趙 珍, 吳黎軍

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 新疆 烏魯木齊 830046)

信度保費(fèi)定價(jià)是保險(xiǎn)公司對(duì)保費(fèi)的一個(gè)合理定價(jià)過(guò)程，依賴于保單組合的過(guò)去索賠經(jīng)歷.最經(jīng)典的信度理論是Buhlmann[1]信度理論，他建立了任意分布下的信度理論.同時(shí)，在保險(xiǎn)精算中，許多信度理論都建立在指數(shù)分布族框架上，詳細(xì)內(nèi)容可參考文獻(xiàn)[2-4].但是在這些信度理論中得到的保費(fèi)沒(méi)有正的安全負(fù)荷性，是純保費(fèi)，所以保險(xiǎn)公司為了避免破產(chǎn)，必須引入恰當(dāng)?shù)谋ＹM(fèi)原理來(lái)解決這一問(wèn)題，也就是將經(jīng)典信度模型中的平方損失函數(shù)修改為其他損失函數(shù)，文獻(xiàn)[5]給出了分位數(shù)損失函數(shù)、冪加權(quán)損失函數(shù)等許多損失函數(shù)下的保費(fèi)原理.文獻(xiàn)[6]指出了指數(shù)損失函數(shù)下對(duì)應(yīng)的指數(shù)保費(fèi)原理的信度估計(jì).

但是，在廣義線性模型中，對(duì)多水平費(fèi)率的厘定同樣是信度理論定價(jià)的一個(gè)重要內(nèi)容,也是非壽險(xiǎn)精算中最普遍用的技術(shù),即在給定水平下的保費(fèi)可以用當(dāng)前水平下的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)[7].Nelder和Verrall[8]首次把信度理論擴(kuò)展到廣義線性模型框架下，他們證明了對(duì)于多水平因子的費(fèi)率厘定具有相似的Buhlmann估計(jì).與此同時(shí)，Nelder和Verrall還推導(dǎo)出了在具有普通費(fèi)率因子時(shí)，單個(gè)多水平費(fèi)率因子也能得到相似的信度估計(jì).自20世紀(jì)90年代后期以來(lái)，關(guān)于多水平費(fèi)率因子的信度估計(jì)受到了越來(lái)越多的精算學(xué)者的關(guān)注. Kass[9]等推廣了除多水平外還有普通費(fèi)率因子的情況,得到了加權(quán)觀測(cè)值下的精確信度模型.Ohlsson 和Johansson[10]討論了基于指數(shù)分布族模型與廣義線性混合模型中隨機(jī)效應(yīng)之間的關(guān)系；與此同時(shí)，Ohlsson 和Johansson[11]還使用另外一種方法，即在信度模型框架下引入固定效應(yīng)，得到了相同的信度估計(jì).Garrido和Zhou[12]首次把古典信度理論與廣義線性模型相結(jié)合，建立了相應(yīng)的信度模型.但是以上這些廣義線性模型的信度估計(jì)都是在平方損失函數(shù)下建立的,所以對(duì)模型而言得到的保費(fèi)同樣都是純保費(fèi),不具有正的安全負(fù)荷性,這樣保險(xiǎn)公司注定會(huì)破產(chǎn).為了解決這一問(wèn)題,本文在考慮指數(shù)保費(fèi)原理的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步利用指數(shù)損失函數(shù)的方法，把古典信度理論與廣義線性模型相結(jié)合來(lái)討論相應(yīng)的信度估計(jì)．

1 模型的準(zhǔn)備與假設(shè)

1.1 廣義線性模型

在古典線性回歸模型中，假設(shè)因變量服從正態(tài)分布，方差為常數(shù)，解釋變量通過(guò)線性相加關(guān)系直接影響因變量本身.而廣義線性模型假設(shè)因變量來(lái)自于指數(shù)分布族，其方差隨著均值而變化，解釋變量通過(guò)線性相加關(guān)系對(duì)因變量的期望值的某種變換產(chǎn)生影響.若Yi是第i個(gè)觀測(cè)值且服從指數(shù)分布族，則其密度函數(shù)可以表示為

式中：b(θi)，c(yi,φ,wi)為已知函數(shù)，φ>0對(duì)所有的觀察值具有相同的形式，wi為權(quán)重，b(θi)的二階導(dǎo)數(shù)存在且大于零.c(yi,φ,wi)與參數(shù)θi無(wú)關(guān).觀察值Yi的均值和方差分別為

E(Yi)=b′(θi)，var(Yi)=φυ(μi)/wi

(1)

其中υ(μi)=b″(b′-1(μi))是方差函數(shù).

