傅 毅,張寄洲,仇亞尊

(1.上海師范大學(xué) 商學(xué)院, 上海 200234; 2.上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 上海 200234)

0 引 言

隨著債券市場(chǎng)的發(fā)展,債券市場(chǎng)上出現(xiàn)了多種債券衍生產(chǎn)品,如可轉(zhuǎn)換債券等.可轉(zhuǎn)換債券是20世紀(jì)7,80年代興起的一種混合金融產(chǎn)品,目前,已成為中國(guó)證券市場(chǎng)研究的熱點(diǎn)之一.可轉(zhuǎn)換債券是指持有者可以在一定時(shí)期內(nèi)按一定比例或價(jià)格轉(zhuǎn)換成一定數(shù)量的另一種證券的債券,通常轉(zhuǎn)換為發(fā)行公司的普通股票,一般具有較低的票面利率.從本質(zhì)上講是在發(fā)行公司債券的基礎(chǔ)上,附加了一份期權(quán),并允許購(gòu)買(mǎi)人在規(guī)定的時(shí)間范圍內(nèi)將其購(gòu)買(mǎi)的債券轉(zhuǎn)換成指定公司的股票.可轉(zhuǎn)債具有債權(quán)和期權(quán)的雙重特征,并具有如下性質(zhì): (1) 債權(quán)性: 與其他債券一樣,可轉(zhuǎn)債也有利率和期限,投資者持有到期可以收取本息.(2) 股權(quán)性: 可轉(zhuǎn)債轉(zhuǎn)換成股票后,原債券持有人變?yōu)楣镜墓蓶|,可參與公司的經(jīng)營(yíng)與紅利分配.(3) 可轉(zhuǎn)換性: 債券持有人可以按約定的條件將債券轉(zhuǎn)換成公司股票,如果債券持有人不想轉(zhuǎn)換,則可以繼續(xù)持有直到期滿(mǎn)收取本息,或者在流通市場(chǎng)出售變現(xiàn).如果持有人看好發(fā)債公司股票的增值潛力,則可按約定的條件轉(zhuǎn)換成股票,發(fā)債公司不得拒絕.

近年來(lái),許多學(xué)者主要從以下幾個(gè)方面研究了可轉(zhuǎn)債的定價(jià)等相關(guān)問(wèn)題.

隨著B(niǎo)lack-Scholes-Merton期權(quán)定價(jià)的模型的建立,一些學(xué)者在期權(quán)定價(jià)模型的基礎(chǔ)上對(duì)可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價(jià).Ingersoll(1977)[1]、Brennan和Schwartz(1977)[2]最早對(duì)可轉(zhuǎn)債的定價(jià)問(wèn)題進(jìn)行了理論研究,他們通過(guò)對(duì)公司的市值所滿(mǎn)足的隨機(jī)過(guò)程來(lái)研究可轉(zhuǎn)債的定價(jià).不同于前面兩篇文章,Brennan和Schwartz(1980)[3]將利率的波動(dòng)性考慮進(jìn)了可轉(zhuǎn)債的定價(jià)中,并利用數(shù)值計(jì)算得出了可轉(zhuǎn)債的定價(jià).Barone(2003)[4]等人又在以上模型的基礎(chǔ)上建立了關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)和利率的雙因素模型.Toshikazu(2006)[5]等從另一個(gè)角度對(duì)可轉(zhuǎn)債進(jìn)行了定價(jià),將可轉(zhuǎn)債分解成兩部分,一部分是純債券價(jià)值,另一部分是轉(zhuǎn)換的期權(quán)價(jià)值,把未來(lái)的債券利息和本金的現(xiàn)值以及認(rèn)股權(quán)證的現(xiàn)值相加得到可轉(zhuǎn)債的理論價(jià)值,并用Monte Carlo方法給出了帶有重置條款的可轉(zhuǎn)債的定價(jià).

