徐章韜

（華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079）

融合內(nèi)容的教學(xué)知識之課例研究*

徐章韜

（華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079）

借鑒Kahan等的教學(xué)過程和基本要素研究框架，以情意原理、序進(jìn)原理和活動原理作為解析課堂教學(xué)的框架，調(diào)查師范生融合內(nèi)容的教學(xué)知識的實(shí)然水平。師范生的教學(xué)水平大致分布在三個等級上，師范生對學(xué)與教的理解有明顯的缺失。如果師范生對知識的發(fā)生發(fā)展過程認(rèn)識較為深刻，那么知識教學(xué)的序列安排就與知識發(fā)生的歷史過程擬合得較好；如果師范生對做數(shù)學(xué)的一般機(jī)制有一定的體會，那么學(xué)生思維過程的設(shè)計(jì)就與歷史上人們做數(shù)學(xué)的活動經(jīng)驗(yàn)較為相似。數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的知識是影響師范生課堂教學(xué)水平的重要因素之一。

面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識；融合內(nèi)容的教學(xué)知識；數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展；師范生

一.問題提出

如果說醫(yī)生的真功夫體現(xiàn)在臨床上，那么教師的真功夫體現(xiàn)在課堂上。[1]由于教師這一職業(yè)的復(fù)雜性，因此對于教師該具備哪些知識才能更好地進(jìn)行課堂教學(xué)，成為學(xué)界近來重要的研究議題。[2-7]教師真功夫集中表現(xiàn)為教師能有效地轉(zhuǎn)化課程內(nèi)容并使之適合學(xué)生的學(xué)習(xí)，從而實(shí)施高質(zhì)量的課堂教學(xué)。內(nèi)容是把數(shù)學(xué)課程與其他學(xué)科課程區(qū)別開來的決定因素，因此對內(nèi)容及其變化的研究應(yīng)該成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究不容忽視的一個方面。[8]在轉(zhuǎn)化過程中起底層支持作用的是融合內(nèi)容的教學(xué)知識（Knowledge of Content and Teaching, KCT）。KCT是面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(Mathematical Knowledge for Teaching, MKT)的一個組成部分。融合內(nèi)容的教學(xué)知識，是指為了達(dá)到教學(xué)目的和教學(xué)目標(biāo)，教師根據(jù)學(xué)情的知識，而采取的合適地表征內(nèi)容的教學(xué)手段和策略的知識，主要表現(xiàn)為教師能在課堂教學(xué)中有效地實(shí)施情意原理、序進(jìn)原理和活動原理。[9]本研究以三角函數(shù)為抓手，建立體現(xiàn)內(nèi)容底層支撐作用的分析框架，以此分析課例中師范生融合內(nèi)容的教學(xué)知識的實(shí)然水平，并從數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的角度對師范生融合內(nèi)容的教學(xué)知識實(shí)然水平進(jìn)行歸因。

二 研究設(shè)計(jì)

（一） 研究對象

筆者在指導(dǎo)教育實(shí)習(xí)的過程中對師范生及其教學(xué)情況有一定的了解，采取典型取樣法選取6名教三角函數(shù)的師范生作被試，姑且以小A、小B、小C、小D、小E和小F稱之。小A考取了應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究生，小E直升了數(shù)學(xué)教育的研究生，小B、小C、小D順利地找到了工作。小B還獲得過學(xué)校教學(xué)比賽公開課的特等獎。他們是優(yōu)秀的師范生，研究他們?nèi)诤蟽?nèi)容的教學(xué)知識有一定的價值。

（二）研究方法

課例立足于課堂，將理論思想置于鮮活的教學(xué)之中，將宏大的理論轉(zhuǎn)化為個體的教育經(jīng)驗(yàn)或事件；課例研討聚焦課堂，是在真實(shí)情境中研究學(xué)與教。本研究選取的課例是：小A的任意角的三角比（第一課時），小B的兩角和與差的余弦，小C的兩角和與差的余弦，小D的誘導(dǎo)公式（第一課時），小E的余弦定理，小F的半角公式及萬能公式。這些課的內(nèi)容反映了三角函數(shù)歷史發(fā)展過程的一些重要進(jìn)展，具有典型意義。不同的被試講相同的主題，自然容易一較高下；不同的被試講不同的主題，如果嚴(yán)格采用同一個評價標(biāo)準(zhǔn)，得到量化數(shù)據(jù)，也能區(qū)分被試的水平。

