趙國榮，蓋俊峰，胡正高，劉文寶

（1.海軍航空工程學院a.控制工程系；b.研究生管理大隊，山東煙臺264001；2.93132部隊，黑龍江齊齊哈爾161016）

模型預測控制（Model Predictive Control，MPC）是一種在工業(yè)過程控制領域得到成功應用的控制策略。由于直接產(chǎn)生于實際工業(yè)過程控制，且全面考慮了工業(yè)實際需求，具有較高的綜合控制質(zhì)量，因而MPC自其誕生之日起便吸引了眾多研究者的目光，并逐漸引起了工業(yè)控制界和理論界的重視。迄今為止，模型預測控制已被廣泛應用于發(fā)電、煉油、冶金、化工、汽車、航天等領域。MPC 作為一種新興的控制理論能得到如此成功應用，其主要原因可總結為：

1）通過滾動優(yōu)化策略在線求解局部最優(yōu)問題。模型預測控制是一種動態(tài)優(yōu)化方法，通過優(yōu)化窗口的滾動，對模型預測輸出值和實際輸出值進行比較，再通過反饋校正實現(xiàn)系統(tǒng)輸出對參考值的跟蹤。由于MPC 采用有限時域優(yōu)化窗口，僅需求解局部最優(yōu)問題，大大減少了優(yōu)化計算量。同時，反饋校正可解決系統(tǒng)干擾等不確定性問題。

2）直接處理約束條件的能力。模型預測控制通過在線優(yōu)化求解控制律，在其在線優(yōu)化過程中，可以全面考慮各種約束條件（如狀態(tài)約束、輸入約束、輸入增量約束、輸出約束等），從而得出既能使優(yōu)化指標最優(yōu)又能滿足各種約束條件的控制律，這是傳統(tǒng)的PID控制和經(jīng)典最優(yōu)控制理論所無法實現(xiàn)的。

上述2 個特點使得MPC 更接近實際的工業(yè)生產(chǎn)控制過程，因而得到了眾多工程技術人員和研究者的青睞。

預測控制自誕生至今，在工程實踐和理論研究方面都取得了重大進展[1-6]。本文由模型預測控制的基本原理入手，對非線性模型預測控制的基本思路進行了說明；對目前該領域的熱點問題和取得的成果進行了綜述；從當前的需求展望該領域，提出了其研究應該加強的幾個方面的問題。

1 非線性模型預測控制的理論基礎

1.1 非線性模型預測控制的基本原理

模型預測控制發(fā)展至今，出現(xiàn)了若干不同類型的算法。但這些不同算法的基本原理是相同的，包括如下3項基本內(nèi)容[1]：

1）預測模型。MPC 是一種基于預測模型的控制算法，根據(jù)對象系統(tǒng)的歷史信息和未來控制輸入，利用預測模型對系統(tǒng)的未來輸出進行預測。預測模型的結構形式是多樣的，狀態(tài)方程、傳遞函數(shù)、階躍響應、脈沖響應和一些非線性系統(tǒng)、分布參數(shù)系統(tǒng)的模型，都可以作為MPC的預測模型。

2）滾動優(yōu)化。MPC是一種優(yōu)化控制算法，與經(jīng)典最優(yōu)控制理論并無本質(zhì)區(qū)別。但MPC 是一種有限時域的滾動優(yōu)化，不是像傳統(tǒng)最優(yōu)控制那樣采用一個對全局都相同的優(yōu)化性能指標，而是在每一時刻都有一個特定的優(yōu)化性能指標，在每一個優(yōu)化時域內(nèi)進行在線滾動優(yōu)化。滾動優(yōu)化是MPC 區(qū)別于經(jīng)典最優(yōu)控制的基本特點。

3）反饋校正。MPC 是一種閉環(huán)控制算法。在通過滾動優(yōu)化確定了下一個控制時域內(nèi)的控制作用序列后，并不是將此控制序列全部作用于系統(tǒng)，而僅實現(xiàn)當前時刻的控制作用。到下一時刻，根據(jù)對象系統(tǒng)的實際輸出，利用預測模型對系統(tǒng)進行新的預測，然后基于此開始新一輪的優(yōu)化。反饋校正能有效防止模型失配和系統(tǒng)干擾引起的控制作用對理想狀態(tài)的偏離，使MPC構成閉環(huán)優(yōu)化。

