(shè)定

表1 輸入量及概率密度函數(shù)PDF

4.3 蒙特卡洛模擬次數(shù)

4.4 數(shù)值容差δ

測量不確定度取兩位有效數(shù)字，ndig=2， =-1；因此數(shù)值容差δ=1/2×10-1=0.05。自適應(yīng)蒙特卡洛法建議采用數(shù)值容差為δ/5的結(jié)果，則該實例在自適應(yīng)蒙特卡洛法中實際使用的數(shù)值容差為0.01[4]。

4.5 MCM程序

MCM程序通過以下步驟實現(xiàn)概率分布傳播和不確定度評定。

首先，定義MCM的輸入，選擇合適的蒙特卡洛實驗次數(shù)M，確定與輸出量相關(guān)的輸入量的數(shù)學(xué)模型，并為其設(shè)定PDF(如正態(tài)分布、矩形分布等)；

其次，將MCM進行傳播，從輸入量的PDF中抽取M個樣本值，對每個樣本值進行計算，得出輸出量的模型值；

最后，獲得MCM的輸出，將獲得的輸出量模型值進行遞增次序排列，得出輸出量的分布函數(shù)的離散表示G，由該離散表示G計算估計值、標(biāo)準(zhǔn)偏差以及在給定包含概率p時的包含區(qū)間[2]。

MCM程序流程圖如下圖1所示。

圖1 MCM程序流程圖

MCM的matlab程序如下：

5 驗證

運行以上MATLAB程序得出各參數(shù)值如下表2所示。

表2 MATLAB運行結(jié)果

將GUM的計算結(jié)果與MCM運行結(jié)果匯總?cè)缦卤?所示。

表3 GUM/MCM的最終結(jié)果

由以上數(shù)據(jù)得出，MCM對GUM不確定度框架通過了驗證，且MCM與GUM兩者評定出的結(jié)果非常接近，達(dá)到預(yù)期。比較結(jié)果有利，GUM不確定度框架適用于此場合及今后足夠類似的情形。

6 結(jié)束語

MCM的適用范圍比GUM法更為廣泛，對數(shù)學(xué)模型沒有線性限制，不受輸入量相關(guān)性以及復(fù)雜模型的影響，MCM通過傳播測量模型輸入量的PDF獲得輸出量的PDF，從輸出量的PDF可以清晰地獲得期望、中位數(shù)、位置估計、標(biāo)準(zhǔn)偏差等較GUM更為豐富的內(nèi)容。MATLAB作為一種可視化的高級編程語言，在MCM評定中能快速自動處理幾何級倍數(shù)的向量、矩陣運算，為MCM在實際中的應(yīng)用提供了可能[5]。在實際不確定度評定中建議同時采用GUM和MCM兩種方法，并對結(jié)果進行比較。如若比較結(jié)果滿意或通過驗證，則GUM適用。否則，應(yīng)采用MCM方法進行評定。

[1]JJF1059.1-2012 測量不確定度評定與表示[S]. 北京：中國質(zhì)檢出版社，2013.

[2]JJF1059.2-2012 用蒙特卡洛法評定測量不確定度[S].北京：中國質(zhì)檢出版社，2013.

[3]JJF1151-2006 車輪動平衡機校準(zhǔn)規(guī)范[S]. 北京：中國計量出版社，2006.

[4]周桃庚.用蒙特卡洛法評定測量不確定度[M].中國質(zhì)檢出版社：北京，2013.

[5]楊建.蒙特卡羅法評定測量不確定度中相關(guān)隨機變量的MATLAB實現(xiàn)[J].計測技術(shù)，2012,32(4)：51-54.