朱愛(ài)玲

一、問(wèn)題的緣起

在學(xué)習(xí)完蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“年、月、日”單元時(shí)，有這樣一道題目：“小明從7月8日開(kāi)始學(xué)習(xí)游泳，到月底一共學(xué)習(xí)了多少天？”全班同學(xué)大致呈現(xiàn)了以下兩種算法：（1）31-8=23（天）（2）31-8+1=24（天），第一種算法的同學(xué)認(rèn)為，求“經(jīng)過(guò)的天數(shù)”就可以用“后一天”去減“前一天”；第二種算法的同學(xué)進(jìn)行了反駁，認(rèn)為“兩頭”（指“8日”和“31日”）都要算，所以要加1。在后來(lái)的爭(zhēng)論中，全班同學(xué)達(dá)成了共識(shí)，同意“兩頭都算”的觀點(diǎn)，但第一種算法的同學(xué)仍然不服氣，提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：“兩頭都算，為什么相減后再加1？”第二種算法的同學(xué)也沒(méi)有說(shuō)出個(gè)所以然，只有幾個(gè)同學(xué)說(shuō)出了這樣的話：“我在奧數(shù)班學(xué)過(guò)，有這樣的公式?！焙髞?lái)，筆者翻閱了三年級(jí)的《小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克起跑線》，結(jié)果還真是如此?？磥?lái)，同學(xué)們對(duì)“31-8+1=24（天）”這個(gè)算式本身沒(méi)有深刻地理解，只是單純地記憶和模仿。之后，針對(duì)此問(wèn)題，在我校數(shù)學(xué)教研組內(nèi)開(kāi)展了研討交流，大部分教師同意第二種算法，認(rèn)為“求經(jīng)過(guò)天數(shù)的計(jì)算，一般都這樣做，這樣考填空題時(shí)學(xué)生就不會(huì)做錯(cuò)”，而對(duì)其他算法的研究從未涉及，更沒(méi)有深入地思考。所以，在后來(lái)的測(cè)試中，很多學(xué)生還是會(huì)忘記“加1”。

二、問(wèn)題的現(xiàn)實(shí)性追問(wèn)

追問(wèn)一，一般都這樣做？

顯而易見(jiàn)，教師對(duì)“經(jīng)過(guò)天數(shù)的計(jì)算”這一抽象的知識(shí)，是根據(jù)自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，潛意識(shí)地把“一般”的模式強(qiáng)加給孩子，認(rèn)為只要學(xué)生循規(guī)蹈矩地照做，考試沒(méi)有太大問(wèn)題。教師此時(shí)關(guān)注的焦點(diǎn)只是問(wèn)題解決的結(jié)果，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維并沒(méi)有關(guān)注。而對(duì)學(xué)生而言，也只是一種“純記憶”層面上的掌握。教師采取強(qiáng)灌式教學(xué)，學(xué)生根本不理解其意義，而且也很難讓他們理解，其根本原因是教師沒(méi)有關(guān)注學(xué)生真實(shí)的思考。

追問(wèn)二，考試不會(huì)做錯(cuò)？

很顯然，教師教的最終目的只是為了使學(xué)生在考試中少出錯(cuò)，讓學(xué)生死死地記住類似“31-8+1=24（天）”這樣的算法，并用它去解決“經(jīng)過(guò)天數(shù)的計(jì)算”的問(wèn)題，從而達(dá)到應(yīng)付考試的目的。但是學(xué)生在后來(lái)的考試中為什么還是會(huì)“老忘記加1”呢？因?yàn)閷W(xué)生是在被動(dòng)地接受，缺乏學(xué)習(xí)過(guò)程的真正體驗(yàn)。看來(lái)，教師忽視了學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累。相反的，如果這一數(shù)學(xué)結(jié)論的建立，是通過(guò)有效數(shù)學(xué)活動(dòng)的引領(lǐng)，讓學(xué)生反復(fù)驗(yàn)證，在理解中提升，那么學(xué)生的記憶也定會(huì)更加深刻。因此教師只有基于學(xué)生的“學(xué)”設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，學(xué)生才會(huì)真正理解知識(shí)形成的過(guò)程，舉一反三，靈活運(yùn)用，從而提升數(shù)學(xué)思維能力，學(xué)校也才能提高教育教學(xué)質(zhì)量。