總之，模型預測控制是一種基于預測模型、進行滾動優(yōu)化并結合反饋校正的優(yōu)化控制策略。其基本原理如圖1所示。

圖1 MPC的基本原理Fig.1 Basic principle of MPC

下面以離散時間非線性系統(tǒng)為例，進一步介紹非線性模型預測控制（NMPC）的基本原理。考慮如下的離散時間非線性系統(tǒng)：

式（1）中：x∈?n為系統(tǒng)狀態(tài)；u∈?m為系統(tǒng)輸入，k=0,1,…為采樣時刻；f(? ,?)為非線性函數(shù)，且有f( 0,0)=0。假設原點為系統(tǒng)（1）的平衡點，且狀態(tài)完全可測。

考慮系統(tǒng)（1）的狀態(tài)約束和輸入約束如下：

式（2）中：X和U分別為包含原點的凸集，且滿足X和U都為緊的?；跔顟B(tài)空間模型（1）的非線性模型預測控制的基本結構如圖2所示。其中，N為預測步長，x(i|k)和u(i|k)為k時刻對未來第k+i時刻預測的狀態(tài)和輸入變量。

考慮帶有約束條件（2）的系統(tǒng)（1），則NMPC的基本問題可定義為以下的有限時域最優(yōu)控制問題（Finite Horizon Optimal Control Problem，F(xiàn)HOCP）：

式（3）中：目標函數(shù)J(x)為有限時域N內(nèi)的控制性能函數(shù)，通常為定義在原點某鄰域內(nèi)的非負連續(xù)函數(shù)，且有J( 0)=0；V(k)為最優(yōu)性能指標函數(shù)，一般稱為值函數(shù)；x(k)∈X為系統(tǒng)在當前時刻k的狀態(tài)。在非線性模型預測控制的基本定義中，J(x)通常為有限個正定函數(shù)之和。在任一采樣時刻k，定義FHOCP在線優(yōu)化控制變量u(k;N)為

一般情況下，取控制域Nc小于預測域Np，即0 ＜Nc＜Np。

若上述FHOCP 優(yōu)化可行，可得最優(yōu)控制序列u*(k;N)，僅將該最優(yōu)控制序列的第一項u*( 0|k)作用于實際控制系統(tǒng)；在下一采樣時刻k+1，用系統(tǒng)狀態(tài)x(k+1) 作為FHOCP的初始狀態(tài)，重復優(yōu)化執(zhí)行過程，直到采樣過程結束。以上介紹的就是NMPC 實現(xiàn)滾動優(yōu)化控制的基本原理。

1.2 非線性預測控制的無窮時域近似方法

考慮離散時間非線性系統(tǒng)（1）。在k時刻由x(k)出發(fā)的無窮時域最優(yōu)控制問題的性能指標可描述為

而模型預測控制通常在有限時域內(nèi)進行優(yōu)化，其性能指標可描述為

比較式（5）和式（6）可得

由上述分析可知，要將模型預測控制的有限時域優(yōu)化問題近似為無窮時域的最優(yōu)控制問題，必需對有限時域后的無窮時域部分進行補償。對于這個問題，常見的方法有3種，下面分別進行介紹。

1.2.1 帶有終端零約束（等式約束）的NMPC

對MPC的滾動時域控制引入終端零約束的思想，最早是由Kwon等在文獻[7]中提出的。文獻[8-9]又將此思想應用到了廣義預測控制（Generalized predictive control，GPC）中，提出了終端零狀態(tài)約束的GPC 算法。文獻[10]提出了一種基于終端零約束的NMPC算法?？紤]系統(tǒng)（1），具有終端零約束的NMPC 優(yōu)化問題可描述為：

式（8）中：x( 0,x0)=x0，x0為優(yōu)化起始點；N為預測步長。

終端零約束是對系統(tǒng)未來狀態(tài)的一種估計，即在預測時域后的系統(tǒng)狀態(tài)都為零。此方法雖能保證系統(tǒng)穩(wěn)定，但對無窮時域的近似卻比較保守且條件苛刻。