由于發(fā)行公司存在信用風(fēng)險(xiǎn),所以把信用風(fēng)險(xiǎn)考慮進(jìn)債券的定價(jià)中更貼近于現(xiàn)實(shí).目前,研究信用風(fēng)險(xiǎn)主要有兩種方法：結(jié)構(gòu)化方法和約化方法.結(jié)構(gòu)化方法是把債券看成關(guān)于公司資產(chǎn)的看跌期權(quán),但通常公司的資產(chǎn)情況并不能準(zhǔn)確得到.而約化方法則是把公司的破產(chǎn)事件看成是一個(gè)外在的泊松過(guò)程,用第一次發(fā)生跳的時(shí)間作為公司的破產(chǎn)時(shí)間,其中泊松過(guò)程的強(qiáng)度可以從市場(chǎng)相關(guān)的數(shù)據(jù)推得.Kostas(1998)[6]等對(duì)帶有信用風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)債進(jìn)行了定價(jià).Ayache(2003)[7]等利用對(duì)沖的思想通過(guò)構(gòu)造投資組合對(duì)帶有信用風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)債進(jìn)行了定價(jià).Wang(2010)[8]等人對(duì)帶有信用風(fēng)險(xiǎn)的永久可轉(zhuǎn)債進(jìn)行了定價(jià).

為了吸引投資者,發(fā)行公司在發(fā)行可轉(zhuǎn)債時(shí)往往設(shè)計(jì)一些附加條款.Kyoko(2010)[9]等分析了帶有可贖回和可回售條款的可轉(zhuǎn)債的定價(jià),探索了贖回和回售的實(shí)施邊界,并研究了可贖回和回售條款對(duì)可轉(zhuǎn)債的價(jià)值和最優(yōu)策略的影響,Fahuai(2011)[10]等對(duì)可轉(zhuǎn)債定價(jià)的自由邊界問(wèn)題進(jìn)行了研究,證明了變分不等式的解的存在性和唯一性,并且得到了自由邊界的單調(diào)性、有界性和光滑性等性質(zhì).Toshikazu(2006)[5]等研究了帶有重置條款的可轉(zhuǎn)債定價(jià).熊思燦(2010)[11]等給出了附有巴黎期權(quán)特性的重置條款的可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型,并采用有限差分方法求解模型.

另外,由于發(fā)行債券的公司都存在潛在的違約風(fēng)險(xiǎn),而公司的信用等級(jí)對(duì)可轉(zhuǎn)債的價(jià)格有著重要的影響,所以發(fā)行公司往往通過(guò)信用增級(jí)的方式來(lái)提高可轉(zhuǎn)債的價(jià)格,其中信用增級(jí)方式中第三方擔(dān)保得到了廣泛的應(yīng)用.任學(xué)敏(2009)[12]等用約化方法對(duì)有第三方擔(dān)保的企業(yè)債券進(jìn)行了定價(jià),得到了在擔(dān)保的情形下企業(yè)債券滿(mǎn)足的微分方程.劉易(2013)[13]等人在結(jié)構(gòu)化模型的框架下,考慮了擔(dān)保公司和被擔(dān)保公司之間的相關(guān)性,得到了具有相關(guān)性的第三方擔(dān)保的公司債券所滿(mǎn)足的偏微分方程.

如上所述,考慮帶有擔(dān)保的可轉(zhuǎn)債的定價(jià)問(wèn)題具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.本文作者在約化模型的框架下對(duì)可轉(zhuǎn)債進(jìn)行了定價(jià),并考慮了可轉(zhuǎn)債的擔(dān)保方可能違約的情況,運(yùn)用偏微分方程的方法得到了有擔(dān)保的可轉(zhuǎn)債的定價(jià)公式.文章的第一部分對(duì)模型做了一些假設(shè)，第二部分利用對(duì)沖技巧分別就擔(dān)保公司是否違約兩種情況建立了可轉(zhuǎn)債的數(shù)學(xué)定價(jià)模型，并在文章的第三部分對(duì)模型求解,最終得到可轉(zhuǎn)債的顯式解，第四部分對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行了分析.

1 基本假設(shè)

假設(shè)1A公司發(fā)行了零息票可轉(zhuǎn)換債券,到期日為T(mén),公司B為其作擔(dān)保.

假設(shè)2若發(fā)行公司A破產(chǎn),其可轉(zhuǎn)債投資人的損失將由擔(dān)保公司B承擔(dān).但如果擔(dān)保公司先于發(fā)行公司破產(chǎn),則擔(dān)保失效.

假設(shè)3發(fā)行公司和擔(dān)保公司的破產(chǎn)是由不可預(yù)料事件引發(fā)的,違約強(qiáng)度分別為λ1,λ2,違約時(shí)間分別記為τ1,τ2.