三、實(shí)踐的理論性思考

作為一線教師，教學(xué)實(shí)踐會(huì)為我們提供很多鮮活真實(shí)的案例，諸如上述問(wèn)題，它會(huì)為我們的教學(xué)研究提供豐厚的土壤。同時(shí)也更加需要我們站在理論的高度剖析案例，這樣才會(huì)促進(jìn)研究更加科學(xué)和深入。因此教學(xué)實(shí)踐的理論性反思就顯得尤為重要。

上面的實(shí)例，讓我們?cè)僖淮嗡伎冀處煹摹敖獭迸c學(xué)生的“學(xué)”之間的關(guān)系。如何處理好兩者的關(guān)系，對(duì)提升教學(xué)質(zhì)量是至關(guān)重要的。但不管選擇何種教學(xué)方式，一定要基于學(xué)生的“學(xué)”來(lái)展開(kāi)，從學(xué)生的“學(xué)”來(lái)設(shè)計(jì)教師的“教”，如果脫離了學(xué)生，“教”也就失去了價(jià)值?！敖獭钡淖罱K目的是為了讓學(xué)生學(xué)“會(huì)”、學(xué)“懂”、學(xué)“用”。

1.“經(jīng)過(guò)天數(shù)的計(jì)算”教學(xué)中，學(xué)生“學(xué)”的問(wèn)題在哪里？

“經(jīng)過(guò)天數(shù)的計(jì)算”是“年、月、日”單元的練習(xí)部分的內(nèi)容，教材以水稻的生長(zhǎng)期為例展開(kāi)教學(xué)，如圖1所示。

本題設(shè)計(jì)的目的一方面是鞏固學(xué)生對(duì)年、月、日單元知識(shí)的掌握；另一方面是讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系。但基于學(xué)生的“學(xué)”，有很大的難度。具體有以下兩個(gè)方面：

（1）知識(shí)本身體系的復(fù)雜?！敖?jīng)過(guò)天數(shù)的計(jì)算”是在學(xué)生已經(jīng)掌握了大月、小月、平年、閏年等知識(shí)之后的一個(gè)綜合運(yùn)用。這些復(fù)雜的知識(shí)并不是單獨(dú)存在的，而是相互聯(lián)系的若干個(gè)知識(shí)點(diǎn)的糅合，形成“經(jīng)過(guò)天數(shù)的計(jì)算”的知識(shí)儲(chǔ)備。反過(guò)來(lái)，只有讓學(xué)生熟練掌握這些知識(shí)，才會(huì)幫助他們形成解決此問(wèn)題的技能。

正因?yàn)椤敖?jīng)過(guò)天數(shù)的計(jì)算”牽扯的知識(shí)點(diǎn)較多，而學(xué)生大腦的存儲(chǔ)容量是有限的，根據(jù)他們已有的認(rèn)知水平，理解與運(yùn)用知識(shí)的能力還略顯薄弱，因此，學(xué)生在實(shí)際運(yùn)用時(shí)會(huì)有一定的難度。

