芮孝芳,張 超

(1.河海大學(xué)水文水資源學(xué)院,江蘇 南京 210098; 2.河海大學(xué)土木與交通學(xué)院,江蘇 南京 210098)

據(jù)記載,洪水演算問(wèn)題為Graff于1833年首先提出,但遺憾的是Graff并未給后人留下具體的洪水演算方法[1]。直到20世紀(jì)30年代中期,美國(guó)陸軍工程師團(tuán)在修建位于Colorado河的一項(xiàng)水利工程時(shí),才由McCarthy提出了一個(gè)至今仍風(fēng)靡世界的洪水演算方法,因這個(gè)方法首先使用在Colorado河支流Muskingum河的洪水演算中,故后人將其命名為Muskingum法[2]。

McCarthy之所以能提出Muskingum法,筆者認(rèn)為有其必然性,也有其偶然性。水量平衡原理早在17世紀(jì)就在水文學(xué)中確立,至McCarthy所處的時(shí)代已達(dá)到了深入人心的地步,但河段水量平衡方程包含了河段下斷面出流量和河段槽蓄量?jī)蓚€(gè)未知項(xiàng),僅根據(jù)河段水量平衡方程顯然是不可能解決洪水演算問(wèn)題的。McCarthy當(dāng)時(shí)作出了一個(gè)假設(shè):如果能找到既能與同時(shí)刻河段槽蓄量呈單值關(guān)系,又能根據(jù)河段上斷面入流量和下斷面出流量確定的“另一個(gè)流量”,那么問(wèn)題就可以迎刃而解。實(shí)踐證明,這個(gè)假設(shè)在一定條件下居然成立。必然性與偶然性相結(jié)合就造就了洪水演算的Muskingum法。

Muskingum法的成功引起了水文學(xué)家的研究興趣。自20世紀(jì)30年代以來(lái),水文學(xué)家對(duì)Muskingum法的研究主要集中在槽蓄方程的構(gòu)建和所含參數(shù)的物理意義上。這場(chǎng)學(xué)術(shù)討論,參與度之廣,持續(xù)時(shí)間之長(zhǎng),在水文學(xué)發(fā)展史上十分罕見(jiàn),令人稱奇。

1 經(jīng)驗(yàn)解釋時(shí)期

經(jīng)驗(yàn)解釋時(shí)期大體上從1934—1956年,研討的問(wèn)題主要是對(duì)Muskingum法槽蓄方程的理解和確定其中參數(shù)的方法。因?yàn)檫@一時(shí)期基本上圍繞著McCarthy創(chuàng)建Muskingum法的思路進(jìn)行研討,所以也可稱為McCarthy-Muskingum法時(shí)期。

1.1 對(duì)槽蓄方程的理解

McCarthy設(shè)想在洪水波運(yùn)動(dòng)情況下,河段槽蓄量由“柱蓄”和“楔蓄”兩部分組成(圖1)[2]?！爸睢笔窍鄳?yīng)于河段下斷面出流量O的河段槽蓄量,在圖1中形似柱體,因此而得名。“楔蓄”是相應(yīng)于河段上斷面入流量I與其下斷面出流量O之差的河段槽蓄量,在圖1中形似楔體,因此而得名。McCarthy假設(shè)“柱蓄”和“楔蓄”的計(jì)算式分別為W柱=KO和W楔=Kx(I-O),其中K為蓄量系數(shù),x為與楔體形狀有關(guān)的系數(shù)。這樣,河段槽蓄方程就可寫(xiě)成:

W=K[xI+(1-x)O]

(1)

在式(1)中,[xI+(1-x)O]是以x為I的權(quán)重和以1-x為O的權(quán)重的河段加權(quán)平均流量,是河段上、下斷面流量的線性組合,因?yàn)橥ㄟ^(guò)選擇x值可能使其與河段槽蓄量呈一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系,所以稱其為示儲(chǔ)流量,用Q′表示。

圖1 “柱蓄”和“楔蓄”

