桑 波

(聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 聊城 252059)

考慮n次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)

(1)

其中max(deg(Pn),deg(Qn))=n。當(dāng)δ=0時(shí)，系統(tǒng)(1)以原點(diǎn)為中心或細(xì)焦點(diǎn)。如何區(qū)分稱為中心焦點(diǎn)判定問題。

為了獲得系統(tǒng)(1)具有中心的充要條件，首先需要計(jì)算系統(tǒng)的前面各階非零焦點(diǎn)量并對它們進(jìn)行零點(diǎn)分解，從而得到原點(diǎn)為中心的必要條件；然后利用首次積分、形式首次積分、積分因子或時(shí)間可逆性證明所得條件都是充分的。

近二十多年以來出現(xiàn)了很多焦點(diǎn)量算法，比如奇點(diǎn)量算法[1]、基于偽除的形式冪級數(shù)法[2]和攝動算法[3]。但當(dāng)Pn,Qn為非齊次多項(xiàng)式時(shí)，系統(tǒng)(1)的焦點(diǎn)量非常復(fù)雜且難于約化，為此作者基于重新參數(shù)化法給出了焦點(diǎn)量的約化方法[4]。

從一個(gè)奇點(diǎn)分支出多個(gè)小振幅極限環(huán)的現(xiàn)象稱為多重Hopf分支。設(shè)系統(tǒng)(1)以原點(diǎn)為M階細(xì)焦點(diǎn)，則對其進(jìn)行適當(dāng)?shù)南禂?shù)微擾，相應(yīng)系統(tǒng)至多可分支出M個(gè)小振幅極限環(huán)。至于實(shí)際擾動出多少個(gè)極限環(huán)，還需要作進(jìn)一步的分析。

下面考慮n+1次多項(xiàng)式微分系統(tǒng)

(2)

(3)

所以我們稱系統(tǒng)(2)δ=0為一致等時(shí)系統(tǒng)。

考慮如下兩類系統(tǒng)

(4)

(5)

1 系統(tǒng)(4)的中心條件和多重Hopf分支

根據(jù)文[4]的計(jì)算方法，系統(tǒng)(4)δ=0的前5階約化焦點(diǎn)量(不計(jì)非零常數(shù)因子)分別為

定理1 系統(tǒng)(4)δ=0以原點(diǎn)為中心的充要條件是下列5組條件之一成立

(ii)a1=b1=b3=b5=0;

(iii)a0=a1=0;

(iv)a0=b0=b2=b4=0;

其中

證明(必要性) 通過求解多項(xiàng)式集G={W3,W4,W5}，共得到定理中的5組獨(dú)立系數(shù)條件，從而必要性得證。

(充分性)當(dāng)條件(i)成立時(shí)，系統(tǒng)(4)δ=0的向量場關(guān)于直線a0x+a1y=0對稱，因此由Poincaré對稱原理，系統(tǒng)(4)δ=0以原點(diǎn)為中心。

當(dāng)條件(ii)成立時(shí)，系統(tǒng)(4)δ=0的向量場關(guān)于y軸對稱，因此它以原點(diǎn)為中心。

當(dāng)條件(iii)成立時(shí)，由文獻(xiàn)[5]知系統(tǒng)(4)δ=0以原點(diǎn)為中心。

當(dāng)條件(iv)成立時(shí)，系統(tǒng)(4)δ=0的向量場關(guān)于x軸對稱，因此它以原點(diǎn)為中心。

由系統(tǒng)(4)δ=0的焦點(diǎn)量結(jié)構(gòu)和定理1知，系統(tǒng)(4)在原點(diǎn)鄰近至多存在3個(gè)小振幅極限環(huán)。以下構(gòu)造由5階細(xì)焦點(diǎn)擾動出3個(gè)小振幅極限環(huán)的實(shí)例。

定理2 假設(shè)系統(tǒng)(4)滿足

x4y+b2x3y2+

其中a0≠0，則當(dāng)ε=0時(shí)，系統(tǒng)(4)以原點(diǎn)為5階細(xì)焦點(diǎn)；當(dāng)0<|ε|?1時(shí)，在原點(diǎn)充分小鄰域內(nèi)系統(tǒng)(4)恰有3個(gè)小振幅極限環(huán)，其位置分別在圓x2+y2=k2ε2附近，k=1,2,3。

當(dāng)0<|ε|?1時(shí)，系統(tǒng)(4)的第0階至第5階焦點(diǎn)量依此為

v3(2π)=v5(2π)=0,

所以系統(tǒng)(4)在原點(diǎn)鄰域的擬后繼函數(shù)為

從而由文[10]知，系統(tǒng)(4)在原點(diǎn)的充分小鄰域內(nèi)恰有3個(gè)小振幅極限環(huán)，其位置分別在圓x2+y2=k2ε2附近，k=1,2,3。

