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        (C,α,ρ,d)-V-凸多目標變分問題的混合對偶性

        2014-03-23 07:32:50張永戰(zhàn)張慶祥
        關(guān)鍵詞:變分對偶定理

        張永戰(zhàn), 張慶祥

        (1.定邊中學, 陜西 榆林 719000;2.延安大學 數(shù)學與計算機科學學院, 陜西 延安 716000)

        0 引 言

        有關(guān)數(shù)學規(guī)劃和變分問題的關(guān)系,Hanson[1]在1964年做出了開創(chuàng)性的研究,隨后一些學者開始相繼對變分問題進行了研究[2-4]。C.Nabak和S.Nanda[3]在(F,ρ)凸條件下建立了變分控制問題的對偶理論。后來I.Ahmad和S.Sharma[4]在(F,α,ρ,θ)-V-凸性條件下研究了多目標變分問題的混合對偶性。

        本文將D.H.Yuan[5]提出的(C,α,ρ,d)-凸函數(shù),推廣到(C,α,ρ,d)-V-凸,并研究多目標變分問題的混合對偶性。同時Wolfe型對偶和Mond-Weir型對偶是這種混合對偶性的特殊情況。得到弱對偶性與強對偶性定理,進一步推廣文獻[5]中的結(jié)論。

        1 概念與引理

        考慮如下多目標變分問題(VP):

        s.t.x(a)=α,x(b)=β,

        其中I=[a,b]為實空間,令X表示(VP)的可行域,即

        ?i∈P。

        下面我們給出幾類新的廣義凸函數(shù)的定義。

        對任意的a1,a2∈Rn均成立。

        在本文我們總假定C(·,·,·,·,·,·,·,·,·)(0)=0。

        2 對偶定理

        設J1是M的子集且J2=MJ1,K1是N的子集且K2=NK1,考慮(VP)的如下混合對偶問題:

        (5)

        (6)

        (7)

        在(DVP)中當J1=?且K1=?時,即可得到Mond-Weir型對偶,當J2=?且K2=?時即可得到Wolfe型對偶。

        (8)

        (9)

        證明假設定理不成立,由(8),(9)兩式及(3),(4),(7)式得,

        (10)

        (11)

        于是有

        (12)

        另外,由(5)式及C(·,·,·,·,·,·,·,·,·)(0)=0,即有

        這與d:I×X×X×Y×Y→R+,α:X×X×Y×Y→R+{0}且ρ>0導出矛盾。

        (13)

        (14)

        因此

        由假設(b)可得

        (15)

        (16)

        再由(15)、(16)式得

        (17)

        另一方面,假設定理結(jié)論不成立,則(13)與(14)式成立,由假設(a),得

        從而

        (18)

        此式與(17)式矛盾。

        [參考文獻]

        [1] HANSON M A.Bounds for functionally convex optimal control problem[J].J.Math.Anal.Appl.,1964(8):84-89.

        [2] 陳世國,祁傳達.多目標變分問題的混合對偶性[J].數(shù)學的實踐與認識,2003,33(12):97-102.

        [3] NABAK C,NANDA S.On efficiency and duality for multiobjective variational control problems with (F,ρ)-convexity[J].J.Math.Anal.Appl.,1997,209:415-434.

        [4] AHMAD I,SHARMA S.Sufficiency and duality for multiobjective variational control problems with generalized (F,α,ρ,θ)-V-convexity[J].Nonlinear Analysis,2010,72:2564-2579.

        [5] YUAN De-hui,LIU Xiao-ling,CHINCHULUUN A,et al.Nondifferentiable Minimax Fractional Programming Problems with (C,α,ρ,d)-Convexity[J].J.Optim.Theory Appl.,2006,129(1):185-199.

        [6] PREDA V.On efficiency and duality for multiobjective programs[J].J.Math.Anal.Appl.,1992,166:365-377.

        [7] BHATI D,MEHRA A.Optimality conditions and duality for multiobjective variational problems with generalized B-invexity[J].J.Math.Anal.Appl.,1999,234:341-360.

        [8] 陳世國,劉家學.具V-不變凸性的一類多目標控制問題的混合對偶性[J].數(shù)學雜志,2010,30(2):338-344.

        [9] 陳世國,劉家學.具廣義V-不變凸多目標變分的混合對偶性[J].大學數(shù)學,2011,27(1):101-105.

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