Linsley等[3]曾試圖用水力學(xué)知識(shí)來(lái)解釋槽蓄方程，因?yàn)椴坌盍縒與水位一般具有拋物線型的單值關(guān)系。如果假設(shè)水位與流量也具有拋物線型的單值關(guān)系,那么就可以導(dǎo)得槽蓄量W與流量Q具有下列拋物線型關(guān)系:

W=aQm

(2)

式中：a、m分別為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)和指數(shù)。

如果分別以河段上斷面入流量I和下斷面出流量O計(jì)算河段槽蓄量,那么由式(2)就有:

(3)

Linsley等認(rèn)為,只要不是洪峰或洪谷處在河段中,河段的槽蓄量W應(yīng)在WI與WO之間,且W應(yīng)是WI與WO的加權(quán)平均。令權(quán)重分別為x和1-x,則有:

W=a[xIm+(1-x)Om]

(4)

對(duì)于天然河道,m一般近似為1。在式(4)中,若取m=1,并將a換成K,則結(jié)果與式(1)完全相同。

無(wú)論是McCarthy的解釋,還是Linsley等的解釋,都認(rèn)為x是一個(gè)權(quán)重,其取值可以在0～1之間。但這一時(shí)期的大量實(shí)踐卻并未發(fā)現(xiàn)有x>0.5的情況, “對(duì)大多數(shù)河流來(lái)說(shuō),x在0～0.3之間,平均接近于0.2”[3],這是為什么?

1.2 參數(shù)確定方法

根據(jù)McCarthy構(gòu)建河段槽蓄方程式(1)的基本思路,只要式(1)成立,就一定可以找到一個(gè)x,使示儲(chǔ)流量Q′與河段槽蓄量W呈單值線性關(guān)系。這種直觀的想法就導(dǎo)致了確定參數(shù)x和K的試錯(cuò)法[3]。試錯(cuò)法常常給人以計(jì)算繁復(fù)之感覺(jué),為避免這一點(diǎn)又提出了圖解分析法和最小二乘法。

圖2為根據(jù)河段上、下斷面實(shí)測(cè)流量資料得到的以河段上斷面入流量I為參變量的河段槽蓄量W與其下斷面出流量O的關(guān)系,稱為經(jīng)驗(yàn)槽蓄曲線[4],據(jù)此確定Muskingum法參數(shù)的方法就稱為圖解分析法。事實(shí)上,由式(1)容易得到:

(5)

(6)

圖2 經(jīng)驗(yàn)槽蓄曲線

最小二乘法是一種基于離差平方和最小的思路構(gòu)建的推求Muskingum法參數(shù)的解析法。以由式(1)計(jì)算的槽蓄量與由實(shí)測(cè)資料求得的槽蓄量的離差平方和最小作為擬合準(zhǔn)則,以河段水量平衡方程作為約束條件,可得確定x和K的公式[5]分別為

(7)

(8)

式中：Ii、Oi、Wi分別為第i時(shí)刻實(shí)測(cè)的河段上斷面入流量、下斷面出流量和相應(yīng)的槽蓄量;n為時(shí)段數(shù)。

上述確定Muskingum法參數(shù)的方法對(duì)實(shí)測(cè)資料的依賴性很強(qiáng),這就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)問(wèn)題:由于在暴雨洪水期間,河段的區(qū)間入流一般是不可避免的,因此,它必將作為一種外因?qū)拥篮樗ㄟ\(yùn)動(dòng)規(guī)律起著干擾作用,如果對(duì)此處理不合理,那么就無(wú)法得出合理的x和K。對(duì)圖3(圖中W使用的單位是行業(yè)通用單位)所示的Q′-W關(guān)系[6],之所以無(wú)論x取何值,Q′-W都不可能趨于單值關(guān)系,就是因?yàn)閰^(qū)間入流難以合理處理。實(shí)踐證明,區(qū)間入流比重越大,這種情況就越易出現(xiàn)。如果區(qū)間入流可全部實(shí)測(cè),這種情況一般就不會(huì)出現(xiàn)了。