1.2.2 帶有終端代價函數(shù)的NMPC

文獻[11]將終端零約束進行了松弛化處理，針對無約束線性系統(tǒng)引入終端加權方法保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其實質(zhì)是為MPC控制時域后的無窮時域性能指標給出了一個上界，這也是具有終端代價函數(shù)的NMPC的基本思想。具有終端代價函數(shù)的NMPC 的優(yōu)化問題可描述為：

式（9）中：F(?)為終端代價函數(shù)，且滿足F( 0)=0 ，F(xiàn)(x)≥α( ‖x‖)，α(?)為K類函數(shù)；F(x(N,x0))滿足

終端代價函數(shù)是對終端零約束的一種擴展，相比于終端零約束，此方法對無窮時域的近似具有更低的保守性，且應用條件更為寬松。

1.2.3 帶有終端集約束的NMPC

帶有終端集約束的NMPC 方案是與雙?？刂品桨敢黄鸪霈F(xiàn)的。文獻[12]針對一類有約束的非線性系統(tǒng)，將終端零約束用終端集代替，提出了雙模預測控制方案。雙?？刂品桨甘菍o窮時域最優(yōu)控制進行近似的一種預測控制策略，是一種對后來的研究工作產(chǎn)生重要影響的控制思想。帶有終端集約束的NMPC優(yōu)化問題可描述為：

式（10）中：Xf為終端狀態(tài)約束集，簡稱終端集，是包含原點的閉集。此類問題通常采用雙?？刂平Y構，當狀態(tài)在Xf外時，采用有限時域滾動控制，在此有限時域內(nèi)，將系統(tǒng)狀態(tài)驅(qū)動到終端集Xf內(nèi)；當系統(tǒng)狀態(tài)進入Xf內(nèi)后，則采用局部線性反饋控制律對其進行控制。實際上，終端狀態(tài)集約束與終端代價函數(shù)約束一樣，也是終端零約束的一種擴展。一般來說，把系統(tǒng)的狀態(tài)驅(qū)動到一個集合內(nèi)要相對容易，因而具有終端集約束的NMPC 方案比具有終端零約束的NMPC 方案的保守性更低，也可較好地對無窮時域最優(yōu)化進行近似。

2 非線性模型預測控制的研究進展

模型預測控制理論的發(fā)展經(jīng)歷了2 個主要階段。第1個階段通常稱為經(jīng)典預測控制理論階段。在此期間，針對工業(yè)界在實際中的需求，提出了若干預測控制算法，如動態(tài)矩陣控制（Dynamic Matrix Control，DMC）[13]、模型算法控制（Model Algorithmic control，MAC）[14]、內(nèi)模控制（Internal Model Control，IMC）[15]、預測函數(shù)控制（Predictive Funetional Control，PFC）[16]和廣義預測控制（Generalized Predictive Control，GPC）[17]，等等。自上世紀90年代中期以來，學術界掀起了對模型預測控制研究的新一輪高潮，通常將這一時期稱為模型預測控制理論發(fā)展的第2 階段，即現(xiàn)代預測控制的綜合理論階段。在此階段，以文獻[6]為代表，涌現(xiàn)出了大量具有重要意義的學術成果。本節(jié)著眼于模型預測控制發(fā)展的第2 階段，以近年出現(xiàn)的具有代表性的理論研究成果為主，對預測控制相關領域熱點問題的研究進展進行簡要介紹。