假設(shè)4用Poisson過(guò)程的第一次跳來(lái)刻畫(huà)違約,Poisson過(guò)程在時(shí)間段[s,t]發(fā)生k次跳的概率為:

設(shè)τ為第一次跳的時(shí)刻,則公司在[0,T]時(shí)間段內(nèi)的違約概率為:

P(τ≤T)=1-P(τ>T)=1-e-λT.

假設(shè)5發(fā)行公司與擔(dān)保公司違約發(fā)生是相互獨(dú)立的.

假設(shè)6發(fā)行公司的股票價(jià)格S(t)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng):

dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dW(t) .

其中μ為期望回報(bào)率;σ為波動(dòng)率,且都為常數(shù);W(t)為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng).

假設(shè)7發(fā)行公司違約后,其股價(jià)變化滿(mǎn)足:

S+=S-(1-η) .

其中η為常數(shù),表示發(fā)行公司違約后,其股價(jià)下降的幅度,這里的違約表示廣義的違約,即發(fā)行可轉(zhuǎn)債的公司可能由于流動(dòng)性等原因造成不能按時(shí)支付息票所導(dǎo)致的違約.

假設(shè)8不考慮可轉(zhuǎn)債的可贖回和可回售條款.

假設(shè)9假設(shè)持有人的轉(zhuǎn)換權(quán)只發(fā)生在到期日或違約日,轉(zhuǎn)換權(quán)行使時(shí)一份可轉(zhuǎn)債可轉(zhuǎn)換為k份股票.可轉(zhuǎn)債的連續(xù)票息率為q.

2 模型建立

利用Δ-對(duì)沖技巧,建立可轉(zhuǎn)債定價(jià)的數(shù)學(xué)模型.首先,構(gòu)造投資組合：

Πt=Vt-ΔSt,

其中V是發(fā)行公司的可轉(zhuǎn)債的價(jià)值;S是發(fā)行公司的股票價(jià)格.

在沒(méi)有違約的情況下,在[t,t+dt]時(shí)間段內(nèi),投資組合的變化為：

為了對(duì)[t,t+dt]時(shí)間段內(nèi)的可轉(zhuǎn)債有無(wú)擔(dān)保進(jìn)行刻畫(huà),將可能發(fā)生的情況分為以下兩類(lèi):

情況一:有擔(dān)保時(shí)可轉(zhuǎn)債的定價(jià)模型

考慮違約的情況下,在[t,t+dt]時(shí)間段內(nèi),發(fā)行公司發(fā)生違約的概率為λ1dt.假設(shè)違約后,發(fā)行公司的股價(jià)滿(mǎn)足假設(shè)7.若發(fā)行公司先于擔(dān)保公司違約,則可轉(zhuǎn)債持有人有兩種選擇:

(1) 按可轉(zhuǎn)債面值F回收,回收率為R(0≤R≤1),其余部分由擔(dān)保公司承擔(dān),債券持有人共獲得RF+(1-R)F即F.

(2) 執(zhí)行轉(zhuǎn)換權(quán),轉(zhuǎn)股得到的股票價(jià)值為kS(1-η1).

其中,η1為發(fā)行公司違約后,其股價(jià)下降的幅度.

這時(shí)投資組合Π的價(jià)值變化為:

(1)

由無(wú)套利原理得:

dΠ=rΠdt.

(2)

整理得:

這樣得到了有擔(dān)保情況下可轉(zhuǎn)債滿(mǎn)足的偏微分方程:

(3)

情況二:擔(dān)保失效時(shí)可轉(zhuǎn)債的定價(jià)模型

在[t,t+dt]時(shí)間段內(nèi),發(fā)行公司發(fā)生違約的概率為λ1dt.擔(dān)保公司發(fā)生違約的概率為λ2dt.若擔(dān)保公司先于發(fā)行公司違約,則發(fā)行公司違約后,可轉(zhuǎn)債持有人有兩種選擇權(quán):

(1) 可轉(zhuǎn)債按面值回收,面值為F,回收率為R,持有人此時(shí)得到RF.

(2) 執(zhí)行轉(zhuǎn)換權(quán),轉(zhuǎn)股后得到的股票價(jià)值為kS(1-η2)(η2>η1).

其中,η2為發(fā)行公司違約后,其股價(jià)下降的幅度.