（2）學(xué)生自身思維的定式。針對(duì)低年級(jí)學(xué)生的年齡特征和思維特點(diǎn)，他們?cè)陬^腦中已經(jīng)形成的知識(shí)體系往往是被“固化”的，極容易造成思維的定式，而且在一定的時(shí)期內(nèi)也是很難被改變的。在學(xué)習(xí)本知識(shí)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)有關(guān)“周年”和“經(jīng)過(guò)時(shí)間”的計(jì)算。比如：1949年10月1日-2009年10月1日，經(jīng)過(guò)多少周年？列式為：2009-1949=60；上午8時(shí)-下午1時(shí)，經(jīng)過(guò)了幾小時(shí)？算式為：13-8=5。以上兩種類型的解題方法都是存儲(chǔ)于學(xué)生大腦的深刻記憶，根據(jù)大腦皮層的記憶功能，遇到類似問(wèn)題時(shí)，他們會(huì)條件反射地用“后一個(gè)年份（時(shí)刻）減前一個(gè)年份（時(shí)刻）”，因此，學(xué)生在解決“經(jīng)過(guò)天數(shù)的計(jì)算”問(wèn)題時(shí)，也會(huì)習(xí)慣性地類比遷移，用“后一天去減前一天”來(lái)解決問(wèn)題，從而導(dǎo)致在計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤。

2.如何基于學(xué)生的“學(xué)”，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解？

（1）借助“形象直觀”，順應(yīng)學(xué)生的思維點(diǎn)撥。數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，在新的課程標(biāo)準(zhǔn)中，也更加強(qiáng)調(diào)關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展。小學(xué)階段，學(xué)生的思維大多以“具體形象思維”為主，他們往往會(huì)借助圖形、圖像、圖式和形象性的符號(hào)來(lái)思考，從而使問(wèn)題更具形象性。因此，借助“形象直觀”，可以把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，把抽象的問(wèn)題具體化，讓學(xué)生輕松地獲取知識(shí)。在分析學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題后，借助課堂上的再次實(shí)踐，進(jìn)行有效的思維點(diǎn)撥。

【教學(xué)片段】

師：小明從7月8日開(kāi)始學(xué)習(xí)游泳，到本月底一共學(xué)習(xí)了多少天？你能想出讓同學(xué)們能理解的方法嗎？

生1：可以用手?jǐn)?shù)，8、9、10、11……

生2：這樣太麻煩，可以畫(huà)圖。

師追問(wèn)：畫(huà)什么圖？

生2：畫(huà)線段圖。

師：你為什么會(huì)想到畫(huà)線段圖？

生1：因?yàn)楫?huà)圖比較清楚。

生2：畫(huà)圖很容易把題做出來(lái)

師：你們能畫(huà)一畫(huà)，算一算嗎？試試看。

全班同學(xué)開(kāi)始進(jìn)行獨(dú)立思考，這時(shí)有一位同學(xué)用了這樣的一種表示方法，如圖2所示。

師：你是怎么想到線段圖的？

生：因?yàn)橐郧霸谀睦镆?jiàn)過(guò)，好像是學(xué)習(xí)24時(shí)計(jì)時(shí)法的時(shí)候。

教師這時(shí)順勢(shì)引導(dǎo)孩子想到了“24時(shí)計(jì)時(shí)法”中的“求經(jīng)過(guò)的時(shí)間”，如圖3所示。

生2：我比較喜歡用這種方法

……

很顯然，學(xué)生通過(guò)畫(huà)線段圖，清晰地呈現(xiàn)了知識(shí)的脈絡(luò)，便于理解知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)系。學(xué)生們都認(rèn)為要計(jì)算“經(jīng)過(guò)的天數(shù)”，就可以用“總天數(shù)-不算的天數(shù)=經(jīng)過(guò)的天數(shù)”，算式為：31-7=24（天），很容易理解與運(yùn)用，知識(shí)的掌握也會(huì)更加深刻。

（2）利用“遷移類比”，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。在新的課程標(biāo)準(zhǔn)中，反復(fù)強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的基本思想，其中“模型思想”是比較重要的思想之一。其實(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是在不斷抽象、概括、模式化的過(guò)程中發(fā)展和豐富起來(lái)的。因此，幫助學(xué)生建立“經(jīng)過(guò)天數(shù)的計(jì)算”的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題必要的抽象，才會(huì)使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加深入，才算是一種真正意義上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。因此我又設(shè)計(jì)了以下兩個(gè)層次的教學(xué)：