2.1 基于線性近似的非線性模型預測控制研究

非線性系統(tǒng)預測控制的關鍵問題在于如何處理非線性和降低在線計算量。在線性系統(tǒng)控制問題中，已經(jīng)發(fā)展出多種成熟的數(shù)學方法，如Fourier變換、Laplace 變換、疊加原理，等等。但對非線性系統(tǒng)進行分析和設計控制器時，上述數(shù)學工具都不再適用。因此，對于實際工程人員和理論研究者來說，處理非線性系統(tǒng)最直接也是最有效的辦法是將系統(tǒng)的非線性特性線性化，然后再用成熟的線性系統(tǒng)設計方法完成控制過程[18]。在這一思路下，工業(yè)界和理論界出現(xiàn)了一批基于線性近似方法的非線性模型預測控制算法。1984年，Garcia 在文獻[19]中首次提出了應用線性化方法的非線性預測控制方案，并在實際工業(yè)過程中進行了應用。文獻[20]在文獻[19]方法的基礎上增加了一個擴展Kalman 濾波器以改善擾動估計，并能較好地處理不穩(wěn)定過程動態(tài)特性。1987年，Costas 提出了全局反饋線性化的思想[21]。文獻[22]提出了基于遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡全局反饋線性化的廣義預測控制方案，文獻[23]提出了基于全局反饋線性化的預測函數(shù)控制器，并進行了工業(yè)應用研究。文獻[24]用中值定理將非線性系統(tǒng)進行線性化處理，并對線性系統(tǒng)的時變參數(shù)進行逼近。文獻[25]針對只含輸出非線性環(huán)節(jié)的系統(tǒng)用Taylor 級數(shù)一階展開近似線性化，但是該方法不能處理含有輸入非線性環(huán)節(jié)的系統(tǒng)。運用Taylor級數(shù)展開法對非線性系統(tǒng)進行線性近似時，要求表征系統(tǒng)模型的輸入輸出函數(shù)必須連續(xù)可微。文獻[26]指出，利用Stirling 插值公式對非線性函數(shù)進行線性化處理的精度要高于Taylor 一階近似，且不需對其進行求導運算，因而對不滿足連續(xù)可微假設的非線性系統(tǒng)，Stirling插值公式依然適用。上述文獻進行預測控制器設計時，為了降低在線計算量，通常忽略了線性化過程中產(chǎn)生的非線性高階項。

2.2 具有終端代價函數(shù)的非線性模型預測控制研究

在1.2.2節(jié)中已經(jīng)提到，終端代價函數(shù)是對終端零約束的一種擴展，相比于終端零約束，此方法對無窮時域的近似具有更低的保守性，且應用條件更為寬松。因此，具有終端代價函數(shù)的非線性模型預測控制方法成為近年來研究的熱點。終端代價函數(shù)對NMPC的控制性能起著十分重要的作用，終端代價函數(shù)的選取對增大系統(tǒng)的吸引域、降低全局性能指標的消耗都具有積極意義。文獻[27]提出了一種經(jīng)濟性模型預測控制方法，引入了一個廣義代價函數(shù)來實現(xiàn)控制目標。文獻[11]用偽代數(shù)Riccati方程作為終端代價函數(shù)，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻[28]針對一類無終端狀態(tài)約束的模型預測控制，證明了按比例增大終端代價函數(shù)會相應的增大預測控制的吸引域。文獻[29]采用支持向量機擬合的方法，為一類離散時間非線性系統(tǒng)生成了終端代價函數(shù)，并保證了系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性。文獻[30]采用一個二次型終端代價函數(shù)，對系統(tǒng)進行有限時域優(yōu)化，同時指出只要選取適當?shù)膮?shù)便可保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但未明確給出參數(shù)的選取規(guī)則，以及不同參數(shù)對系統(tǒng)性能指標的影響。

2.3 非線性時滯系統(tǒng)模型預測控制研究進展

現(xiàn)代工業(yè)控制過程主要存在2 大難題：對象系統(tǒng)的非線性問題和時滯問題。實際控制過程中的對象系統(tǒng)絕大部分為非線性系統(tǒng)，而且往往無法用準確的模型進行描述；而時滯現(xiàn)象廣泛存在于工業(yè)控制系統(tǒng)中，如核反應系統(tǒng)、微波發(fā)生器、渦輪噴氣機、軋制系統(tǒng)、長管道進料系統(tǒng)等等。通常情況下，時滯能使系統(tǒng)的性能變壞，甚至引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定。從理論研究的角度來看，時滯現(xiàn)象給系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及控制器設計帶來了很大困難[31]。由于時滯系統(tǒng)能引起對象系統(tǒng)的不穩(wěn)定，因而針對時滯系統(tǒng)的模型預測控制必須研究其穩(wěn)定性，而不是僅將預測時域進行調(diào)整，使其大于時滯常數(shù)就可以了[1]。早期關于時滯系統(tǒng)的模型預測控制方法很少考慮對系統(tǒng)的約束條件，沒有充分體現(xiàn)出模型預測控制算法的優(yōu)勢。Kothare 等[32]針對輸入受限的時滯系統(tǒng)給出了基于LMI 約束的預測控制思路，但并沒有得出具有實際意義的結果，正是由于系統(tǒng)時滯的存在以及模型的不確定性。

