張永戰(zhàn)， 張慶祥

(1.定邊中學， 陜西 榆林 719000；2.延安大學 數(shù)學與計算機科學學院， 陜西 延安 716000)

0 引 言

有關(guān)數(shù)學規(guī)劃和變分問題的關(guān)系，Hanson[1]在1964年做出了開創(chuàng)性的研究，隨后一些學者開始相繼對變分問題進行了研究[2-4]。C.Nabak和S.Nanda[3]在(F,ρ)凸條件下建立了變分控制問題的對偶理論。后來I.Ahmad和S.Sharma[4]在(F,α,ρ,θ)-V-凸性條件下研究了多目標變分問題的混合對偶性。

本文將D.H.Yuan[5]提出的(C,α,ρ,d)-凸函數(shù)，推廣到(C,α,ρ,d)-V-凸，并研究多目標變分問題的混合對偶性。同時Wolfe型對偶和Mond-Weir型對偶是這種混合對偶性的特殊情況。得到弱對偶性與強對偶性定理，進一步推廣文獻[5]中的結(jié)論。

1 概念與引理

考慮如下多目標變分問題(VP)：

s.t.x(a)=α,x(b)=β,

其中I=[a,b]為實空間，令X表示(VP)的可行域，即

?i∈P。

下面我們給出幾類新的廣義凸函數(shù)的定義。

對任意的a1,a2∈Rn均成立。

在本文我們總假定C(·,·,·,·,·,·,·,·,·)(0)=0。

2 對偶定理

設J1是M的子集且J2=MJ1，K1是N的子集且K2=NK1，考慮(VP)的如下混合對偶問題：

(5)

(6)

(7)

在(DVP)中當J1=?且K1=?時，即可得到Mond-Weir型對偶，當J2=?且K2=?時即可得到Wolfe型對偶。

(8)

(9)

證明假設定理不成立，由(8)，(9)兩式及(3),(4),(7)式得，

(10)

(11)

于是有

(12)

另外，由(5)式及C(·,·,·,·,·,·,·,·,·)(0)=0，即有

這與d：I×X×X×Y×Y→R+,α：X×X×Y×Y→R+{0}且ρ>0導出矛盾。

(13)

(14)

因此

由假設(b)可得

(15)

(16)

再由(15)、(16)式得

(17)

另一方面，假設定理結(jié)論不成立，則(13)與(14)式成立，由假設(a)，得

從而

(18)

此式與(17)式矛盾。

[參考文獻]

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