圖3 沅陵—王家河河段1970年9月一次洪水的Q′-W關(guān)系

2 特征河長(zhǎng)解釋時(shí)期

特征河長(zhǎng)解釋時(shí)期大體從1957—1967年,研究的問(wèn)題主要是建立水文學(xué)的槽蓄理論和揭示Muskingum法參數(shù)與特征河長(zhǎng)的關(guān)系。因?yàn)檫@一時(shí)期主要是圍繞著Kalinin和Milyukov創(chuàng)建的特征河長(zhǎng)的基本理論進(jìn)行的,所以也可稱為Kalinin-Muskingum法時(shí)期。

2.1 中國(guó)的實(shí)踐

20世紀(jì)50—60年代,中國(guó)水文科學(xué)家和工程師在使用Muskingum法的大量實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)[7]:①同一條河流,在河段長(zhǎng)大致相同的情況下,上游河段的x一般比下游河段的x大。例如西江南寧—橫縣河段,河段長(zhǎng)163 km,得x=0.30；而位于其下游的梧州—高要河段,河段長(zhǎng)160 km,得x=0.05。②河底比降相同的河段,長(zhǎng)河段的x大于短河段的x。例如松花江佳木斯—富錦河段,河段長(zhǎng)191 km,河底比降1/10 000,得x=0.35；贛江吉安—峽江河段,河段長(zhǎng)66 km,河底比降1/10 000,得x=0.25。③河段長(zhǎng)相同,河底比降大的x大于河底比降小的x。例如永定河青白口—三家店河段,河段長(zhǎng)53 km,河底比降31.9/10 000,得x=0.49；新沂河障山—沐陽(yáng)河段,河段長(zhǎng)50 km,河底比降2.5/10 000,得x=0.45。④有大支流匯入的河段,x一般都比較小。例如錢塘江羅桐埠—蘆茨埠河段,河段長(zhǎng)51 km,河底比降0.25/10 000,河段中間有大支流匯入,得x=0；伊洛河龍門—黑石蘭河段,河段長(zhǎng)57 km,河底比降0.3/10 000,河段中有大支流匯入,得x=0.10。⑤有些河段,x必須為負(fù)。例如長(zhǎng)江萬(wàn)縣—宜昌河段,河段長(zhǎng)318 km,河底比降2.7/10 000,在三峽建庫(kù)前x=-0.60。

上述中國(guó)水文學(xué)家和工程師在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題,顯然無(wú)法從McCarthy和Linsley等對(duì)Muskingum法的經(jīng)驗(yàn)解釋中尋找到答案。

2.2 x與特征河長(zhǎng)的關(guān)系

正當(dāng)人們感到“山重水復(fù)疑無(wú)路”的時(shí)候,是Kalinin和Milyukov[8]發(fā)現(xiàn)的“特征河長(zhǎng)”撥開(kāi)了迷霧,又在人們眼前出現(xiàn)了“柳暗花明又一村”的美景。1958年Kalinin和Milyukov利用水力學(xué)知識(shí)導(dǎo)出了如下特征河長(zhǎng)l的表達(dá)式:

(9)

筆者認(rèn)為,特征河長(zhǎng)的發(fā)現(xiàn)對(duì)水文學(xué)有多方面的重要意義,其中所開(kāi)創(chuàng)的構(gòu)建槽蓄方程的理論途徑最值得稱道。根據(jù)特征河長(zhǎng)的物理意義,如果河段長(zhǎng)L正好等于特征河長(zhǎng)l,則河段槽蓄量W與特征河段出流量Ol呈單值函數(shù)關(guān)系,而且在多數(shù)情況下,可將此單值函數(shù)關(guān)系視作如下近似線性函數(shù)關(guān)系:

W=KlOl

(10)

式中:Kl為洪水波在特征河長(zhǎng)內(nèi)的傳播時(shí)間;c為洪水波速。

由于Muskingum法的示儲(chǔ)流量Q′也與河段槽蓄量呈單值線性關(guān)系,因此,只要找到使Q′=Ol的條件,就可對(duì)Muskingum法作出一定的物理解釋。水文學(xué)家從不同的角度證明這個(gè)條件[4,7]就是:

(11)

式中：L為河段長(zhǎng)。

由式(11)可知：①對(duì)一定的河段長(zhǎng)L,當(dāng)i0→∞時(shí),由于l→0,因此x=0.5;當(dāng)i0→0時(shí),由于l→∞,因此,x<0;當(dāng)i0在0～∞之間時(shí),由于l在∞～0之間,所以x≤0.5。②對(duì)不同的L與l關(guān)系,若L>l,則x在0～0.5之間;若L=l,則x=0;若L

2.3 連續(xù)演算的Muskingum法

圖4 1968年8月洪水王家河站計(jì)算與實(shí)測(cè)流量過(guò)程線

(12)

其中A=C1+C0C2

C0+C1+C2=1

筆者曾使用Z-變換和留數(shù)定理對(duì)連續(xù)演算Muskingum法的匯流系數(shù)做了推導(dǎo),得到了與上述相同的結(jié)論[7]。

3 水力學(xué)解釋時(shí)期

水力學(xué)解釋時(shí)期大體上從1967年至今。河道洪水波運(yùn)動(dòng)在水力學(xué)上屬于緩變不恒定流運(yùn)動(dòng),描寫(xiě)其運(yùn)動(dòng)規(guī)律的方程式早在1871年就由St.Venant導(dǎo)出,后人稱之為St.Venant方程組。所謂Muskingum法的水力學(xué)解釋就是揭示Muskingum法與St.Venant方程組的關(guān)系,開(kāi)此先河者為Dooge,但為此作出關(guān)鍵貢獻(xiàn)的是Cunge。所以這一時(shí)期也可稱為Cunge-Muskingum法時(shí)期。

3.1 Dooge的研究

1967年,Dooge[12]通過(guò)比較線性化的完全St.Venant方程組的響應(yīng)函數(shù)和Muskingum法的響應(yīng)函數(shù)的各階累積量,得到了Muskingum法參數(shù)x、K和特征河長(zhǎng)l的表達(dá)式分別為

(13)

(14)

(15)

Dooge根據(jù)完全St.Venant方程組線性化形式也導(dǎo)出與式(11)完全相同的結(jié)果,這無(wú)疑是對(duì)Kalinin和Milyukov結(jié)論的有力支持,但卻帶來(lái)了一個(gè)新問(wèn)題:為什么在Dooge的推導(dǎo)中,無(wú)論特征河長(zhǎng)l,還是Muskingum法參數(shù)x均與表征流態(tài)的弗勞德數(shù)有關(guān)?為什么當(dāng)流態(tài)為F0>2的急變流時(shí),x、l均出現(xiàn)不合理,以致Muskingum法已不再適用了？

3.2 Cunge的研究

1969年,Cunge[13]發(fā)表了一篇題為“關(guān)于洪水傳播計(jì)算方法(Muskingum法)問(wèn)題”的著名論文,報(bào)道了他在使用四點(diǎn)帶權(quán)顯式差分格式推求運(yùn)動(dòng)波方程數(shù)值解時(shí)的有趣發(fā)現(xiàn):如果解的一階截?cái)嗾`差正好等于擴(kuò)散波的擴(kuò)散系數(shù),那么所得到的運(yùn)動(dòng)波方程式的差分解不僅具有與McCarthy-Muskingum法完全相同的演算公式形式和完全相同的演算系數(shù)的表達(dá)式,而且還變成了擴(kuò)散波方程的二階精度差分解,條件僅僅是要求滿足:

(16)

式中：D為擴(kuò)散波的擴(kuò)散系數(shù);c為波速;Δx為河段長(zhǎng)。

筆者[9,14]曾導(dǎo)得特征河長(zhǎng)l與擴(kuò)散系數(shù)D的關(guān)系為

(17)