針對時滯系統(tǒng)的模型預測控制的研究大多以狀態(tài)空間模型為研究對象，其主要原因可總結為2點：首先，在處理多變量問題上，狀態(tài)空間模型與基于輸入輸出關系的傳遞函數(shù)相比具有明顯的優(yōu)越性；其次，目前對非線性系統(tǒng)進行穩(wěn)定性分析的最佳工具為基于狀態(tài)空間的Lyapunov 穩(wěn)定性理論[6]。鑒于上述原因，目前的研究成果絕大部分是基于狀態(tài)空間描述的模型。由于模型預測控制在工業(yè)過程中能有效地處理約束條件，因而開展考慮約束的時滯系統(tǒng)模型預測控制方法研究具有重要的理論和工程應用意義。文獻[33]針對一類凸多面體不確定時滯系統(tǒng)，進行了魯棒模型預測控制算法研究。文獻[34-35]針對時滯常數(shù)未知的凸多面體不確定系統(tǒng)，分別提出了相應的模型預測控制算法。文獻[36]針對具有復雜時滯的系統(tǒng)，提出了一種狀態(tài)反饋預測控制方法，利用狀態(tài)變量值在預測時域內(nèi)保持不變的假設推導出了適合工程應用的預測控制算法。近年來，針對非線性時滯系統(tǒng)的預測控制得到了學者們的進一步研究[37-41]。Reble等在文獻[42-45]中研究了非線性連續(xù)時滯系統(tǒng)模型預測控制中的穩(wěn)定性和次優(yōu)估計問題，提出了時滯系統(tǒng)模型預測控制的次優(yōu)性指標等概念。

2.4 基于LMI的魯棒模型預測控制研究進展

隨著模型預測控制方法與理論的日趨成熟，對于不確定對象的魯棒模型預測控制的研究成為當前預測控制領域的熱點問題。魯棒預測控制的實質(zhì)是在線求解一個關于系統(tǒng)未來狀態(tài)和輸入的min-max優(yōu)化問題。在現(xiàn)有的研究成果中，不確定系統(tǒng)一般分為基于擾動模型的受擾系統(tǒng)和基于多胞模型的參數(shù)不確定系統(tǒng)。而更為普遍的研究對象是采用多胞模型描述的不確定系統(tǒng)。相比于擾動模型，多胞模型的適用性更廣，非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)在特定的條件下都可以轉(zhuǎn)化為多胞模型描述的不確定系統(tǒng)。對于多胞模型描述的不確定系統(tǒng)，線性矩陣不等式（Linear Matrix Inequalities，LMI）成為魯棒預測控制器設計的重要工具。1996年，Kothare等在文獻[32]中率先提出了針對多胞不確定系統(tǒng)的魯棒預測控制器設計方法。該方法基于橢圓不變集理論，由min-max原理出發(fā)，通過對目標性能函數(shù)上界進行優(yōu)化，將魯棒預測控制問題轉(zhuǎn)化為由LMI描述的優(yōu)化問題：

式中，*表示對稱矩陣中相應的對稱項。

上述第2個不等式表示采用反饋增益YQ-1時，多胞各頂點模型中的無窮時域優(yōu)化性能指標上界均能保證為γ。第3和第4個不等式分別描述了系統(tǒng)的輸入約束和狀態(tài)約束。

