王俊波 李創(chuàng)第 葛新廣

1河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院（454000）2廣西科技大學(xué)土木建筑工程學(xué)院（545006）

帶五種被動阻尼器的高層建筑側(cè)移—扭轉(zhuǎn)下隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)的解析法

王俊波1李創(chuàng)第2葛新廣2

1河南理工大學(xué)土木工程學(xué)院（454000）2廣西科技大學(xué)土木建筑工程學(xué)院（545006）

對帶被動阻尼器的高層建筑考慮側(cè)移-扭轉(zhuǎn)情況下,隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)和等效風(fēng)載取值進(jìn)行了研究。針對文獻(xiàn)[3]獲得了設(shè)置五種被動阻尼器的高層建筑,考慮側(cè)移-扭轉(zhuǎn)效應(yīng)下統(tǒng)一非經(jīng)典的結(jié)構(gòu)運動方程，這里用復(fù)模態(tài)法解耦，并用隨機(jī)振動方法，獲得了帶五種被動減振器的高層建筑考慮側(cè)移-扭轉(zhuǎn)反應(yīng)基于現(xiàn)行規(guī)范Davenport譜隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)的解析解，并給出算例。

被動阻尼器；側(cè)移-扭轉(zhuǎn)；復(fù)模態(tài)法；等效風(fēng)荷載取值

0 引言

隨著高層建筑結(jié)構(gòu)的增多，風(fēng)致振動引起的高層建筑不能滿足結(jié)構(gòu)剛度和舒適度的抗風(fēng)設(shè)計要求的問題日益突出。因此，越來越多的研究者致力于用結(jié)構(gòu)振動控制的方法來解決上述問題。被動阻尼器是一類既簡單又對高層建筑脈動風(fēng)振反應(yīng)有較好控制效果的減振裝置，在國內(nèi)外都已獲得了研究成果，受到了一定的應(yīng)用[1～2]。此前結(jié)構(gòu)隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)分析方法主要有頻域法[3]、數(shù)值積分[4]、隨機(jī)平均法[5]等。這里利用瞿偉廉教授建立的五種被動動力減振器高層建筑側(cè)移—扭轉(zhuǎn)脈動風(fēng)振反應(yīng)控制的統(tǒng)一公式[3]，對此類結(jié)構(gòu)按第一振型展開后，采用復(fù)模態(tài)法進(jìn)行解耦，獲得了與我國現(xiàn)行規(guī)范所采用的Davenport譜對應(yīng)的以第一振型表示的結(jié)構(gòu)隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)解析解。

1 運動方程

設(shè)一個n層高層或高聳結(jié)構(gòu)設(shè)置L個被動減振器，在順風(fēng)向的脈動風(fēng)荷載作用下，瞿偉廉教授建立了設(shè)置被動動力減振器的高層建筑的側(cè)移—扭轉(zhuǎn)脈動風(fēng)振反應(yīng)的統(tǒng)一方程為[3]：

2 方程解耦的復(fù)模態(tài)法

采用復(fù)模態(tài)理論進(jìn)行解耦。令：

根據(jù)文獻(xiàn)[10]，式（3）的左、右特征向量V［］、U［］關(guān)于［Me］、［Ke］帶權(quán)正交。即：

引入復(fù)模態(tài)變換令：

則方程（3）可解耦為[6-8]：

式中：

［U］、［V］、［P］=diag［Pj］分別為方程（3）的右、左特征向量矩陣和特征值矩陣。

3 隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)計算

3.1基于現(xiàn)行規(guī)范的Davenport風(fēng)譜的風(fēng)載激勵模型

上式中，IO（Hi）為方差等于1的隨機(jī)變量，k為與地面粗糙度有關(guān)的系數(shù)。

）為脈動風(fēng)荷載標(biāo)準(zhǔn)差，

,分別為風(fēng)壓高度變化系數(shù)、體型系數(shù)和當(dāng)?shù)鼗撅L(fēng)壓，q （t）僅為時間t的隨機(jī)過程，其均值為零，具有規(guī)格化功率譜即

順風(fēng)向脈動風(fēng)荷載的功率譜密度函數(shù)Suiuj（ω）、扭轉(zhuǎn)風(fēng)力向量的功率譜密度函數(shù)Sθiθj（ω）、迎風(fēng)面脈動風(fēng)力向量和扭轉(zhuǎn)風(fēng)力向量的互功率譜密度函數(shù)Suiθj（ω）分別為：