將式(17)代入式(16)得到的x表達(dá)式也與式(11)完全相同。

Cunge雖然利用運(yùn)動(dòng)波方程的四點(diǎn)帶權(quán)顯式差分格式數(shù)值解的一階截?cái)嗾`差等于擴(kuò)散波擴(kuò)散系數(shù)這一條件,給出了Muskingum法參數(shù)x的物理意義,揭示了Muskingum法演算公式就是擴(kuò)散波方程具有二階精度的差分解,但是沒(méi)有給出Muskingum法演算公式作為擴(kuò)散波方程式顯式差分格式解的穩(wěn)定性條件。

3.3 Koussis的研究

1978年,Koussis[15]針對(duì)常微分方程形式的河段水量平衡方程和Muskingum法槽蓄方程式(1),通過(guò)Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi),導(dǎo)出了下列偏微分方程:

(18)

式中:Q為傳播流量;c為波速；x為Muskingum法參數(shù);Δx為河段長(zhǎng)。

在式(18)中,若令

(19)

式中D為擴(kuò)散波的擴(kuò)散系數(shù),則有

(20)

式(20)即為擴(kuò)散波方程式。這就表明,Kousis的研究結(jié)論是河段水量平衡方程與Muskingum法槽蓄方程，在滿足條件式(19)的情況下,就是描寫(xiě)擴(kuò)散波運(yùn)動(dòng)的擴(kuò)散波方程。考慮到式(17),條件式(19)與式(11)完全相同。

Cunge和Kousis從正與反兩種角度證明了只要條件式(11)滿足,Muskingum法演算公式就是擴(kuò)散波方程式的二階精度數(shù)值解，河段水量平衡方程和Muskingum法槽蓄方程描述的就是擴(kuò)散波運(yùn)動(dòng)。

3.4 筆者的研究

由數(shù)值分析理論知,只有具有計(jì)算穩(wěn)定性的差分格式才有意義,否則就會(huì)因截?cái)嗾`差在傳遞過(guò)程中的放大或震蕩,造成所描寫(xiě)的現(xiàn)象的物理圖景不合理的后果。隱式差分格式是無(wú)條件穩(wěn)定的,但顯式差分格式卻是條件性穩(wěn)定的。Muskingum法的演算公式作為擴(kuò)散波方程的顯式差分解的穩(wěn)定性條件是什么呢?

2008年,筆者[16]曾應(yīng)用Ven Neumamm理論對(duì)Muskingum法的數(shù)值穩(wěn)定性進(jìn)行分析,得到的穩(wěn)定性條件為

x≤0.5

(21)

聯(lián)系到曾經(jīng)對(duì)式(11)所作的分析,x≤0.5不僅是Muskingum法物理意義上的要求,而且是數(shù)值解穩(wěn)定性的條件。

4 結(jié)論與啟示

a. 如果說(shuō)St.Venant方程組的問(wèn)世開(kāi)創(chuàng)了用水力學(xué)理論探索河道洪水波運(yùn)動(dòng)的途徑,那么Muskingum法的出現(xiàn)便開(kāi)始了用水文學(xué)理論研究河道洪水波運(yùn)動(dòng)的途徑。經(jīng)過(guò)近一個(gè)世紀(jì)的發(fā)展,不僅找到了這兩條途徑的共同點(diǎn),也明確了它們的不同點(diǎn)。適用于運(yùn)動(dòng)波和擴(kuò)散波的洪水演算是它們的共同點(diǎn),是否適用動(dòng)力波的洪水演算是它們的不同點(diǎn)。