（三） 研究過程

首先是對支持課堂教學(xué)進(jìn)程的知識建立分析框架，然后是建立知識運(yùn)用水平的分析框架，這兩者可形成一個二維框架。用這個二維框架可以分析出支持課堂教學(xué)推進(jìn)的知識成分，以及對知識成分的運(yùn)用作實(shí)然水平分析。然后，從數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的視角分析實(shí)然水平背后的原因。

1. 課堂教學(xué)進(jìn)程的分析框架

本研究關(guān)注的是課堂教學(xué)中所教主題的實(shí)質(zhì)以及教師對主題實(shí)質(zhì)的處理，對課堂教學(xué)的組織形式?jīng)]有特別要求，為此需要建立一個體現(xiàn)上述主旨的研究框架。Kahan等的教學(xué)過程和教學(xué)基本要素研究框架的顯著特點(diǎn)是一個二維框架，[10]其中一維是對教學(xué)進(jìn)程的刻畫，另一維是對教學(xué)過程中教學(xué)任務(wù)選擇的刻畫。情意原理、序進(jìn)原理和活動原理一方面刻畫了課堂教學(xué)的進(jìn)程，另一方面也回答了教學(xué)過程中教學(xué)任務(wù)如何選擇的問題，有鑒于Kahan的框架，本研究認(rèn)為情意原理、序進(jìn)原理和活動原理可以作為解析支持課堂教學(xué)進(jìn)程的知識成分的框架。這些原理的實(shí)施順序反映了課堂教學(xué)的主要進(jìn)展，實(shí)施的效果如何反映了教師駕馭課堂教學(xué)的水平。

2. 數(shù)據(jù)的量化

自新課程改革以來，我國基礎(chǔ)教育教學(xué)改革中出現(xiàn)了一些異化，[11]人民教育出版社章建躍編審就指出“數(shù)學(xué)課要教數(shù)學(xué)”，言外之意是教師對數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解對課堂教學(xué)的走向及水平有重要的影響。因此，本研究用教師對數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)理解水平來衡量師范生融合內(nèi)容的教學(xué)知識的實(shí)然水平。參照Kinach[12]修正過的理解水平框架和數(shù)學(xué)認(rèn)知水平分析框架，形成分析師范生融合內(nèi)容的教學(xué)知識水平分析框架，如表1。

表1 融合內(nèi)容的教學(xué)知識水平分析框架

安德森在制定課堂教學(xué)認(rèn)知領(lǐng)域的達(dá)成目標(biāo)時，首先從知識維度把知識分成事實(shí)性知識、概念性知識、程序性知識和元認(rèn)知知識，然后又從記憶、理解、運(yùn)用、分析、評價和創(chuàng)造等水平刻畫了認(rèn)知過程的維度。類比于此，對課堂教學(xué)的刻畫，也可以從兩個維度刻畫，分別是支持課堂教學(xué)進(jìn)程的知識成分分析框架和知識成分的水平分析框架。一個刻畫課堂教學(xué)中的內(nèi)容及進(jìn)程，一個刻畫水平。

3. 原因分析視角

當(dāng)用上述框架采集到課堂教學(xué)中的質(zhì)的數(shù)據(jù)，并給其水平層次之后，還要進(jìn)行原因分析，對師范生融合內(nèi)容的教學(xué)知識的實(shí)然水平給出合理的解釋。本研究從數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的視角分析影響師范生融合內(nèi)容的教學(xué)知識水平的內(nèi)在因素，這是一個全新的視角，已經(jīng)引起了研究者的注意，如Clark[13]和Jankvist[14]等的研究。

三.研究結(jié)果與討論

（一）師范生情意原理的實(shí)然水平及原因剖析

1. 師范生實(shí)施情意原理時質(zhì)的數(shù)據(jù)

根據(jù)表1的水平分析框架，得到表2的結(jié)果。

表2 師范生實(shí)施情意原理時的表現(xiàn)水平

小A通過對比，指出了比值定義法的不足，指出要改進(jìn)這種定義法。如何改進(jìn)定義呢？其沒有激發(fā)學(xué)生從方法的層面上考慮，包辦太多。小B通過提出邏輯脈絡(luò)上的問題：如何用特殊角表示一般角，如何用特殊角的三角函數(shù)值表示一般函數(shù)，不但指明了研究動機(jī)，而且用任務(wù)驅(qū)動吸引了學(xué)生的注意力。小C提出的問題太抽象，問題指向不明，沒有創(chuàng)設(shè)出反映公式產(chǎn)生動機(jī)的問題。小D的問題設(shè)計(jì)的過于具體，學(xué)生只要按照問題提出的步驟進(jìn)行操作就能獲得答案。小E是把余弦定理所能解決的一類問題當(dāng)作問題提出來，沒有考慮知識在邏輯脈絡(luò)上的聯(lián)系，也沒有創(chuàng)設(shè)問題情境，表現(xiàn)的是內(nèi)容水平的教學(xué)策略。小F提出了邏輯脈絡(luò)上的問題，表現(xiàn)出了問題解決水平的教學(xué)策略。