）為相關(guān)函數(shù)，k為與地面粗糙度有關(guān)的系數(shù)，z

i

、z

j

為第i、j層的離地面高度；d

vi

和d

vj

分別為結(jié)構(gòu)第i和第j層迎風(fēng)面脈動風(fēng)力氣動中心相對于質(zhì)量中心的v坐標(biāo)。

結(jié)構(gòu)第一振型廣義荷載的F*1（t）自功率譜密度函數(shù)為：

3．2 結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差分析

由（4）、（6）、（9）方程得（6）的分量形式：

式中：

可求得xi的響應(yīng)方差[10-14]為：

式中：

Hj（ω）為質(zhì)量、頻率和阻尼比分別為1、ωj、βj的等效單自由度體系的頻率相應(yīng)函數(shù)。I1（ωj）和I2（ωj）分別為上述等效單自由度體系在具有規(guī)格化Davenport風(fēng)譜Sq（ω）的隨機(jī)過程荷載f（ t）作用下位移和速度的方差。

4 基于現(xiàn)行規(guī)范所采用的Davenport風(fēng)譜的響應(yīng)均方差計算

故一旦求出2個等效單自由度體系的風(fēng)譜Sf（ω）作用下的位移和速度響應(yīng)的最大值的平方R1（ωj）=c2fI1（ωj）和R2（ωj）=c2fI2（ωj）則在式（27）中，分別用R1（ωj），R2（ωj）代替I1（ωj）和I2（ωj）即可求得R2（xm），對其開方，即得xm（t）的設(shè)計響應(yīng)R（ xm）。由于：

由于文獻(xiàn)[11]已經(jīng)求得I1（ωj）及I2（ωj）的解析解，故由式（17），即得R1（ωj）及R2（ωj）的解析解。

5 等效風(fēng)荷載取值計算

由于原結(jié)構(gòu)按第一振型展開，即

故原主體結(jié)構(gòu)各樓層風(fēng)振位移響應(yīng)設(shè)計值為

對原主體結(jié)構(gòu)，其剛度矩陣[K]、質(zhì)量矩陣[M]與第一振型和第一頻率ω01有如下關(guān)系：

故原主體結(jié)構(gòu)等效風(fēng)振力設(shè)計值向量Pd與該樓層的風(fēng)振位移響應(yīng)設(shè)計值X0max有如下關(guān)系：

其中：M0為原主體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣，φi1為原主體結(jié)構(gòu)的第一振型。

考慮到結(jié)構(gòu)總的風(fēng)效應(yīng)Pi可看成是平均風(fēng)力和等效風(fēng)振力共同作用的總效應(yīng)，于是可得結(jié)構(gòu)第i層順風(fēng)向的等效靜力風(fēng)荷載：

第i層扭轉(zhuǎn)方向等效風(fēng)荷載為：

第i層橫風(fēng)向等效風(fēng)荷載為：

6 算例

某海邊一個8層鋼結(jié)構(gòu)建筑，在結(jié)構(gòu)第6、7、8各設(shè)置一個TMD系統(tǒng)。該建筑層高均為3.5 m，每層質(zhì)量為140 t，每層迎風(fēng)面積為105 m2，結(jié)構(gòu)第一振型阻尼比ξ1=0.01，結(jié)構(gòu)自振周期T1=1.256 s，結(jié)構(gòu)第一自振圓頻率ω01=2π/T1=5（rad/s），質(zhì)心與剛心只在Y方向存在偏心。X方向有單向風(fēng)載輸入，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生沿軸的平動和繞豎直軸的轉(zhuǎn)動；每層質(zhì)心與剛心的距離為0.86 m;順風(fēng)向第一振型{φu1}=[0.239 9 0.471 0 0.619 2 0.747 4 0.851 6 0.928 4 0.975 3 1.000 0]T，橫風(fēng)向第一振型{φv1}=[0.1433 0.2811 0.369 0 0.444 7 0.505 8 0.550 1 0.578 0 0.593 2]T，扭轉(zhuǎn)方向第一振型{φθ1}=[0.013 4 0.022 4 0.030 1 0.034 4 0.037 1 0.039 3 0.0400 0.051 2]T,取TMD與結(jié)構(gòu)第一振型廣義質(zhì)量M*0比為0.025，TMD的頻率為5（rad/s）,TMD的阻尼比為0.05，當(dāng)?shù)鼗撅L(fēng)壓為0.6 kN/m2。圖1、2、3畫出了結(jié)構(gòu)設(shè)置3個TMD后,用復(fù)模態(tài)法得到的結(jié)構(gòu)各層順風(fēng)向、橫風(fēng)向和扭轉(zhuǎn)方向風(fēng)振位移響應(yīng)設(shè)計值解析解，和結(jié)構(gòu)不帶TMD時結(jié)構(gòu)響應(yīng)的對比曲線。表1、2、3列出了有無TMD控制的結(jié)構(gòu)各層的順風(fēng)向、橫風(fēng)向和扭轉(zhuǎn)方向等效靜態(tài)設(shè)計風(fēng)荷載。可以看出，用復(fù)模態(tài)獲得的解析解與用頻率法和數(shù)值積分法獲得的數(shù)值解基本一致，與無TMD控制相比，結(jié)構(gòu)順風(fēng)向等效靜態(tài)風(fēng)荷載減少了12.2%～25.5%，結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)方向等效靜態(tài)風(fēng)荷載減少了1.4%～3.4%，結(jié)構(gòu)順風(fēng)向等效靜態(tài)風(fēng)荷載減少了35.5%?？梢?TMD減振效果是很明顯的,尤其是對結(jié)構(gòu)在橫風(fēng)向的控制效果更為明顯。