b. 筆者認(rèn)為在近百年中,Muskingum法的發(fā)展已經(jīng)歷了3個(gè)時(shí)期,即經(jīng)驗(yàn)解釋時(shí)期、特征河長(zhǎng)解釋時(shí)期和水力學(xué)解釋時(shí)期。在經(jīng)驗(yàn)解釋時(shí)期,論及的中心議題是槽蓄方程的構(gòu)建和示儲(chǔ)流量的實(shí)質(zhì)。在特征河長(zhǎng)解釋時(shí)期,論及的中心議題是Muskingum法與特征河長(zhǎng)的關(guān)系,以及用Muskingum法進(jìn)行洪水演算時(shí)初始階段出現(xiàn)不合理現(xiàn)象的原因。在水力學(xué)解釋時(shí)期,論及的中心議題是Muskingum法的水力學(xué)基礎(chǔ)和Muskingum法計(jì)算結(jié)果物理上合理、數(shù)值上穩(wěn)定的條件。Muskingum法的理論和應(yīng)用價(jià)值就是在這樣的發(fā)展過(guò)程中得到了不斷的提升。

c. Muskingum法的槽蓄方程,原本是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)假設(shè),但在世界上許多河流的洪水演算中取得了令人滿意的精度。一個(gè)經(jīng)驗(yàn)性的假設(shè)為什么能屢屢得到應(yīng)驗(yàn)?zāi)?是不是這個(gè)假設(shè)實(shí)質(zhì)上已是人們不自覺(jué)地揭示了洪水波運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)了呢?如果是這樣,那么這種洪水波該是什么樣的洪水波呢?現(xiàn)在水文學(xué)家終于交出了一份很好的答卷。這一事件表明,在科學(xué)研究中,“經(jīng)驗(yàn)”不一定永遠(yuǎn)是經(jīng)驗(yàn),有些“經(jīng)驗(yàn)”,尤其是那些似乎“放之四海而皆準(zhǔn)”的經(jīng)驗(yàn),終有一天會(huì)上升到“理論”的。從這個(gè)意義上說(shuō),“經(jīng)驗(yàn)”與“理論”之間并不存在一條不可逾越的鴻溝。在這種由“經(jīng)驗(yàn)”向“理論”的升華過(guò)程中,科學(xué)家的正確思維方法、持之以恒的探索精神、百折不撓的學(xué)術(shù)批判是十分重要的。

d. 重要的科學(xué)發(fā)現(xiàn)經(jīng)常是從某種“假設(shè)”開(kāi)始的,但是在當(dāng)今的教科書(shū)中,總是將一些重要的定理和定律整理“提煉”得有條不紊,好像它們生來(lái)有之。這樣,久而久之,學(xué)生們就習(xí)慣于 “經(jīng)驗(yàn)性”的永遠(yuǎn)是經(jīng)驗(yàn)性的、“理論性”的永遠(yuǎn)是理論性的思維方式,而對(duì)于在科學(xué)探索中發(fā)生的實(shí)際思維過(guò)程卻反而不知甚至不能理解。事實(shí)上,在科學(xué)史上起引領(lǐng)作用的定律曾經(jīng)就是一種猜想。就是在今天,科學(xué)上仍然充滿了猜想。沒(méi)有“猜想”就難以有“創(chuàng)新”。

e. 學(xué)習(xí)任何知識(shí)均應(yīng)將精力放在正確理解其精神實(shí)質(zhì)上,要牢牢掌握其精髓,而不應(yīng)采用功利主義的態(tài)度,浮在表面就開(kāi)始做“創(chuàng)新”的美夢(mèng)。君不見(jiàn),有文獻(xiàn)曾經(jīng)將計(jì)算與實(shí)測(cè)流量的離差平方和最小作為目標(biāo)函數(shù),用最優(yōu)化方法直接率定Muskingum法的演算系數(shù)C0、C1和C2,或者再增加一個(gè)水量平衡約束,即C0+C1+C2=1來(lái)率定C0、C1和C2。更有甚者,竟將計(jì)算與實(shí)測(cè)水位的離差平方和最小作為目標(biāo)函數(shù)來(lái)率定C0、C1和C2。所有這些做法,由于不能保證Muskingum法中x的物理意義,故均不能稱為對(duì)Muskingum法的改進(jìn)和發(fā)展。相反,這是一種將原本物理概念清楚的方法胡亂地變成“黑箱子”方法的典型事例。科學(xué)研究的目的是盡可能將“黑箱子”變“灰”、變“白”,而不能將“白箱子”變“灰”、變“黑”。