2. 總的看來，師范生由于對反映學(xué)科本質(zhì)的學(xué)術(shù)問題缺乏深刻的認(rèn)識，故而不能把學(xué)術(shù)問題以教育的形式表達(dá)出來，不能以問題為導(dǎo)向，激活學(xué)生的情意系統(tǒng)

情意原理認(rèn)為，主體的中樞活動包含著互為前提、互相促進(jìn)的認(rèn)知心理和情意狀態(tài)兩個方面，激發(fā)學(xué)習(xí)者的動機(jī)、興趣和追求的意向，加強(qiáng)教育者與學(xué)習(xí)者的感情交流，是促進(jìn)認(rèn)知發(fā)展的支柱和動力。[15]

數(shù)學(xué)家按研究的視角生成、組織、構(gòu)建某一領(lǐng)域的知識。在考慮、顧及學(xué)生的心理發(fā)展?fàn)顟B(tài)的前提下，有效的教學(xué)應(yīng)充分?jǐn)M合這一過程，從而最終學(xué)會數(shù)學(xué)家看問題的方式、思考問題的方式，具有數(shù)學(xué)的眼光。數(shù)學(xué)家對未知世界具有強(qiáng)烈的好奇心，常能提出問題，在解決問題的過程中雖遭遇困難卻也百折不撓。文學(xué)家冰心曾用詩一般的語言描述這一過程：成功的花兒，人們只驚羨它現(xiàn)時的美麗，然而當(dāng)初它的芽兒浸透了奮斗的淚水，灑遍了犧牲的血雨。情意原理深諳此道，良好的情意狀態(tài)是認(rèn)知發(fā)展的動力系統(tǒng)?？鬃釉缇椭赋?，知之者不如好之者，好之者不如樂之者?；騽?chuàng)設(shè)情境問題，或提出邏輯脈絡(luò)上的問題，都能形成認(rèn)知沖突，激發(fā)求知欲，激活思維，激發(fā)“火熱的思考”。數(shù)學(xué)家因高度的好奇心產(chǎn)生問題，但在教學(xué)上卻要以問題驅(qū)動而產(chǎn)生求知熱情。張奠宙先生指出，中國的課堂講究導(dǎo)入，不可能在每節(jié)課中都創(chuàng)設(shè)情境，創(chuàng)設(shè)情境不能天天搞，而導(dǎo)入是每堂課都能進(jìn)行的，導(dǎo)入的價值和實(shí)行的辦法是要有思考的問題。[16]師范生都認(rèn)為要創(chuàng)設(shè)情境，但創(chuàng)設(shè)的情境要么是假的情境，要么是為情境而情境，而不知情境創(chuàng)設(shè)是手段，激發(fā)理趣、還原知識的本來境遇，才是目的所在。

實(shí)施情意原理的常見方式有：以問題作為出發(fā)點(diǎn)，這要求教師能挖掘反映一節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的本質(zhì)問題來驅(qū)動教學(xué)；采取思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的學(xué)習(xí)任務(wù)，這要求教師能鋪設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}序列，采取“導(dǎo)而弗牽”的方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)激情；使用“反饋－調(diào)節(jié)”機(jī)制，學(xué)習(xí)任務(wù)難易不當(dāng),都不利于學(xué)生保持高水平學(xué)習(xí)熱情，應(yīng)通過教學(xué)反饋,及時發(fā)現(xiàn)問題,通過調(diào)整設(shè)問方式,增加提示信息或進(jìn)一步設(shè)置障礙等方法調(diào)整學(xué)習(xí)任務(wù)的難度。[17]

師范生由于對反映學(xué)科本質(zhì)的學(xué)術(shù)問題缺乏深刻的認(rèn)識，故而不能把這種學(xué)術(shù)問題以教育的形式表達(dá)出來，不能以問題為導(dǎo)向，以問題為驅(qū)動，激活學(xué)生的情意系統(tǒng)。

（二）師范生序進(jìn)原理的實(shí)然水平及原因剖析

1. 師范生實(shí)施序進(jìn)原理時質(zhì)的數(shù)據(jù)