圖1 各樓層順風(fēng)向風(fēng)振位移響應(yīng)的設(shè)計值

圖2 各樓層扭轉(zhuǎn)方向風(fēng)振位移響應(yīng)的設(shè)計值

7 結(jié)論

這里對設(shè)置五種被動阻尼器（TMD、TLCD、LCVD、C-TLD、R-TLD）的高層建筑考慮側(cè)移-扭轉(zhuǎn)隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)等效靜態(tài)設(shè)計風(fēng)載取值進(jìn)行了研究，有助于將復(fù)雜的隨機(jī)振動響應(yīng)轉(zhuǎn)化為簡單的等效靜態(tài)設(shè)計法。

圖3 橫風(fēng)向風(fēng)振位移響應(yīng)的設(shè)計值

表1 各樓層順風(fēng)向等效靜態(tài)設(shè)計風(fēng)荷載值（kN）

表2 各樓層扭轉(zhuǎn)向等效靜態(tài)設(shè)計風(fēng)荷載值（kN·m）

表3 各樓層橫風(fēng)向等效靜態(tài)設(shè)計風(fēng)荷載值（kN）

由于獲得了上述五種被動控制高層建筑風(fēng)振試驗研究響應(yīng)的解析解，故一方面可對結(jié)構(gòu)進(jìn)行抗風(fēng)動力可靠性分析[12],另一方面可進(jìn)一步利用此解析解，對結(jié)構(gòu)待定控制參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，在給定控制裝置動力響應(yīng)不超過某一設(shè)計限值的動力可靠度約束條件下,通過主體結(jié)構(gòu)的響應(yīng)方差取極小值條件，用罰函數(shù)方法等優(yōu)化方法，可直接確定控制裝置的待定優(yōu)化參數(shù)[13、14]，實現(xiàn)主體結(jié)構(gòu)的最優(yōu)抗風(fēng)控制設(shè)計，建立基于動力可靠性約束的帶被動阻尼器的高層建筑結(jié)構(gòu)抗風(fēng)優(yōu)化控制設(shè)計方法。

[1]歐進(jìn)萍,等.設(shè)置TMD、TLD控制系統(tǒng)的高層建筑風(fēng)振分析與設(shè)計方法[J].地震工程與工程振動,1994(6)：61～75.

[2]黃文俊,等.幾種常見阻尼器的減振特性分析[J].北京：地震工程與工程振動,2007(7)：42～48.

[3]瞿偉廉,等.C C Chang.應(yīng)用五種被動動力減振器時高層建筑側(cè)移-扭轉(zhuǎn)脈動風(fēng)振反應(yīng)控制優(yōu)化設(shè)計的統(tǒng)一公式[J].地震工程與工程振動,2008(2)：137～146.

[4]李春祥,劉艷霞.高層建筑TMD風(fēng)振控制優(yōu)化設(shè)計[J].計算力學(xué)學(xué)報,2001(1)：69～73.

[5]李創(chuàng)第,駱鴻林,陸運軍,余亞平.Maxwell粘滯阻尼器耗能結(jié)構(gòu)的風(fēng)振響應(yīng)與等效風(fēng)荷載取值[J].廣西工學(xué)院學(xué)報, 2011,22(3)：7～11.

[6]李創(chuàng)第,李暾.高層建筑TMD風(fēng)振控制分析的復(fù)模態(tài)法[J].振動與沖擊,2003(2)：1～4.

[7]李創(chuàng)第,黃天立.基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)分析的復(fù)模態(tài)法[J].地震工程與工程振動,2002,22(6)：122～128.

[8]李創(chuàng)第,黃天立.帶TMD結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震響應(yīng)分析的復(fù)模態(tài)法[J].振動與沖擊,2003,22(1)：36～39.

[9]楊慶山.懸索結(jié)構(gòu)隨機(jī)風(fēng)反應(yīng)分析[J].建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報,1998 (4)：29～39.

[10]李創(chuàng)第,等.帶五種被動減振器的高層建筑基于Davenport譜隨機(jī)風(fēng)振響應(yīng)的解析解法[J].2009,26(4)：144～152.

[11]李桂青.工程結(jié)構(gòu)時變可靠度理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2001：201～204.

[12]李創(chuàng)第.高層建筑玻璃幕墻線性與非線性抗風(fēng)動力可靠性分析(2)[J].工業(yè)建筑,1999,29(6)：17～19.

[13]李創(chuàng)第,黃天立.帶TMD結(jié)構(gòu)基于動力可靠性約束的抗震優(yōu)化設(shè)計[J].地震工程與工程振動,2004,24(6)：121～125.