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        光闌約束超幾何激光束的傳輸特性

        2014-03-20 08:50:58陳憲鋒蔣美萍
        激光與紅外 2014年10期
        關(guān)鍵詞:激光束圓孔光束

        段 旭,唐 斌,周 昕,陳憲鋒,蔣美萍,王 帥

        (1.常州大學(xué)數(shù)理學(xué)院,江蘇 常州213164;2.湖南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,湖南株洲412008)

        其中,a為圓孔光闌半徑。式(5)可改寫為:

        1 引言

        近年來(lái),隨著激光應(yīng)用領(lǐng)域的不斷發(fā)展,科學(xué)家對(duì)新型激光束理論和實(shí)驗(yàn)的研究產(chǎn)生了濃厚的興趣。其中,中心強(qiáng)度為零的暗中空光束由于在原子光學(xué)、量子光學(xué)、二元光學(xué)、微觀粒子的操控等方面的廣泛應(yīng)用越來(lái)越受到人們的關(guān)注。在實(shí)驗(yàn)上,有多種方法可以用來(lái)產(chǎn)生空心光束,如橫模選擇法、光學(xué)全息法、空心光纖法等[1-3]。在理論上,人們提出了多種模型來(lái)描述空心光束,典型的有TEM*01光束、貝賽爾-高斯光束和空心高斯光束[4-6]。最近,Kotlyar提出了合流超幾何模式的激光束[7],該光束復(fù)振幅分布正比于合流超幾何函數(shù),其橫截面光強(qiáng)分布與貝賽爾光束類似,是一系列明暗交替的同心圓環(huán)等,隨后,Chen等在實(shí)驗(yàn)室提出了一種產(chǎn)生超幾何激光束的新方法,并研究了其在自由空間近軸光學(xué)系統(tǒng)中的傳播規(guī)律[8]。

        在實(shí)際的光學(xué)系統(tǒng)中,光束的傳輸總是要受到光闌的限制或約束作用,因此對(duì)有光闌約束條件下的光束傳輸研究是非常有意義的。據(jù)我們所知,目前人們已研究了多種光束通過(guò)不同光學(xué)系統(tǒng)的傳輸規(guī)律[9-10],但對(duì)超幾何激光束通過(guò)有光闌約束條件下的傳輸特性,尚未發(fā)現(xiàn)有人研究。基于此,本文對(duì)合流超幾何高斯光束通過(guò)具有圓孔形狀的硬邊光闌的傳輸特性進(jìn)行分析,通過(guò)把圓孔硬邊光闌函數(shù)展開為復(fù)高斯函數(shù)的方法,推導(dǎo)出了超幾何激光束通過(guò)圓孔光闌的近似解析傳輸公式,并通過(guò)數(shù)值計(jì)算模擬研究該光束的傳輸特性。

        2 超幾何激光束在有光闌約束的ABCD光學(xué)系統(tǒng)中的傳播

        在柱坐標(biāo)下,超幾何激光束在入射面(z=0)的場(chǎng)分布為[7]:

        式中,r,()表示柱坐標(biāo)系統(tǒng);E0是一個(gè)常量;σ代表高斯光束束腰寬度;m是光束參數(shù)(可以取任意實(shí)數(shù));n是光學(xué)拓?fù)浜?取整數(shù));ω和γ均為實(shí)參數(shù)。超幾何激光束通過(guò)近軸有光闌限制ABCD光學(xué)系統(tǒng)的傳播可以用廣義惠更斯-菲涅耳衍射積分的形式表示為:

        式(2)中,k是波數(shù),A、B、C和D是近軸光學(xué)系統(tǒng)的傳輸矩陣元。將式(1)代入式(2),并利用積分公式[11]:

        可以得到:

        式(3)~式(5)中的J(·)為第一類貝賽爾函數(shù)。引入圓孔硬邊光闌函數(shù):

        其中,a為圓孔光闌半徑。式(5)可改寫為:

        考慮到硬邊圓孔光闌函數(shù)可拓展為一組復(fù)高斯函數(shù)之和[12]:

        式中,Ah和Bh分別為拓展的復(fù)高斯系數(shù)。這些系數(shù)可以從計(jì)算機(jī)優(yōu)化得到。需要指出的是展開項(xiàng)數(shù)N越大,擬合精度越高。

        將式(8)代入式(7),并利用積分公式[11]:

        式中,1F1(a,b,x)是合流超幾何函數(shù)或者Kummer函數(shù);Γ(x)是伽馬函數(shù)。

        式(10)即為我們最終得到的超幾何激光束通過(guò)有圓孔光闌約束條件下的近似解析傳輸公式,其強(qiáng)度分布可以根據(jù)公式 I=來(lái)計(jì)算。

        3 數(shù)值計(jì)算和分析

        由矩陣光學(xué)可知,當(dāng)光束在自由空間傳播時(shí),其傳輸矩陣可表示為:,z為傳輸距離,在MATLAB環(huán)境下,我們利用解析公式(10),對(duì)超幾何激光束通過(guò)有光闌約束條件下的傳輸特性進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算和分析,式(10)中的復(fù)高斯系數(shù)Ah和Bh取自文獻(xiàn)[12]中的表1,這里N取值為10項(xiàng)。