2 系統(tǒng)(5)的中心條件和多重Hopf分支

通過計(jì)算，系統(tǒng)(5)δ=0的前6階約化焦點(diǎn)量(不計(jì)非零常數(shù)因子)分別為

W1=W2=0,

定理3 系統(tǒng)(5)δ=0以原點(diǎn)為中心的充要條件是下列7組條件之一成立：

(ii)a0=±a1,b1=-b5,b2=-b4,

b3=0,b6=-b0;

(vi)a0=b0=b2=b4=b6=0;

(vii)a1=b0=b2=b4=b6=0,

其中

證明(必要性)通過求解多項(xiàng)式集G={W3,W4,W5,W6}，共得到定理中的7組系數(shù)條件，從而必要性得證。

(充分性)當(dāng)條件(i)成立時(shí)，系統(tǒng)(5)δ=0的向量場關(guān)于直線a0x+a1y=0對稱，因此由Poincaré對稱原理，系統(tǒng)(5)δ=0以原點(diǎn)為中心。

當(dāng)條件(ii)成立時(shí)，系統(tǒng)(5)δ=0的向量場關(guān)于直線x±y=0對稱，因此它以原點(diǎn)為中心。

當(dāng)條件(v)成立時(shí)，由文獻(xiàn)[5]知系統(tǒng)(5)δ=0以原點(diǎn)為中心。

當(dāng)條件(vi)成立時(shí)，系統(tǒng)(5)δ=0的向量場關(guān)于x軸對稱，因此它以原點(diǎn)為中心。

當(dāng)條件(vii)成立時(shí)，系統(tǒng)(5)δ=0的向量場關(guān)于y軸對稱，因此它以原點(diǎn)為中心。證畢。

由系統(tǒng)(5)δ=0的焦點(diǎn)量結(jié)構(gòu)和定理3知，系統(tǒng)(5)在原點(diǎn)鄰近至多存在4個(gè)小振幅極限環(huán)。以下構(gòu)造由6階細(xì)焦點(diǎn)擾動出4個(gè)小振幅極限環(huán)的實(shí)例。

定理4 假設(shè)系統(tǒng)(5)滿足

其中a0≠0， 當(dāng)ε=0時(shí)，系統(tǒng)(5)以原點(diǎn)為6階細(xì)焦點(diǎn)；當(dāng)0<|ε|?1時(shí)，在原點(diǎn)充分小鄰域內(nèi)系統(tǒng)(5)恰有4個(gè)小振幅極限環(huán)，其位置分別在圓x2+y2=k2ε2附近，k=1,2,3,4。

證明當(dāng)ε=0時(shí)，由條件及焦點(diǎn)量公式，我們得到δ=W1=W2=W3=W4=W5=0,

當(dāng)0<|ε|?1時(shí)，系統(tǒng)(5)的第0階至第5階焦點(diǎn)量依此為

v3(2π)=v5(2π)=0

所以系統(tǒng)(5)在原點(diǎn)鄰域的擬后繼函數(shù)為

從而由文[10]知，系統(tǒng)(5)在原點(diǎn)的充分小鄰域內(nèi)恰有4個(gè)小振幅極限環(huán)，其位置分別在圓x2+y2=k2ε2附近，k=1,2,3,4。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉一戎，李繼彬．論復(fù)自治系統(tǒng)的奇點(diǎn)量[J]．中國科學(xué)A輯：數(shù)學(xué)，1989, 19(3)：245-255．

[2]WANG D M. Mechanical manipulation for a class of differential systems [J]. Journal of Symbolic Computation, 1991, 12(2): 233-254.

[3]YU P. Computation of normal forms via a perturbation technique [J]. Journal of Sound and Vibration, 1998, 211(1): 19-38.

[4]桑波，朱思銘．一類微分系統(tǒng)的非退化中心問題[J]．系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2013，33(5)：599-606．

[5]CONTI R. Centers of planar polynomial systems: A review [J]. Matematiche, 1998, 53(2): 207-240.

[6]CHAVARRIGA J, GARCíA I A, GINé J. On integrability of differential equations defined by the sum of homogeneous vector fields with degenerate infinity [J]. Int J Bifurcation and Chaos, 2001, 11(3):711-722.

[7]ALGABA A, REYES M, BRAVO A. Uniformly isochronous quintic planar vector fields [C]∥Fiedler B Proceedings of the International Conference on Differential Equations, Vol 2.World Scientific Publishing, Berlin, Germany, 1999, 1415-1417.

[8]GASULL A, PROHENS R, TORREGROSA J. Limit cycles for rigid cubic systems [J]. J Math Anal Appl, 2005, 303(2): 391-404.

[9]DIAS F S, MELLO L F. The center-focus problem and small amplititude limit cycles in rigid systems [J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series A, 2012, 32(5): 1627-1637.

[10]劉一戎，李繼彬．平面向量場的若干經(jīng)典問題[M]．北京：科學(xué)出版社，2010．