第一層次——巧用遷移，“磨”深數(shù)學(xué)問(wèn)題。遷移在心理學(xué)上也稱學(xué)習(xí)遷移或訓(xùn)練遷移，是指一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響。學(xué)生對(duì)求類似“從7月8日開(kāi)始學(xué)習(xí)游泳，到本月底一共學(xué)習(xí)了多少天？”的問(wèn)題已經(jīng)積累了一定的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，因此，可以利用學(xué)習(xí)遷移，加大數(shù)學(xué)問(wèn)題的難度。于是，筆者在原有題目的基礎(chǔ)上進(jìn)行改造：“7月8日開(kāi)始學(xué)習(xí)游泳，到8月12日一共學(xué)習(xí)了多少天？”學(xué)生在充分理解的基礎(chǔ)上，得出以下方法：先算從7月8日到本月底要經(jīng)過(guò)多少天？31-7=24（天），再算從8月1日到8月12日要經(jīng)過(guò)12天，最后把24天和12天加起來(lái)等于36天?？磥?lái)只要學(xué)生理解了問(wèn)題的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，即使問(wèn)題變得更難，遇到同類問(wèn)題時(shí)會(huì)融會(huì)貫通，舉一反三。

第二層次——活用類比，“?！被瘮?shù)學(xué)模型。對(duì)于上述問(wèn)題，如果我們的教學(xué)止步于此，看似學(xué)生學(xué)會(huì)了，其實(shí)學(xué)得不夠徹底，不夠深入。數(shù)學(xué)教學(xué)就是要引導(dǎo)幫助學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，也就是讓學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，這種教學(xué)才是深遠(yuǎn)而又有價(jià)值的。

因此，在學(xué)生掌握了具體求“經(jīng)過(guò)天數(shù)的計(jì)算”的方法后，筆者又把問(wèn)題進(jìn)行及時(shí)的梳理與總結(jié)，利用類比思維幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生在概括中提升，在“建?！敝袃?nèi)化。

學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考、小組交流后，有以下發(fā)現(xiàn)：

（1）“經(jīng)過(guò)天數(shù)的計(jì)算”如果計(jì)算范圍是在同一個(gè)月的，可以用“總天數(shù)-不算的天數(shù)=經(jīng)過(guò)的天數(shù)”；如果計(jì)算范圍不是在一個(gè)月的，也可以先算到本月月底要經(jīng)過(guò)多少天，再接著算出后面的天數(shù)。

（2）有的小組用了這樣一個(gè)式子來(lái)表示：b-a-1，并且還在a-1的下面用“ ”標(biāo)記，說(shuō)明先算……

（3）關(guān)于這類問(wèn)題的運(yùn)用，大部分學(xué)生想到了考試、學(xué)籍、比賽中的“排序號(hào)”問(wèn)題，比如：15到30；這個(gè)考場(chǎng)一共有多少名考生；三（6）班學(xué)籍號(hào)是從25到66，這個(gè)班有多少人；等等

通過(guò)以上發(fā)現(xiàn)，我們不難看出，教師抓住了知識(shí)間的聯(lián)系，讓學(xué)生充分展開(kāi)探索的過(guò)程，而并非直接的講解和告訴，主要訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括、舉一反三的學(xué)習(xí)能力，再借助“直觀線段圖”的形象支撐，建立起求“經(jīng)過(guò)天數(shù)的計(jì)算”的模型。這種模型的建立既加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，又幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象以及運(yùn)用抽象模型的能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

總之，在教學(xué)中我們要基于學(xué)生的“學(xué)”，關(guān)注學(xué)生“學(xué)”中的問(wèn)題，來(lái)合理選擇教師的“教”，讓“教”與“學(xué)”互動(dòng)交融，締造出和諧有效的數(shù)學(xué)課堂。

（作者單位：江蘇省徐州市銅山區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

（責(zé)任編輯：陳淑燕）