這時(shí)投資組合Π的價(jià)值變化為:

由無(wú)套利原理得:

這樣得到了擔(dān)保失效情況下可轉(zhuǎn)債滿(mǎn)足的偏微分方程:

(4)

以上兩種情況分析并得出了可轉(zhuǎn)債分別在有無(wú)擔(dān)保時(shí)滿(mǎn)足的定價(jià)方程,本研究中的定價(jià)思路是對(duì)每個(gè)可能的擔(dān)保公司的違約時(shí)刻τ2,確定相應(yīng)的發(fā)行公司的可轉(zhuǎn)債的價(jià)格.

(1) 若0<τ2≤T,顯然當(dāng)τ1∈[τ2,T]時(shí),發(fā)行公司失去了擔(dān)保,其可轉(zhuǎn)債的定價(jià)方程為(4).當(dāng)τ1∈[0,τ2]時(shí),由于擔(dān)保公司未破產(chǎn),則發(fā)行公司的可轉(zhuǎn)債扔有擔(dān)保,此時(shí)其定價(jià)方程為(3).

(2) 若τ2>T時(shí),則在時(shí)間段[0,T]內(nèi)擔(dān)保公司不破產(chǎn),發(fā)行公司的可轉(zhuǎn)債有擔(dān)保,此時(shí)的定價(jià)方程為式(3).

下面計(jì)算各種情況的概率:

① 若0<τ2≤T且τ1∈[0,τ2],此時(shí)可轉(zhuǎn)債有擔(dān)保,則其發(fā)生的概率為:

(5)

② 若0<τ2≤T且τ1∈[τ2,T],此時(shí)可轉(zhuǎn)債無(wú)擔(dān)保,則其發(fā)生的概率為:

(6)

③ 若τ2>T,此時(shí)可轉(zhuǎn)債有擔(dān)保,其發(fā)生的概率為:

P3=P(τ2>T)=e-λ2T.

(7)

3 模型的求解

在這一節(jié)中,將分別求解出偏微分方程(3)和(4).首先,解方程(3).

作變換x=lnS,τ=T-t,定解問(wèn)題(3)轉(zhuǎn)化為常系數(shù)拋物型的Cauchy問(wèn)題:

作函數(shù)變換:V=Ueατ+βx,通過(guò)選取適當(dāng)?shù)摩?β,使上式轉(zhuǎn)化為非齊次熱傳導(dǎo)方程:

(8)

其中

為求解式(8)首先求解以下齊次熱傳導(dǎo)方程的柯西問(wèn)題:

(9)

柯西問(wèn)題(9)的解為:

(10)

然后,再求非齊次熱傳導(dǎo)方程具有齊次初始條件的柯西問(wèn)題:

(11)

得到柯西問(wèn)題(11)的解為:

(12)

最后由疊加原理,由(10)及(12)就得到柯西問(wèn)題(8)的解為:

整理得:

其中,

(13)

變換回到原變量V(S,t),得到有擔(dān)保的情形下可轉(zhuǎn)債的價(jià)值V1(S,t)為:

其中,

(14)

同理可解方程(4):

其中,d1,d2同上式(13)

變換回到原變量V(S,t),得到無(wú)擔(dān)保的情形下可轉(zhuǎn)債的價(jià)值V2(S,t):

最后得到了可轉(zhuǎn)債的價(jià)值V(S,t)為:

V(S,t)=(P1+P3)V1(S,t)+P2V2(S,t).

4 數(shù)值分析

本文的前一部分中,作者運(yùn)用偏微分方程的方法得到了考慮擔(dān)保方信用風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)債的顯式解,接下來(lái)分析模型中一些參數(shù)對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響.

圖1為不同時(shí)刻與股價(jià)所對(duì)應(yīng)的可轉(zhuǎn)債的價(jià)值。

圖1 可轉(zhuǎn)債的價(jià)值V與時(shí)間t股票價(jià)格S的關(guān)系圖

圖2為發(fā)行公司的違約強(qiáng)度λ1對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響.由圖2可看出,隨著發(fā)行公司的違約強(qiáng)度λ1的增大可轉(zhuǎn)債的價(jià)值變小.這是因?yàn)楫?dāng)發(fā)行公司的違約強(qiáng)度變大時(shí),公司的破產(chǎn)概率變大,從而增加了可轉(zhuǎn)債持有者的可能損失,所以隨著發(fā)行公司的違約強(qiáng)度λ1的增大可轉(zhuǎn)債的價(jià)值變小.