1.2 信度模型

多水平因子的費(fèi)率厘定是應(yīng)用信度理論定價(jià)的一個(gè)重要內(nèi)容. 給定水平下的保費(fèi)可以用當(dāng)前水平下的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)，這一過(guò)程主要借用廣義線性模型來(lái)實(shí)現(xiàn).首先，我們只考慮一個(gè)單一的多水平因子的費(fèi)率厘定.

設(shè)Yjt是在多水平j(luò)下的第t個(gè)觀察值的關(guān)鍵費(fèi)率，j=1,2,…,J.Uj是在多水平j(luò)下的隨機(jī)效應(yīng).則基本模型為

E(eαYjt|Uj)=μαUj

(2)

其中E(Uj)=1，E(eαYjt)=μα，α>0為已知參數(shù).

為了計(jì)算方便，令Vj=μαUj，E(Vj)=μα，則

E(eαYjt|Vj)=Vj

(3)

(4)

因此得到下面的假設(shè).

假設(shè)1(a)隨機(jī)向量(Yjt,Vj)，j=1,…,J是獨(dú)立的.

(c)在Vj的條件下，Yjt相互獨(dú)立，均值和方差滿足(3)和(4)式.

定義1 指數(shù)損失函數(shù)為

L(x,p)=(eαY-eαp)

(5)

其中α>0是已知參數(shù).

2 信度理論

2.1 信度估計(jì)

類(lèi)似于經(jīng)典的信度理論，信度估計(jì)可以定義為：將估計(jì)限定在某些線性函數(shù)類(lèi)中.在損失函數(shù)(5)式下，求解下面的最小化問(wèn)題

minE(c0+∑tcteαYt-eαp)2

(6)

為求上述最小化問(wèn)題，我們先給出下面的引理.

(7)

(8)

證明令Xt=eαYt，求解最小化問(wèn)題(6)式就是求解minE(c0+∑tctXt-V)2.

令h(X)=c0∑tctXt，則

[E(h(X)-V)]2

則

有最小值.

定理1在假設(shè)1成立時(shí)，求解最優(yōu)化問(wèn)題(6)得到的最優(yōu)估計(jì)為

證明根據(jù)引理1，只需證明

滿足(7)和(8)式.因

cov(Vj,eαYjt=cov[Vj,E(eαYjt|Vj)]=

當(dāng)s≠t時(shí)，cov(eαYjs,eαYjt)=E[cov(eαYjs,eαYjt|Vj)]+cov[E(eαYjs|Vj),E(eαYjt|Vj)]=0+

當(dāng)s=t時(shí)，cov(eαYjs,eαYjt=var(eαYjt=

因此

2.2 結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計(jì)

因此

則

3 乘法模型中的信度估計(jì)

下面考慮如何把廣義線性模型和信度理論聯(lián)合起來(lái)同時(shí)得到普通費(fèi)率因子和多水平因子的估計(jì).在這里，我們只考慮一個(gè)單一的多水平因子，普通費(fèi)率因子可以是任意多個(gè).例如房屋保險(xiǎn)，考慮房子的類(lèi)型、建筑面積和地理區(qū)域.把房子的類(lèi)型、建筑面積作為普通費(fèi)率因子，地理區(qū)域作為多水平因子，則(2)式可以推廣為

(9)

設(shè)Yijt是關(guān)鍵費(fèi)率，則(9)式可以被推廣到有R個(gè)普通費(fèi)率因子的情形，即

(10)

E(eαYijt|Vj)=γiVj

(11)

(12)

則得到下面假設(shè).

假設(shè)2(a)隨機(jī)向量(Yijt,Vj)，j=1,…,J獨(dú)立.

(b)Vj，j=1, …,J是同分布.E(Vj)=μα，

(c)對(duì)于任何j，在Vj的條件下，Yijt是相互獨(dú)立的，且均值和方差滿足(11)和(12)式.

令

(13)

則

(14)

定理4在假設(shè)2成立時(shí)，保費(fèi)p的估計(jì)為

隨機(jī)效應(yīng)為

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用信度理論的方法，考慮在指數(shù)保費(fèi)原理下信度理論與廣義線性模型中隨機(jī)效應(yīng)之間的關(guān)系來(lái)討論相應(yīng)的信度估計(jì)，分別得到了在該指數(shù)保費(fèi)原理下多水平因子以及普通費(fèi)率因子與多水平因子相結(jié)合的信度保費(fèi)估計(jì)，并且給出了結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計(jì). 結(jié)果表明，所得的信度公式具有經(jīng)典的信度形式，這一結(jié)果推廣了經(jīng)典的信度模型．

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