根據(jù)表1的水平分析框架，得到表3的結(jié)果。

表3 師范生實(shí)施序進(jìn)原理時的表現(xiàn)水平

小A于細(xì)枝末節(jié)的地方著墨過多，沒有牢牢抓住關(guān)鍵點(diǎn)不放松。小B講授的是命題的發(fā)現(xiàn)，在知識點(diǎn)的順序的選取上表現(xiàn)出了一定的靈活性，吸取了公式最初產(chǎn)生的動機(jī)。在證明公式時，小B直截了當(dāng)?shù)卣f就在平面直角坐標(biāo)系中和單位圓中研究。后面問題的設(shè)計(jì)雖然有序，但跨度太少。小C想先讓學(xué)生猜測兩角和與差的余弦公式，沒有像小B一樣遵循公式定理發(fā)現(xiàn)的一般程序，而是要學(xué)生憑“空”猜想。對比小B和小C的講法，可以看到小C花大氣力“退”到的地方，正是小B回避的地方。小C沒有講清楚研究動機(jī)就來選擇研究工具，也就是沒有發(fā)揮研究動機(jī)的引領(lǐng)作用。小D的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)是“復(fù)習(xí)舊知，導(dǎo)入新課；層層深入，引領(lǐng)探究；實(shí)踐體驗(yàn)，鞏固新知；歸納小結(jié)”。無論是從整體，還是從細(xì)節(jié)上看，小D對序進(jìn)原理的理解都是較為深刻的。從整體上看，小E的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)是“復(fù)習(xí)回顧；定理引出；定理證明；定理應(yīng)用；課堂練習(xí)”，和凱洛夫的課堂教學(xué)五環(huán)節(jié)很相似，也是依序而進(jìn)的。但在定理的證明中，沒有很好地體現(xiàn)序進(jìn)原理。小F講的是公式的推導(dǎo)及應(yīng)用，其課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)分為兩個部分，一是講萬能公式，一是講半角公式。其由兩倍角公式得出了萬能公式，從內(nèi)容的邏輯關(guān)聯(lián)性看，沒有很好地體現(xiàn)序進(jìn)原理。

2. 總的看來，師范生對數(shù)學(xué)概念、定理、公式產(chǎn)生的歷史過程缺乏必要的了解，以致不能還原概念、定理、公式發(fā)現(xiàn)的原生態(tài)過程，產(chǎn)生了一些認(rèn)知順序上、教學(xué)序列上的顛倒

序進(jìn)原理認(rèn)為，來自環(huán)境的知識和經(jīng)驗(yàn)可以相應(yīng)轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、情意狀態(tài)和行為結(jié)構(gòu)。教育者根據(jù)不同對象的發(fā)展水平，有步驟地提高所呈示的知識和經(jīng)驗(yàn)的結(jié)構(gòu)化程度，組織好從簡單到復(fù)雜的有序累積過程，是提高轉(zhuǎn)化效率的基礎(chǔ)。

要實(shí)施好序進(jìn)原理，就要在歷史的流變中弄清楚數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過程，數(shù)學(xué)命題的發(fā)現(xiàn)過程，數(shù)學(xué)思想方法的概括過程和數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的建立、推廣和發(fā)展過程。在教學(xué)中要盡量藝術(shù)性地再現(xiàn)這一過程，才能不至把“馬車放在馬之前”而發(fā)生教學(xué)法上的顛倒。在提出問題、分析問題、解決問題的過程中，就要探明知識內(nèi)容的最佳結(jié)構(gòu)以及各結(jié)構(gòu)之間的最佳序列，讓學(xué)生清晰地了解知識的產(chǎn)生過程、知識間的相互聯(lián)系以及整個知識體系的框架，從而幫助學(xué)生理解知識本身蘊(yùn)涵的思維形式和思維方法。諳熟知識發(fā)生發(fā)展的序列過程，從而藝術(shù)地、有效地促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知心理合乎生態(tài)地發(fā)展，是教學(xué)的永恒追求之一。

實(shí)施序進(jìn)原理的具體的做法有：教學(xué)目標(biāo)明確，每堂課都圍繞一個中心論題而展開和深化，遵照循序漸進(jìn)的原則，組織精當(dāng)?shù)膶哟涡蛄校阎饕虒W(xué)力量放在關(guān)鍵性問題上，突破難點(diǎn)；盡量使新知識與學(xué)生頭腦里已有的適當(dāng)知識、經(jīng)驗(yàn)建立實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系；盡量保持知識的連貫性，思想方法的一致性，使前后的課與課之間形成精當(dāng)?shù)膶哟涡蛄校詫W(xué)科教學(xué)的主線或?qū)W科內(nèi)容的詮釋架構(gòu)和邏輯架構(gòu)的基本思想為主線貫穿之。

