黃金城

（河海大學(xué)數(shù)理教學(xué)部，江蘇常州213022）

分段函數(shù)在高等數(shù)學(xué)所研究的函數(shù)中是一類比較特殊的函數(shù).分段函數(shù)在分段點(diǎn)的極限存在性，連續(xù)性以及可導(dǎo)性[1]，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn).對于分段函數(shù)求其導(dǎo)數(shù)時(shí)，一般地首先討論在每一分段開區(qū)間內(nèi)部的可導(dǎo)性，由于分段函數(shù)在其分段區(qū)間上是初等函數(shù)，因此分段函數(shù)在每一分段區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)可以直接用求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則計(jì)算；然后用定義判斷分段點(diǎn)處左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等；最后歸納出函數(shù)在定義域上的導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式.

很多學(xué)生對于分段函數(shù)在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的求法及其原理感到很困惑，經(jīng)常出現(xiàn)一些錯(cuò)誤的做法，根本原因是對于導(dǎo)數(shù)的定義沒有理解.如何讓學(xué)生正確理解并掌握分段函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法，已有很多建議[2-4].本人通過多年的課堂教學(xué)，總結(jié)了學(xué)生在求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)經(jīng)常易犯的錯(cuò)誤及其原因，并給出了解決問題的幾點(diǎn)思考.

1 關(guān)于函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)公式的討論

函數(shù)在一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的定義公式是用增量比的極限給出的，有兩種不同的形式，分別為于分段函數(shù)，由于其在分段點(diǎn)x0左右兩側(cè)的表達(dá)式往往不同，需要求上述兩個(gè)公式的左右極限，也就是分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)(x0)和右導(dǎo)數(shù)(x)，來判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)x處的可導(dǎo)性.00當(dāng)左右極限都存在且相等，即左導(dǎo)數(shù)(x0)和右導(dǎo)數(shù)(x0)都存在且相等時(shí)，增量比的極限才存在，也就是分段函數(shù)在分段點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)f′(x0)存在.反過來，當(dāng)分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)(x0)或右導(dǎo)數(shù)(x0)至少有一個(gè)不存在或都存在但是不相等時(shí)，分段函數(shù)在分段點(diǎn)不可導(dǎo).對于公當(dāng)x0=0時(shí)，兩個(gè)公式用起來都非常方便，當(dāng)x0≠0時(shí)，若使用公式，需要計(jì)算函數(shù)值（fx0+Δx），較麻煩.因此在求導(dǎo)數(shù)時(shí)，最常使用的是公式在求基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)時(shí)，主要利用公式，只要將函數(shù)

在一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的定義公式中的點(diǎn)x換成任意的點(diǎn)x

0即可.

2 求分段函數(shù)在分段點(diǎn)導(dǎo)數(shù)時(shí)常見的錯(cuò)誤及原因

錯(cuò)誤一：將兩個(gè)不同形式的公式中的極限過程混淆

極限過程x→1錯(cuò)誤的改為x→0.比如

正確解法：

錯(cuò)誤二：將左右導(dǎo)數(shù)公式中的函數(shù)值（fx0）分別代入不同的值

錯(cuò)誤解法：

在求左導(dǎo)數(shù)時(shí)，利用當(dāng)x＜0時(shí)，（fx）=x2+1計(jì)算（f0），求右導(dǎo)數(shù)時(shí)，利用當(dāng)x≥0時(shí)，（fx）=x2-1計(jì)算（f0）.事實(shí)上，公式中的（f0）是函數(shù)（fx）在x=0處的函數(shù)值，是唯一確定的實(shí)數(shù)楚什么是相同的，什么是不同的，兩個(gè)極限中（fx）是不同的，但（f0）是相同的.

正確解法：

錯(cuò)誤三：認(rèn)為分段函數(shù)在分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是分段

函

正確解法：利用函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義可以判斷f（'x）在x=0處是可導(dǎo)的.因?yàn)?/p>

顯然函數(shù)f（x）在x=1處不可導(dǎo).如果先求了右導(dǎo)數(shù)，左導(dǎo)數(shù)不需要求，就可以判斷f（x）在x=1處不可導(dǎo)，因?yàn)閒（x）在x=1處的右導(dǎo)數(shù)不存在，而只要一個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)不存在，分段函數(shù)在該分段點(diǎn)就不可導(dǎo).綜上可得

3 教學(xué)建議

為了避免學(xué)生在對分段函數(shù)求導(dǎo)數(shù)時(shí)出現(xiàn)以上錯(cuò)誤，除了在講解導(dǎo)數(shù)的定義要求學(xué)生理解定義以外，在講解例題時(shí)，可以有針對性的列舉一些錯(cuò)誤的做法，讓學(xué)生指出其中的錯(cuò)誤，并加以修改，這樣可以使學(xué)生印象深刻，從而在做題時(shí)避免采用類似的錯(cuò)誤方法.

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高數(shù)數(shù)學(xué)[M].6版.北京:高等教育出版社,2007.

[2] 劉曉妍.關(guān)于單側(cè)導(dǎo)數(shù)的一種求法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2006,9(5):26-27.

[3] 陳茜.淺談分段函數(shù)的求導(dǎo)[J].邢臺(tái)學(xué)院學(xué)報(bào),2010,25(2):103-104.

[4] 馬勝萍.數(shù)學(xué)教學(xué)中常見求導(dǎo)錯(cuò)誤的剖析[J].甘肅科技,2005,21(12):241-243.