圖3和圖4為擔(dān)保公司的違約強(qiáng)度λ2對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響.由圖3可以看出當(dāng)發(fā)行公司的違約強(qiáng)度λ1=0.05時(shí),擔(dān)保公司的違約強(qiáng)度λ2越大可轉(zhuǎn)債的價(jià)值越小,成反向關(guān)系.同時(shí)也可以看出擔(dān)保公司的違約強(qiáng)度λ2的變化對(duì)可轉(zhuǎn)債的價(jià)值影響較小.這是因?yàn)樵诎l(fā)行公司違約概率較小的情況下,擔(dān)保公司的違約強(qiáng)度的變化對(duì)可轉(zhuǎn)債的影響較小.而由圖4可以看出當(dāng)發(fā)行公司的違約強(qiáng)度λ1=0.3時(shí),擔(dān)保公司的違約強(qiáng)度λ2越大可轉(zhuǎn)債的價(jià)值越小,成反向關(guān)系,且擔(dān)保公司的違約強(qiáng)度λ2的變化對(duì)可轉(zhuǎn)債的價(jià)值影響較大,即當(dāng)發(fā)行公司的違約強(qiáng)度較大時(shí)擔(dān)保公司對(duì)可轉(zhuǎn)債的價(jià)值起的作用會(huì)變大.

圖5為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響.由圖5可以看出,隨著無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r的增大可轉(zhuǎn)債的價(jià)值變小.當(dāng)股票價(jià)格遠(yuǎn)高于轉(zhuǎn)股價(jià)格時(shí),可轉(zhuǎn)換公司債券受市場(chǎng)利率影響較小,若價(jià)格較低時(shí),可轉(zhuǎn)換公司債券對(duì)市場(chǎng)利率變動(dòng)非常敏感,且成反向關(guān)系.

圖2 發(fā)行公司的違約強(qiáng)度λ1對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響

圖4 λ1=0.3時(shí)擔(dān)保公司的違約強(qiáng)度λ2對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響

圖3 λ1=0.05時(shí)擔(dān)保公司的違約強(qiáng)度λ2對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響

圖5 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響

圖6為股票的波動(dòng)率σ對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響.由圖6可以看出,隨著波動(dòng)率σ的增大可轉(zhuǎn)債的價(jià)值變大.這是因?yàn)楣善钡牟▌?dòng)率越大,可轉(zhuǎn)債的投資者獲得收益的可能性就越大,所以可轉(zhuǎn)債的價(jià)值就越大.

圖6 波動(dòng)率σ對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響

圖7 發(fā)行公司破產(chǎn)后不同的回收率R對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響

圖7為發(fā)行公司破產(chǎn)后不同的回收率R對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響.由圖7可以看出發(fā)行公司破產(chǎn)后的回收率越高可轉(zhuǎn)債的價(jià)值越大.同時(shí)也可以看出發(fā)行公司破產(chǎn)后的回收率對(duì)可轉(zhuǎn)債的價(jià)值影響是比較小的.這是因?yàn)樵诎l(fā)行公司違約概率較小的情況下,回收率的變化對(duì)可轉(zhuǎn)債的影響較小.

圖8為可轉(zhuǎn)債不同的票面利率q對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響.由圖8可以看出在其他條件相同的條件下,票面利率與可轉(zhuǎn)債價(jià)值成正向關(guān)系,可轉(zhuǎn)債的票面利率越高可轉(zhuǎn)債的價(jià)值越大,反之亦然.

圖9為可轉(zhuǎn)債不同的轉(zhuǎn)股率k對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響.由圖9可以看出在其他條件相同的條件下,轉(zhuǎn)股率越高,轉(zhuǎn)股價(jià)越低,股票買(mǎi)權(quán)執(zhí)行價(jià)格就越低股票買(mǎi)權(quán)的價(jià)值就越高,可轉(zhuǎn)債的價(jià)值就越高.

圖8 票面利率q對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響

圖9 轉(zhuǎn)股率k對(duì)可轉(zhuǎn)債價(jià)值的影響

5 結(jié) 論

本研究是在AFV模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn),研究分析了有擔(dān)保的可轉(zhuǎn)債的定價(jià),并考慮了擔(dān)保公司是否違約,針對(duì)不同情形建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,最終得到了擔(dān)保公司可能違約的情況下可轉(zhuǎn)債的定價(jià)公式的顯式解,并分析了擔(dān)保公司在破產(chǎn)和不破產(chǎn)兩種不同情形下對(duì)發(fā)行公司的可轉(zhuǎn)債價(jià)格的影響.

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