師范生對數(shù)學(xué)概念、定理、公式產(chǎn)生的歷史過程缺乏必要的了解，以致不能還原概念、定理、公式發(fā)現(xiàn)的原生態(tài)過程，產(chǎn)生了一些認(rèn)知順序上、教學(xué)序列上的顛倒；不能很好地體現(xiàn)概念的發(fā)生發(fā)展過程，教學(xué)過程中的過渡與銜接顯得生硬與突兀；不能很好地藝術(shù)地再現(xiàn)定理、公式的猜想—反駁過程，而是直接過渡到公式的證明過程。這樣的做法既不符合數(shù)學(xué)本身的發(fā)生發(fā)展規(guī)律，也不符合學(xué)習(xí)者的心理發(fā)生發(fā)展的規(guī)律。

（三） 師范生活動原理的實(shí)然水平及原因剖析

根據(jù)表1的水平分析框架，得到表4的結(jié)果。

由于小A沒有提出問題，整堂課以講述為主，少有學(xué)生活動，是典型的“你講—我聽”信息傳遞式的教學(xué)模式。當(dāng)教師（小B）提出如何求具體的函數(shù)值后，開展了系列的活動。小C采取的是小步子的、一問一答的方式推進(jìn)課堂教學(xué)，學(xué)生活動多且細(xì)。小D雖然沒有采取在問題提出后就放手讓學(xué)生自行探究這樣一種“流行”的授課模式，但其設(shè)計(jì)的學(xué)生活動還是啟發(fā)了學(xué)生的思考。這曾是一堂公開課，獲得過好評。小E的教學(xué)以講授為主，學(xué)生的活動很少。小F有設(shè)計(jì)學(xué)生活動的良好愿景，但是在實(shí)施中卻并沒有做到。在應(yīng)當(dāng)設(shè)置低認(rèn)知水平的學(xué)生活動時，卻設(shè)置了高認(rèn)知水平的學(xué)生活動；在可以設(shè)置高認(rèn)知水平的學(xué)生活動時，卻沒有時間完成了。

總的看來，師范生在組織學(xué)生活動時，是典型的中國式的課堂，教師時時刻刻在起主導(dǎo)作用，學(xué)生的主體活動是有指導(dǎo)的認(rèn)知活動，但由于對課堂的掌控能力還沒有達(dá)到一定的火候，往往在不經(jīng)意間就把高認(rèn)知水平的活動降格成了低認(rèn)知水平的任務(wù)了。

表4 師范生實(shí)施活動原理時的表現(xiàn)水平

活動原理認(rèn)為，學(xué)習(xí)者外周的行為結(jié)構(gòu)與中樞的心理結(jié)構(gòu)之間有直接的互化，教育者精心組織各類行為活動與認(rèn)知活動，并使之合理結(jié)合。學(xué)習(xí)者充分發(fā)揮活動的自主性，是促成行為結(jié)構(gòu)與心理結(jié)構(gòu)迅速互相轉(zhuǎn)化的有效途徑。

