羅　偉，楊國珂，葉坤濤

(江西理工大學(xué)理學(xué)院，江西贛州　341000)

0　引言

隨著微機電系統(tǒng)(MEMS)技術(shù)發(fā)展[1]，靜電力驅(qū)動的扭轉(zhuǎn)微鏡逐漸廣泛應(yīng)用于投影顯示[2]、 光譜儀[3]、現(xiàn)代光通信[4]等方面。從上世紀八十年代末開始，研究人員開展了對靜電力驅(qū)動的扭轉(zhuǎn)微鏡的制作工藝、運動特性以及應(yīng)用等方面的研究，發(fā)現(xiàn)了吸合效應(yīng)，并利用物理模型對其吸合角進行了深入研究。

對靜電力驅(qū)動的扭轉(zhuǎn)微鏡吸合角的理論分析主要是通過確定極間電場的靜電力矩與機械回復(fù)力矩之間的平衡關(guān)系來進行的[5-9]。其中采用的靜電力矩的計算方法有2種，一種是通過力矩的定義用微元法求解[5-7]，另一種是采用虛功原理，通過扭轉(zhuǎn)微鏡的極間靜電能和靜電力矩的關(guān)系來求解[8-9]。

O．Degani[5]在1998年建立了吸合電壓與吸合角計算的物理模型，發(fā)現(xiàn)吸合角、吸合電壓，與彈簧彈性系數(shù)無關(guān)，只與扭轉(zhuǎn)微鏡的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)；1999年，G．J．Su[6]對不同極板間距的微鏡，分析了其驅(qū)動電壓與偏轉(zhuǎn)角度的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)改變極板間距可以改變扭轉(zhuǎn)微鏡的吸合角，結(jié)論與文獻5相符；2001年，X．M．Zhang[7]通過求解驅(qū)動電壓與偏轉(zhuǎn)角度的關(guān)系式的極值點，數(shù)值計算扭轉(zhuǎn)微鏡的吸合角，發(fā)現(xiàn)計算的吸合角只與電極尺寸有關(guān)，數(shù)據(jù)與實驗相符；2002年D．Hah[8]以及2006年G．C．Zhu[9]的研究表明，扭轉(zhuǎn)微鏡的吸合角由極間電容與偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系決定，而與彈簧的彈性系數(shù)、驅(qū)動電壓無關(guān)；而極板間電容與偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系只與該器件的幾何結(jié)構(gòu)有關(guān)。

上述研究都關(guān)注了影響扭轉(zhuǎn)微鏡吸合角的尺寸因素，都發(fā)現(xiàn)如果扭轉(zhuǎn)微鏡的幾何尺寸確定，扭轉(zhuǎn)微鏡的吸合角就確定。而吸合角是扭轉(zhuǎn)微鏡在使用過程中可偏轉(zhuǎn)的最大角度，它確定了扭轉(zhuǎn)微鏡的使用范圍，是扭轉(zhuǎn)微鏡的一個重要性能指標[5-9]。目前，技術(shù)人員主要是通過改變扭轉(zhuǎn)微鏡的幾何結(jié)構(gòu)來調(diào)整這一角度，以滿足實際需要。

1997年，J．I．Seeger[10-11]曾提出通過給平行板靜電驅(qū)動器串聯(lián)一個電容，引入電容負反饋的方式，來改善平行板靜電驅(qū)動器的系統(tǒng)穩(wěn)定性和加大驅(qū)動距離，且2000年，E．K．Chan[12]更深入地研究了串聯(lián)電容對平行板靜電驅(qū)動器的影響。受此啟發(fā)，該研究對扭轉(zhuǎn)微鏡在串接電容后，其吸合角的變化進行了仿真分析。并且對仿真結(jié)果進行了理論上的解釋。研究表明，引入串接電容后，扭轉(zhuǎn)微鏡的吸合角增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性提高，擴展了固定尺寸扭轉(zhuǎn)微鏡的轉(zhuǎn)角范圍。

1　MEMS扭轉(zhuǎn)微鏡的吸合角

靜電力驅(qū)動的扭轉(zhuǎn)微鏡結(jié)構(gòu)的三維示意圖，如圖1所示。扭轉(zhuǎn)微鏡由微鏡面、懸臂梁(扭轉(zhuǎn)梁)和基底構(gòu)成。 當給扭轉(zhuǎn)微鏡系統(tǒng)施加某一恒定的驅(qū)動電壓后，扭轉(zhuǎn)微鏡在靜電力的作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)，同時扭轉(zhuǎn)微鏡由于扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生形變，當極間電場產(chǎn)生的靜電力矩T與形變產(chǎn)生的機械回復(fù)力矩Tm滿足式(1)時，扭轉(zhuǎn)微鏡理論上在某個偏轉(zhuǎn)角度處達到力學(xué)平衡態(tài)：