文獻[32]為后來采用LMI方法設計魯棒預測控制器及處理約束條件的研究奠定了基礎。Cuzzola 等[46]基于文獻[32]，針對用多胞模型描述的線性時變系統(tǒng)，通過設計參數(shù)依賴Lyapunov 函數(shù)降低了文獻[32]中方法的保守性。而Mao[47]通過糾正文獻[46]中關于不變集的設計錯誤，完善了該方法。文獻[48]用LMI 方法設計了一種高效魯棒預測控制器，在性能分析的基礎上提出了改善魯棒預測控制次優(yōu)性的方法。近年來，針對不確定時滯系統(tǒng)魯棒預測控制的研究也取得了若干成果[49-50]。其中，文獻[50]針對一類多胞模型描述的不確定時滯系統(tǒng)，提出了一種帶有時滯補償?shù)臅r滯相關魯棒模型預測控制方法。將難以求解的minmax優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為帶有LMI約束的凸優(yōu)化問題，設計了能保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的魯棒模型預測控制器，并證明了其控制算法的可行性。文獻[51]針對非線性系統(tǒng)中不確定性問題設計了模型預測控制器。Cannon等在文獻[52]中通過把非線性對象系統(tǒng)模型轉(zhuǎn)化為多胞描述模型，進而采用高效魯棒預測控制方法研究了其模型預測控制問題。

3 對非線性模型預測控制研究的展望

非線性模型預測控制無論是理論還是應用都遠未成熟，這主要是因為非線性系統(tǒng)及其約束優(yōu)化問題都不能用參數(shù)化的形式統(tǒng)一表達。近年來，預測控制定性綜合理論的發(fā)展雖然為非線性約束預測控制帶來了不少新的思路，但與實際應用尚有距離。從目前應用領域?qū)ζ涞男枨髞砜?，應該加強以下方面的研究?/p>

1）進一步開展基于線性近似的模型預測控制算法。在該部分的研究工作中，是否有更適合應用在非線性模型預測控制中的線性近似方法，是需要進一步探討的問題。另外，在對線性近似所產(chǎn)生高階項進行逼近的過程中，應尋求優(yōu)秀的非線性逼近方法，以進一步減少非線性模型預測控制的在線計算量。

2）進一步研究具有終端代價函數(shù)的非線性模型預測控制問題。目前所見的研究成果中的終端代價函數(shù)大多是固定的，終端代價函數(shù)不能隨著控制過程的推進而進行適當?shù)恼{(diào)整，這不利于增大吸引域和降低全局性能指標消耗。因此，具有自調(diào)節(jié)終端代價函數(shù)的預測控制理論及其工程應用問題是進一步研究的方向。

3）進一步開展針對時滯系統(tǒng)的模型預測控制問題的研究。目前針對時滯系統(tǒng)的非線性模型預測控制算法大多需要構造Lyapunov 函數(shù)來保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定，這無疑增加了計算量。尋求非線性時滯系統(tǒng)模型預測控制的新思路和新方法，是值得進一步研究的問題。另外，現(xiàn)有文獻在對多胞時滯系統(tǒng)進行魯棒預測控制研究時，通常假設系統(tǒng)狀態(tài)實時可測，這與很多工程實踐是不相符的。因此，考慮系統(tǒng)狀態(tài)不可直接測量的情況，開展具有輸出反饋的魯棒模型預測控制算法研究具有一定的現(xiàn)實意義。

綜上所述，預測控制的研究應該著力克服理論與應用的脫節(jié)，針對各應用領域的需求，發(fā)展既有理論保證、又能滿足應用環(huán)境和實時性要求的高效算法，為各行各業(yè)解決約束優(yōu)化問題提供理論依據(jù)充分、實用性強、兼顧優(yōu)化與穩(wěn)定等性能要求的系統(tǒng)理論和算法，并以此推動預測控制理論的進一步發(fā)展，這是預測控制研究始終追求的目標，也是預測控制未來發(fā)展的方向。

4 結束語

在過去的近20年里，非線性模型預測控制取得了長足的進步。通過采用對無窮時域優(yōu)化的近似，較好地解決了非線性模型預測控制穩(wěn)定性保證和性能優(yōu)化的問題。許多具有性能保證的預測控制器設計方法相繼提出，為非線性模型預測控制的實際應用提供了理論基礎。如何設計同時具有良好控制性能，較大初始可行域和較小在線計算量的高效非線性模型預測控制器，成為近年來研究的熱點，這是一個需要繼續(xù)研究的課題。而在基本非線性模型預測控制理論日漸成熟的基礎上，進一步考慮狀態(tài)觀測器、系統(tǒng)參數(shù)辨識以及多速率采樣等情況，也必將產(chǎn)生更多具有挑戰(zhàn)性的問題。

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