提出了研究問題后，就應(yīng)該在教師的指導(dǎo)下開展火熱的學(xué)生活動?；顒釉碇匾晫W(xué)習(xí)者的親身感受、動手操作和動口陳述等行為在教學(xué)過程中的作用，也重視在教師指導(dǎo)之下開發(fā)學(xué)生的嘗試、探究等認(rèn)知活動，期望經(jīng)感性操作到表象操作再到理性操作的活動序列，使外部動作逐步內(nèi)化為智慧活動。教學(xué)設(shè)計(jì)必須基于人們?nèi)绾螌W(xué)習(xí)的知識，教學(xué)設(shè)計(jì)必須充分考慮學(xué)習(xí)的條件。郭思樂[18]認(rèn)為從主要依靠教到主要依靠學(xué)是基礎(chǔ)教育的根本改革。同時也認(rèn)為依靠學(xué)的教育絕不是不要教師、不要教師教，而是說，教師的教主要是為了學(xué)生，而學(xué)生的學(xué)才是最終獲得豐富知識和能力的關(guān)鍵，也是教師的功業(yè)所在。也就是說為了實(shí)施有效的教學(xué)要注意認(rèn)知結(jié)果和教學(xué)方式相匹配的要義，教學(xué)時一是要還原知識的發(fā)生發(fā)展過程，這體現(xiàn)在序進(jìn)原理中；二是學(xué)生思維過程的還原，為學(xué)生建構(gòu)一條“從具體到抽象，從特殊到一般，從片面到全面，由此及彼、由表及里”的思維通道，以幫助學(xué)生獲得基本活動經(jīng)驗(yàn)，這體現(xiàn)在活動原理中。在實(shí)施序進(jìn)原理（其主體是教師）和活動原理（其主體是學(xué)生）的過程中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展做數(shù)學(xué)的活動經(jīng)驗(yàn)，使他們經(jīng)歷概括過程。從教學(xué)實(shí)踐上說,學(xué)習(xí)和運(yùn)用知識的過程是概括的過程。知識遷移的實(shí)質(zhì)就是概括。沒有概括,學(xué)生就不可能掌握知識、運(yùn)用知識；沒有概括,就難以形成概念,由概念所引申的公式、法則、定理、定義就無法被學(xué)生所掌握；沒有概括,學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)就無法形成,通過學(xué)習(xí)形成在意義上、態(tài)度上、動機(jī)上和技能上相互聯(lián)系著的越來越復(fù)雜、抽象的模式體系,就會發(fā)生困難；沒有概括,學(xué)生就很難形成學(xué)科能力,因?yàn)槿魏我婚T學(xué)科能力都是通過概括表現(xiàn)出來并形成起來的。[19]

展開活動的具體方式有：創(chuàng)設(shè)問題情境，引起學(xué)生對新知識的注意與思考；開展觀察、試驗(yàn)、類比、猜想、歸納、概括、特殊化、一般化等活動，形成假設(shè)；利用已有知識進(jìn)行推理論證活動，檢驗(yàn)假設(shè)，獲得新知識，并納入到已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中；新知識的應(yīng)用，加深理解，建立相關(guān)知識的聯(lián)系，鞏固新知識。

小A提供了一個反例，其雖對認(rèn)知結(jié)果有深刻的認(rèn)識，但是對學(xué)生的認(rèn)知機(jī)制缺乏一定的認(rèn)知，其教學(xué)效果就不及小B和小D。學(xué)一點(diǎn)教育心理學(xué)是必要的。有學(xué)科背景的人研究教育學(xué)時易認(rèn)為教育心理學(xué)缺乏具體學(xué)科背景，易產(chǎn)生抵觸情緒。教學(xué)心理學(xué)既要基于學(xué)科，又要超越學(xué)科。面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識的提出正是在“基于學(xué)科”和“超越學(xué)科”之間建立一座溝通之橋。師范生由于沒有厚實(shí)的面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識，在組織學(xué)生活動時，是典型的中國式的課堂，教師時時刻刻都在起著主導(dǎo)作用，學(xué)生的主體活動是有指導(dǎo)的認(rèn)知活動，學(xué)生經(jīng)歷了回憶（Recall）、識別(Recognizing)、發(fā)展（Building-with）和建構(gòu)（Constructing）等認(rèn)識活動。一節(jié)課不可能全是高認(rèn)識水平的活動，而是高認(rèn)知水平的任務(wù)、低認(rèn)知水平的任務(wù)有機(jī)交錯、相互補(bǔ)充、動態(tài)運(yùn)演的過程。師范生在實(shí)施活動教學(xué)時，由于對課堂的掌控能力還沒有達(dá)到一定的火候，往往在不經(jīng)意間就把高認(rèn)知水平的活動降格成了低認(rèn)知水平的任務(wù)。

（四） 總結(jié)

1. 課堂教學(xué)的整體情況

按一般的做法，先把各位師范生分別在情意原理、序進(jìn)原理和活動原理上的得分累積起來，獲得關(guān)于課堂教學(xué)的一個整體直觀印象（如圖1所示）。有一些師范生能講好一堂課，有的則不然，師范生之間的差別是很大的。對每一個個體而言，在每一種成分上的得分也不盡相同，有的甚至差別較大。

圖1 師范生融合內(nèi)容與教學(xué)的知識

下面，再深入分析影響課堂教學(xué)水平的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

2. 采用內(nèi)容測量法和主觀測量法相結(jié)合的測量法,較準(zhǔn)確地反映了師范生直面課堂教學(xué)的融合內(nèi)容的教學(xué)知識水平,他們水準(zhǔn)大致分為三個等級。