圖1　扭轉(zhuǎn)微鏡結(jié)構(gòu)的三維示意圖[13]

(1)

基于MEMS扭轉(zhuǎn)微鏡的靜態(tài)特性的大角度模型分析理論，在只考慮極板間電場的情況下，由微元法求解的扭轉(zhuǎn)微鏡靜電力矩T與機械回復(fù)力矩Tm分別如式(2)、式(3)所示[13，14]：

(2)

Tm=kθ

(3)

(4)

式中：LM、WM分別代表扭轉(zhuǎn)微鏡的鏡面的長度與寬度；wB、tB、lB分別為扭轉(zhuǎn)微鏡懸臂梁的寬度、厚度和長度的一半；d為扭轉(zhuǎn)微鏡與基底的間距(見圖1)；V為扭轉(zhuǎn)微鏡與基底之間的驅(qū)動電壓；θ為扭轉(zhuǎn)微鏡的偏轉(zhuǎn)角度；G為微鏡懸臂梁材料的剪切模量；k為系數(shù)。

扭轉(zhuǎn)微鏡的具體尺寸如表1所示[13]，材料為多晶硅，其剪切模量G為69GPa[15]。

表1　扭轉(zhuǎn)微鏡的尺寸[13]　μm

通過式(3)、式(4)，可數(shù)值求解表1所示的微鏡的機械回復(fù)力矩隨偏轉(zhuǎn)角度的變化曲線(見圖2)，結(jié)果與驅(qū)動電壓無關(guān)，是斜率為k的直線。

由式(2)，并給定不同驅(qū)動電壓，可數(shù)值求解不同的靜電力矩隨偏轉(zhuǎn)角度的變化曲線(見圖2)。對表1所示微鏡的數(shù)值計算表明，驅(qū)動電壓為0～87.9 V時，如85 V，靜電力矩曲線與機械回復(fù)力矩曲線有1個交點A1，為力學(xué)穩(wěn)定平衡點；驅(qū)動電壓為87.9～241 V時，如200 V，有2個交點A2、A3，分別為穩(wěn)定平衡點與非穩(wěn)定平衡點；驅(qū)動電壓為241 V時，兩類平衡點合并成切點，靜電力矩曲線與機械回復(fù)力矩曲線相切，只有1個交點A4，為扭轉(zhuǎn)微鏡的吸合點[5，13]。與吸合點橫坐標對應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角度，即吸合角為31.8°，對應(yīng)的驅(qū)動電壓241 V為所謂的吸合電壓；驅(qū)動電壓大于241 V時，如320 V，靜電力矩曲線與機械回復(fù)力矩曲線無交點，微鏡處于非穩(wěn)定狀態(tài)。

圖2　機械回復(fù)力矩、不同驅(qū)動電壓的靜電力矩隨偏轉(zhuǎn)角變化的曲線

圖3　扭轉(zhuǎn)微鏡驅(qū)動電壓與偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系曲線

若取驅(qū)動電壓范圍0～241 V，電壓值間隔為0.1 V，并將此過程中的靜電力矩曲線與機械回復(fù)力矩曲線的所有平衡點對應(yīng)的驅(qū)動電壓為橫軸，偏轉(zhuǎn)角為縱軸，繪制成圖，可得到扭轉(zhuǎn)微鏡的偏轉(zhuǎn)角與驅(qū)動電壓之間的關(guān)系曲線，見圖3。

可以證明此計算過程中得到的吸合角只與微鏡的尺寸參數(shù)有關(guān)，而與其他因素?zé)o關(guān)[8-9]。

2　串聯(lián)恒定電容時微鏡的吸合角

微鏡可以等效為一可變電容C，表示的是圖1中鏡面與基底之間電容值。其隨偏轉(zhuǎn)角度的變化關(guān)系為[16]：

(5)

式中：LM、WM、d分別為扭轉(zhuǎn)微鏡的長度、寬度和鏡面與基底之間的間距。

圖4(a)表示的是扭轉(zhuǎn)微鏡驅(qū)動電路的等效電路示意圖。圖中電壓V為無串聯(lián)電容的驅(qū)動電壓。為了改變扭轉(zhuǎn)微鏡的吸合角，在微鏡驅(qū)動時串接一個恒定電容，驅(qū)動電路的等效電路如圖4(b)所示，Vc是串聯(lián)恒定電容Cf后的驅(qū)動電壓。