f. Muskingum法的參數(shù)x和特征河長(zhǎng)l與弗勞德數(shù)存在關(guān)系,表明了它們與流態(tài)有關(guān)。由式(13)和式(14)可知,當(dāng)流態(tài)為F0>2的急變流時(shí),出現(xiàn)了x>0.5和l<0的不合理現(xiàn)象,這是為什么?既然Muskingum法的演算公式是擴(kuò)散波方程具有二階精度的四點(diǎn)帶權(quán)顯式差分格式的數(shù)值解,為什么只能通過(guò)運(yùn)動(dòng)波方程才能得到,直接利用差分格式求解擴(kuò)散波方程卻不能得到？筆者認(rèn)為這些也許是必須進(jìn)一步深入研究的問(wèn)題。若通過(guò)物理實(shí)驗(yàn)方法來(lái)揭示Muskingum法的物理基礎(chǔ)和適用條件,則將更有意義。

參考文獻(xiàn)：

[1] VIESSMEN W, KNAPP J W, GARY L L,et al.Introduction to hydrology[M].New York: Harper & Pow, 1977.

[2] CHOW V T.Handbook of applied hydrology[M].New York: McGraw-Hill, 1964.

[3] LINSLEY R K, KOHLER M A, PAULHUS J L H.Hydrology for engineers[M].3rd ed.New York: McGraw-Hill, 1988.

[4] 華東水利學(xué)院水文系.水文預(yù)報(bào)[M].北京:中國(guó)工業(yè)出版社,1962.

[5] 鐘樂(lè)暉.用數(shù)解法推求馬斯京根洪水演算法中X和K的數(shù)值[J].水利學(xué)報(bào),1963(2):43-45.(ZHONG Lehui.The calculation of parametersXandKof Muskingum flood routing method with numerical method[J].Journal of Hydraulic Engineering,1963(2):43-45.(in Chinese)

[6] 華東水利學(xué)院.中國(guó)濕潤(rùn)地區(qū)洪水預(yù)報(bào)方法[M].北京:水利電力出版社, 1978.

[7] 芮孝芳.Muskingum法及其分段連續(xù)演算的若干理論探討[J].水科學(xué)進(jìn)展,2002,13(6):682-688.(RUI Xiaofang.Some theoretical studies on the Muskingum method and its successive routing in subreaches[J].Advances in Water Science,2002,13(6):682-688.(in Chinese)

[8] KALININ G P,MILYUKOV P I.Approximate computation of unsteady flow[R].Leningrad:Trudy C.I.P.,1958.(in Russian).

[9] 芮孝芳.水文學(xué)原理[M].北京:高等教育出版社, 2013.

[10] 趙人俊.流域匯流計(jì)算方法[J].水利學(xué)報(bào),1962(2):1-9.(ZHAO Renjun.Watershed concentration calculation method[J].Journal of Hydraulic Engineering,1962(2):1-9.(in Chinese)

[11] 趙人俊.流域水文模擬[M].北京:水利電力出版社, 1984.

[12] DOOGE J C I.Linear theory of hydrologic systems[M].Washington,D.C.:USDA,1973.

[13] CUNGE J A.On the subject of a flood propagation method:Muskingum method[J].Journal of Hydraulic Research,1969, 7(2):1087-1101.

[14] 芮孝芳.運(yùn)動(dòng)波數(shù)值擴(kuò)散與洪水演算方法[J].水利學(xué)報(bào),1987(2):37-43.(RUI Xiaofang.Numerical dispersion of kinematic wave and flood routing method[J].Journal of Hydraulic Engineering,1987(2):37-43.(in Chinese)

[15] KOUSSIS A D.Theortical estimations of flood routing parameters[J].Journal of the Hydraulics Division,ASCE,1978, 104(HY1):109-115.

[16] RUI Xiaofang,LIU Fanggui,YU Mei.Discussion of Muskingum method parameter X[J].Water Science and Engineering,2008, 1(3):16-23.