教學(xué)是教師與學(xué)生一起理解和回應(yīng)情境的過程。理解總是要比照他人的經(jīng)驗(yàn)，理解水平的提高需要有人（尤其是水平更高的人，如教師）“結(jié)伴而行”。[20]教師根據(jù)自身的學(xué)養(yǎng)，在實(shí)施情意原理的過程中，創(chuàng)設(shè)了反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題情境，然后，學(xué)生、教師、教學(xué)媒介和內(nèi)容情境營造了一個認(rèn)知場。在這個認(rèn)知場中，活躍著兩條線：一條是教師活動的主線，另一條是學(xué)生活動的主線，師生共同承擔(dān)知識獲取的職責(zé)。要獲得課堂教學(xué)的真實(shí)圖景，就要收集教師和學(xué)生的有關(guān)數(shù)據(jù)，并把它們?nèi)跒橐惑w，這正是學(xué)習(xí)者視角（The Learner’s Perspective Study, LPS）所秉持的觀點(diǎn)。

情意原理和序進(jìn)原理的實(shí)施充分反映了教師對學(xué)科知識本質(zhì)的認(rèn)識及在教學(xué)情境中教育取向的轉(zhuǎn)化，活動原理的實(shí)施成效充分體現(xiàn)了教師的學(xué)科知識教育取向轉(zhuǎn)化的成效。因而，要收集數(shù)據(jù)捕捉雙方的觀點(diǎn)并把它們?nèi)跒橐惑w，即要采用學(xué)習(xí)者視角收集和處理數(shù)據(jù)。按“問題——還原知識的原發(fā)現(xiàn)過程——還原學(xué)生的思維過程”這樣一條邏輯線索考察師范生直面課堂教學(xué)的融合內(nèi)容的教學(xué)知識。為了評價教師面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識水平，應(yīng)著重考察教師在揭示知識發(fā)生發(fā)展過程中表現(xiàn)出來的水準(zhǔn)。因此，從教師對教材內(nèi)容的理解、實(shí)施和開展學(xué)生經(jīng)驗(yàn)活動兩方面來考量師范生在課堂教學(xué)中表現(xiàn)出來的面向教學(xué)數(shù)學(xué)知識的綜合水平：設(shè)代表師范生的平均得分，a 代表師范生在序進(jìn)原理上的得分，b代表師范生在活動原理上的得分，提出經(jīng)驗(yàn)公式=λa +μb ，其中λ,μ是參數(shù)且都大于0，且λ+μ=1。當(dāng)λ=μ=0.5時，即認(rèn)為教師的導(dǎo)引和由此產(chǎn)生的學(xué)生活動同等重要時，那么得分從高到低的順序：。當(dāng)λ=0.4，μ=0.6，即認(rèn)為教師的導(dǎo)引應(yīng)該以促進(jìn)并服務(wù)學(xué)生的學(xué)習(xí)，教學(xué)應(yīng)尊重學(xué)生的心理時，那么得分由高到低的順序是：。因此，師范生在課堂教學(xué)中表現(xiàn)出來的融合內(nèi)容的教學(xué)知識水準(zhǔn)大致分為三個等級：小B、小D；小C、小A、小F；小E。這和師范生的自我感覺大致一致。采用這樣一種內(nèi)容測量法和主觀測量法相結(jié)合的測量法較準(zhǔn)確地反映了師范生直面課堂教學(xué)的融合內(nèi)容的教學(xué)知識水平。

（五） 結(jié)論

師范生的教學(xué)水平大致分布在前三個等級上，師范生對學(xué)與教的理解有明顯的缺失。師范生對數(shù)學(xué)的理解達(dá)不到方法-探究水平，對教材的理解停留在概念和解題水平，又不能“診斷”和“預(yù)測”學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，加之經(jīng)驗(yàn)的缺乏，自然導(dǎo)致其對學(xué)與教的理解有明顯的缺失。從師范生的課堂教學(xué)的表現(xiàn)來看，如果在實(shí)施序進(jìn)原理時，師范生對知識的發(fā)生發(fā)展過程認(rèn)識較為深刻，那么知識安排的序列就與知識發(fā)生的歷史過程擬合得較好；如果在實(shí)施活動原理時，師范生對做數(shù)學(xué)的一般認(rèn)識機(jī)制有一定的體會，那么學(xué)生思維過程的設(shè)計(jì)就與歷史上人們做數(shù)學(xué)的活動經(jīng)驗(yàn)較為相似。數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的知識是影響師范生課堂教學(xué)水平的重要因素。

[1]王潔,顧泠沅.行動教育:教師在職學(xué)習(xí)的范式革新[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,2005.