圖4　微鏡串聯(lián)電容前后的的驅(qū)動電路示意圖

串聯(lián)恒定電容Cf后，扭轉(zhuǎn)微鏡與基底之間電壓為V，和驅(qū)動電壓Vc不同，由電容串聯(lián)分壓原理可知：

(6)

聯(lián)立式(2)、式(6)得到串聯(lián)電容后扭轉(zhuǎn)微鏡的靜電力矩隨角度的變化關(guān)系式(7)：

(7)

依次取驅(qū)動電壓為50 V、100 V、150 V、200 V、250 V，分別計算串聯(lián)電容前、后的扭轉(zhuǎn)微鏡靜電力矩以及機械回復(fù)力矩隨偏轉(zhuǎn)角度的關(guān)系，結(jié)果如圖5所示，其中串聯(lián)電容Cf的值為0.04 pF．

圖5　串聯(lián)電容后，靜電力矩隨偏轉(zhuǎn)角變化曲線族的改變

圖5中，虛線族代表的是串聯(lián)電容前，微鏡靜電力矩隨偏轉(zhuǎn)角度的變化關(guān)系；實線族代表的是串聯(lián)電容后，微鏡靜電力矩隨偏轉(zhuǎn)角度的變化關(guān)系；對同一曲線族，曲線的整體位置越高，對應(yīng)的驅(qū)動電壓越大。對同一驅(qū)動電壓，串聯(lián)電容后的靜電力矩，相對于串聯(lián)電容前的靜電力矩曲線，整體向下移動；圖中粗實線為微鏡機械回復(fù)力矩隨偏轉(zhuǎn)角的變化關(guān)系。

采用類似于圖3的繪制方法，將串聯(lián)電容后不同驅(qū)動電壓時，靜電力矩與機械回復(fù)力矩曲線的所有交點對應(yīng)的驅(qū)動電壓為橫軸，偏轉(zhuǎn)角為縱軸，繪制成圖，其中的驅(qū)動電壓值從0開始，間隔為0.1 V，得到串聯(lián)電容前后扭轉(zhuǎn)微鏡的偏轉(zhuǎn)角與驅(qū)動電壓之間的關(guān)系曲線(見圖6)。圖6顯示，串聯(lián)恒定電容Cf=0.04 pF后，扭轉(zhuǎn)微鏡的吸合角增大，由之前的31.8°變?yōu)榇?lián)電容后的35.2°，對應(yīng)的驅(qū)動電壓為285.5 V．

圖6　串聯(lián)電容前后，偏轉(zhuǎn)角vs．驅(qū)動電壓曲線的對比

微鏡極板間的靜電力矩隨偏轉(zhuǎn)角變化的關(guān)系，歸根到底是由加上驅(qū)動電壓后，極板上的電荷量隨偏轉(zhuǎn)角的變化關(guān)系決定的。由于串聯(lián)電容的存在，極板上的電荷量隨偏轉(zhuǎn)角的變化關(guān)系發(fā)生改變，使得靜電力矩隨偏轉(zhuǎn)角度增加的曲線族放緩，于是靜電力矩曲線與機械回復(fù)力矩曲線的相切點，即吸合點也發(fā)生變化，吸合角也隨之改變。

3　串聯(lián)不同電容時微鏡的吸合角

串聯(lián)不同電容值的電容，吸合角將變化到不同數(shù)值。對串聯(lián)不同電容值的電容的情況進行數(shù)值仿真計算，獲得對應(yīng)的不同吸合角，參見圖7。圖中曲線顯示，當串聯(lián)電容逐漸增大時，扭轉(zhuǎn)微鏡的吸合角逐漸減小，最終趨近于未加串聯(lián)電容時的吸合角度31.8°；串聯(lián)電容數(shù)值上接近0時，吸合角度值會接近63.8°；當串聯(lián)電容值為0，即無串聯(lián)電容時，吸合角為31.8°。

圖7　串聯(lián)不同值的電容與扭轉(zhuǎn)微鏡的吸合角的關(guān)系

由上述數(shù)值解可獲得一般性結(jié)論，即串聯(lián)電容后，微鏡的吸合角度會增大；串聯(lián)電容Cf趨向于無窮大時，加電容后的吸合角趨向于未加電容時的吸合角；串聯(lián)電容變小，吸合角變大。此結(jié)論可以通過數(shù)學(xué)分析的方法證明，詳細推導(dǎo)過程見附錄A．