        3.1 光闌孔徑對(duì)光強(qiáng)分布的影響

        圖1計(jì)算了圓孔光闌半徑a不斷變化的條件下超幾何激光束的衍射情況,相關(guān)計(jì)算參數(shù)取值為:z=1000 mm,n=3,m= -1,γ =3,ω =150 mm。為比較近似解析方法和直接數(shù)值積分方法的效率,我們給出了兩種計(jì)算方法的結(jié)果,虛線為近似解析方法得到的結(jié)果,實(shí)線為直接數(shù)值積分所得到的結(jié)果,除了一些微小差別外,兩者結(jié)果吻合較好。顯然,采用近似解析方法可以大大提高計(jì)算效率。此外,從圖1不難看出,衍射光強(qiáng)主要集中在主極大附近,光闌半徑越小,光強(qiáng)分布范圍越寬,即衍射效應(yīng)越強(qiáng)。當(dāng)a→∞ 時(shí),光闌效應(yīng)消失,此時(shí),光強(qiáng)分布形狀和無(wú)光闌情況一樣,這與文獻(xiàn)[8]結(jié)果基本一致。

        圖1 超幾何激光束通過(guò)不同光闌的衍射強(qiáng)度變化Fig.1 The intensity distribution of hypergeometric beams through different apertures

        3.2 不同傳輸距離對(duì)光強(qiáng)分布的影響

        基于圖1中的數(shù)值積分計(jì)算和近似解析公式給出的結(jié)果,接下來(lái),我們采用近似解析方法來(lái)研究超幾何激光束在不同傳輸距離條件下的傳輸規(guī)律。圖2描述了傳輸距離對(duì)該光束光強(qiáng)分布特性的影響,考慮到不同光闌的約束作用。圖2(a)~(d)同時(shí)給出了不同光闌半徑情況的光強(qiáng)分布,其中點(diǎn)劃線表示光闌半徑為0.2 mm,虛線和實(shí)線分別表示光闌半徑為0.5 mm、1.2 mm。其他參數(shù)取值與圖1完全相同。從圖2不難發(fā)現(xiàn),隨著距離的增加,光斑尺寸越來(lái)越大,衍射旁瓣減少,主極大和次級(jí)衍射條紋光強(qiáng)逐漸變小。

        圖2 光強(qiáng)分布隨傳輸距離的變化Fig.2 The intensity distribution of hypergeometric beams at the different propagation distances

        3.3 不同光束參數(shù)對(duì)超幾何激光束的光強(qiáng)分布影響

        圖3 描繪了不同光束參數(shù)(m,n)對(duì)超幾何激光束通過(guò)圓孔光闌的光強(qiáng)分布影響。在圖3(a)中,光束參數(shù)m取為定值-1,光學(xué)的拓?fù)潆姾蓴?shù)n不斷改變,其中實(shí)線為 n=3,虛線為 n=2,點(diǎn)線為n=1。從中可以看出,在m固定,n不斷減小的時(shí)候,衍射光的主極大強(qiáng)度會(huì)隨著n的減小而減小。同時(shí),各個(gè)極大值的位置會(huì)逐漸偏離光闌中心位置,極大值的數(shù)目不會(huì)發(fā)生改變。在圖3(b)中,光學(xué)的拓?fù)潆姾蓴?shù)n取為定值3,光束參數(shù)m不斷改變,其中實(shí)線為m=-1,虛線為m=-1.1,點(diǎn)線為m=-1.2。從中可以看出,在n為定值得時(shí)候,隨著m不斷減小,衍射光束的強(qiáng)度逐漸減小,但是其極大值的位置基本保持不變。

        圖3 不同光束參數(shù)對(duì)超幾何激光束的光強(qiáng)分布影響計(jì)算參數(shù)選取為:z=1000 mm,a=1 mm,γ=3,ω=150 mm Fig.3 Effect of the different optical parameters on the intensity distribution of hypergeometric beams.The computation parameters are chosen as follows:z=1000 mm,a=1 mm,γ =3,ω =150 mm

        4 結(jié)論

        采用將圓孔光闌展開為有限個(gè)復(fù)高斯函數(shù)疊加的方法,以及使用廣義惠更斯-菲涅耳衍射積分公式,推導(dǎo)出了超幾何激光束通過(guò)圓形孔硬邊光闌約束的ABCD光學(xué)系統(tǒng)光強(qiáng)分布的近似解析解,并對(duì)其傳輸特性進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算和分析。并比較了兩種方法得出的結(jié)果,發(fā)現(xiàn)結(jié)果極其相似。從而研究結(jié)果表明,超幾何激光束的光強(qiáng)分布以及衍射效應(yīng)與光闌的孔徑大小、傳輸?shù)木嚯x以及光束參數(shù)等因素密切相關(guān)。事實(shí)上,采用本文的研究方法,可以進(jìn)一步推廣到其他光束在其他不同光闌(如環(huán)孔、光屏等)約束條件下的傳輸,并分析和說(shuō)明光束通過(guò)復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)的衍射特性,這在實(shí)際應(yīng)用中有一定的意義。

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