[2]徐章韜,龔建榮.學(xué)科知識和學(xué)科教學(xué)知識在課堂教學(xué)中的有機(jī)融合[J].教育學(xué)報(bào),2007(6):34-39.

[3]柳笛.美國數(shù)學(xué)教師學(xué)科內(nèi)容知識的述評[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2010(6):74-78.

[4]童莉.數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的新視角——數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識（MPCK）[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2010(2):23-27.

[5]韓繼偉,黃毅英,馬云鵬.中學(xué)數(shù)學(xué)教師的學(xué)科知識[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2009(5):42-45.

[6]汪會玲,劉曉玫.中學(xué)數(shù)學(xué)教師知識結(jié)構(gòu)的調(diào)查與分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2008(6):52-55.

[7]李渺,喻平,唐劍嵐,黃曉學(xué).高中數(shù)學(xué)教師知識結(jié)構(gòu)特征的研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2007(2):55-59.

[8]黃榮金,李業(yè)平.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究[M].上海:上海教育出版社,2012.

[9]徐章韜.青浦經(jīng)驗(yàn):數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的教育表達(dá)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2008(5):6-9.

[10]Kahan J K, et al. The role of mathematics teachers’ content knowledge in their Teaching: A framework for research applied to a study of student teachers[J]. Journal of Mathematics Teacher Education,2003 (6):223-252.

[11]陳云奔.基礎(chǔ)教育教學(xué)改革的四種異化[J].教育學(xué)報(bào),2009(2):66-68.

[12] Barbara M, Kinach. A cognitive strategy for developing pedagogical content knowledge in the secondary mathematics course: Toward a model of effective practice[J]. Teaching and Teacher Education,2002(18):51-71.

[13]Clark, K M(In pres).History of mathematics: Illuminating understanding of school mathematics concepts for prospective mathmatics teachers[J]. Educational Studies in Mathematics,2012,81(1):67-84.

[14]Jankvist U T,Mosvold R,Fauskanger J,Jakobsen A.Mathematical knowledge for teaching in relation to history in mathematics education[C].The conference paper of 12th International Congress on Mathematical education,Seoul,2012.

[15]顧泠沅,易凌峰,聶必凱.尋找中間地帶[M].上海:上海教育出版社,2003 .

[16]代欽,李春蘭.對中國數(shù)學(xué)教育的歷史和發(fā)展之若干問題的理性思考——對張奠宙先生的訪談錄[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2012(1):21-25.

[17]章建躍.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)研究[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2006(7):20-26.

[18]郭思樂.從主要依靠教到主要依靠學(xué):基礎(chǔ)教育的根本改革[J].教育研究,2007(12):15-20.

[19]林崇德.基礎(chǔ)教育改革心理學(xué)研究30年[J].教育研究,2009(4):61-66.

[20]毛齊明.教學(xué)即參與[J].課程·教材·教法,2010(4):29-33.

The Investigation of Knowledge of Content and Teaching of Pre-service Teachers

XU Zhang-tao
(College of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Wuhan,Hubei, 430079)

Drawing on Karan’s framework of teaching process and the basic teaching elements, we develop the Qingpu principles to analyze the classroom teaching. We investigate pre-service teachers’ knowledge of the content and teaching of trigonometric functions. The levels of pre-service teachers distribute three different ranks, in addition to a small number of them with high scores, most of the rest with low scores. This shows pre-service teachers lacking of understanding of learning and teaching. If the pre-service teachers have a more profound understanding of the genesis and development of mathematics knowledge, the arrangement of the sequence of knowledge teaching will fit well with the historical process. If the pre-service teachers know the general mechanisms of doing mathematics, the design of the process of students’thinking will be similar to the mathematics activities experience of the people in the history. The knowledge of the genesis and development of mathematics have important effects on the teaching level of the pre-service teachers.

mathematical knowledge for teaching; knowledge of content and teaching; the genesis and development of mathematics; pre-service teachers

G421

A

10.3969/j.issn.1005-2232.2014.04.007

（責(zé)任編輯：李家成，姚 琳）

（責(zé)任校對：朱振環(huán)，姚 琳）

2014-04-09

2012年湖北省本科高?！皩I(yè)綜合改革試點(diǎn)”項(xiàng)目數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范）專業(yè)綜合改革;2013年湖北省教學(xué)改革項(xiàng)目“師范生拔尖創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的理論與實(shí)踐”（20130930）。

徐章韜,華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院副教授,國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)中心博士后。E-mail：xuzhangtaoyuanyuan@126.com