4　結(jié)束語

采用對比扭轉(zhuǎn)微鏡的靜電力矩與機械回復(fù)力矩隨角度的變化曲線的方法，來研究扭轉(zhuǎn)微鏡驅(qū)動電壓與偏轉(zhuǎn)角度的關(guān)系，并重點關(guān)注了微鏡的吸合角。在J．I．Seeger[10-11]和E．K．Chan[12]研究平行板靜電驅(qū)動器中引入串聯(lián)電容的啟發(fā)下，研究了在扭轉(zhuǎn)微鏡的驅(qū)動電路中，加入一個恒定的串聯(lián)電容后，扭轉(zhuǎn)微鏡的吸合角的變化情況；并對加入不同串聯(lián)電容值時，扭轉(zhuǎn)微鏡吸合角的變化規(guī)律進行了數(shù)值計算和解析分析。

與J．I．Seeger[10-11]和E．K．Chan[12]在平行板靜電驅(qū)動器中引入串聯(lián)電容，可加大平行板靜電驅(qū)動器的驅(qū)動距離的結(jié)論類似，該研究結(jié)論表明：串聯(lián)電容后，微鏡的吸合角增大，提高了其穩(wěn)定性；微鏡的吸合角隨著串聯(lián)電容減小而逐漸增大。即在微鏡幾何尺寸固定的情況下，吸合角還可通過設(shè)計驅(qū)動電路來調(diào)整，這對扭轉(zhuǎn)微鏡在實際應(yīng)用中，如何擴展其使用范圍，提高穩(wěn)定性，提供了新思路。

附錄A：

未串聯(lián)電容時，微鏡的驅(qū)動電壓與偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系可以表示成(A1)式[13][14]：

(A1)

式中：V(θ)是扭轉(zhuǎn)微鏡偏轉(zhuǎn)角度θ對應(yīng)的驅(qū)動電壓值；A、B只與扭轉(zhuǎn)微鏡尺寸有關(guān)，若尺寸給定，它們?yōu)槌?shù)；f(θ)是關(guān)于偏轉(zhuǎn)角度θ的函數(shù)，也只與扭轉(zhuǎn)微鏡尺寸有關(guān)：

A=εWMπ

(A2)

(A3)

(A4)

串聯(lián)電容Cf后，聯(lián)立式(6)、(A1)式，得到扭轉(zhuǎn)微鏡驅(qū)動電壓與偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系式：

(A5)

微鏡的驅(qū)動電壓Vc隨偏轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角的變化趨勢的示意圖如圖8所示。

圖8　偏轉(zhuǎn)角度與驅(qū)動電壓關(guān)系曲線示意圖

理論上通過求解dVc/dθ=0可得到圖8中扭轉(zhuǎn)微鏡的吸合角[8]，即為圖8中M點對應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角；直接求解dVc/dθ=0來獲得吸合角的解析表達式非常困難。運用數(shù)學(xué)分析的方法，可以對吸合角隨串聯(lián)電容值的變化的關(guān)系進行較好說明。

若將討論區(qū)間設(shè)定在與吸合角對應(yīng)的坐標點M附近，顯然在某偏轉(zhuǎn)角的位置上有dVc/dθ>0，則說明該偏轉(zhuǎn)角小于吸合角，如圖8中的N點；反之dVc/dθ<0，則說明該偏轉(zhuǎn)角大于吸合角。

將(A1)式兩邊對θ求導(dǎo)令其為0，解得串聯(lián)電容前，微鏡的吸合角為θPI，則有：

(A6)

對(A5)求導(dǎo)得：

(A7)

若將原吸合角θPI代入(A7)式，結(jié)合(A6)式，有：

(A8)

所以：

對(A8)取極限有：

(A9)

表明：Cf趨向于無窮大時，加電容后的吸合角趨向于未加電容時的吸合角θPI。

設(shè)串聯(lián)電容為Cf1時，其吸合角為θCf1，有：

(A10)

若串聯(lián)電容為Cf2(Cf2

(A11)

由(A11)、(A10)兩式相減得：

(A12)

下面判斷(A12)式左邊的正負。

(A13)

(A14)

(A14)式代入(A12)式得：

(A15)

表明：在串聯(lián)電容后的驅(qū)動電壓隨偏轉(zhuǎn)角變化的曲線上，與原吸合角θCf1對應(yīng)的位置的曲線斜率大于0，θCf1小于此時真正的吸合角θCf2，即串聯(lián)電容值減小，吸合角增大。

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