李大偉，陳云翔，項華春，宋 飛

(1.空軍工程大學(xué) 裝備管理與安全工程學(xué)院，西安710051;2.解放軍94565 部隊73 分隊，安徽 蚌埠233000)

1 引 言

可靠性分配是指將系統(tǒng)設(shè)計中規(guī)定的可靠性指標(biāo)按照一定的算法分配給各個分系統(tǒng)、部件和元器件，是系統(tǒng)論證、方案設(shè)計乃至工程研制階段的重要工作［1－2］?？煽啃苑峙涞目茖W(xué)性對保證指標(biāo)的實現(xiàn)至關(guān)重要。目前，工程上常用的可靠性分配方法有等分配法、比例分配法、AGREE 分配法(考慮重要度和復(fù)雜度的分配法)、評分分配法和工程加權(quán)法等［3］。等分配法是建立在各個分系統(tǒng)重要度、復(fù)雜度等一樣的前提下，過于理想化。比例分配法需要找到與該系統(tǒng)非常相似的系統(tǒng)作為參照，不具有一般性。AGREE 分配法、評分分配法和工程加權(quán)法雖然考慮到影響系統(tǒng)可靠性的諸多因素，但都不夠全面。同時，上述這些方法都是針對串聯(lián)系統(tǒng)的［4］。

重要度是可靠性分配中一個非常重要的影響因素。故障樹是系統(tǒng)可靠性建模的有效工具，傳統(tǒng)的故障樹分析法計算底事件重要度時需要進行不交化運算。文獻［5］給出了一種基于二元決策圖(Binary Decision Diagrams，BDD)的方法，文獻［6］對這兩種方法進行了比較，表明故障樹分析法由于要進行不交化運算，計算結(jié)果存在誤差，BDD 法得到的是精確解。但是BDD 法的計算復(fù)雜度與節(jié)點順序有很大關(guān)系，文獻［7］雖然提出了一種確定最優(yōu)節(jié)點順序的方法，但是算法復(fù)雜度隨底事件個數(shù)呈指數(shù)增長。

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)(Bayesian Network，BN)是進行不確定性概率推理的有效工具，從狀態(tài)描述和推理機制看，它比故障樹分析適用范圍更廣，非常適用于可靠性分析［8］?；谝陨峡紤]，本文對AGREE 分配法和評分分配法進行了改進，提出了一種綜合考慮重要度、復(fù)雜度、環(huán)境條件、工作時間和技術(shù)成熟度的可靠性分配方法，能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)初步設(shè)計階段系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的快速分配。

2 貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的基本理論

貝葉斯網(wǎng)絡(luò)由Pearl 于1986年提出，是一個包含條件概率表的有向無環(huán)圖。BN 能表示大規(guī)模變量集合的聯(lián)合概率分布，可以分析大量變量之間的相互關(guān)系，利用貝葉斯定理揭示的學(xué)習(xí)和統(tǒng)計推斷功能，實現(xiàn)預(yù)測、診斷和聚類等任務(wù)［9］。

貝葉斯網(wǎng)由代表變量的節(jié)點和連接節(jié)點的有向邊組成，一個簡單的包括6 個節(jié)點的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)如圖1所示。

圖1 簡單的貝葉斯網(wǎng)舉例Fig.1 Example of a simple Bayesian network

一個具有N 個節(jié)點的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)可以用一個二元組N = ＜＜V，E ＞P ＞描述，包括兩部分，下面分別介紹。

(1)＜V，E ＞表示一個有向非循環(huán)圖G。網(wǎng)絡(luò)圖中的節(jié)點V={V1，V2，…，VN}(N≥1)表示變量，變量可以是任何問題的抽象。網(wǎng)絡(luò)圖中節(jié)點間的有向邊E 是弧的集合，表示節(jié)點變量之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。對于網(wǎng)絡(luò)圖中的有向邊(Vi，Vj)，將Vi稱為Vj的父節(jié)點，Vj稱為Vi的子節(jié)點。沒有父節(jié)點的節(jié)點稱之為根節(jié)點，沒有子節(jié)點的節(jié)點稱為葉節(jié)點。網(wǎng)絡(luò)圖中，用pa(Vi)表示Vi的父節(jié)點集合，A(Vi)表示Vi的非后代節(jié)點集合。

有向圖＜V，E ＞蘊含了非常重要的條件獨立性假設(shè)，即在給定的pa(Vi)下，Vi與A(Vi)條件獨立，即

P(Vi|pa(Vi)，A(Vi))=P(Vi|pa(Vi))

(2)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)圖中P 表示一個與每個節(jié)點相關(guān)的條件概率分布(Conditional Probabilities Distribution，CPD)。由條件獨立性假設(shè)可知，貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的條件概率分布可表示為P(Vi|pa(Vi))，它代表節(jié)點和其父節(jié)點的關(guān)聯(lián)關(guān)系。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)圖中根節(jié)點的先驗概率和非根節(jié)點條件概率給定時，就可得到包括所有節(jié)點的聯(lián)合概率分布

圖1中的聯(lián)合概率分布函數(shù)可表示為

當(dāng)根節(jié)點先驗概率和節(jié)點間條件概率給定時，就可得到任意節(jié)點的邊緣概率

3 貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的定量分析

由于在BN 中避免了底事件不交化運算，因此計算得到的底事件重要度是精確解。傳統(tǒng)故障樹(Fault Tree，F(xiàn)T)中最小割集、底事件重要度等運算在BN 中都很容易實現(xiàn)。

3.1 故障樹向貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)化方法

FT 向BN 轉(zhuǎn)化的算法如下:

Step 1:對FT 中的每個底事件，在BN 中建立一個根節(jié)點，對該根節(jié)點進行命名。對FT 中重復(fù)出現(xiàn)的事件，只需用一個節(jié)點表示;

Step 2:按照FT 中底事件的失效分布確定BN中對應(yīng)根節(jié)點的先驗概率分布;

Step 3:對FT 中的邏輯門，在BN 中建立一個節(jié)點，節(jié)點狀態(tài)取值與邏輯門的輸出事件一致。FT 的頂事件即為BN 總的輸出節(jié)點;

Step 4:按照FT 中邏輯門的輸入輸出關(guān)系確定BN 中節(jié)點之間的連接關(guān)系。

根據(jù)以上算法，任何故障樹都可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)圖。典型的故障樹邏輯門對應(yīng)的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)及相應(yīng)的條件概率如圖2所示。

圖2 典型故障樹邏輯門對應(yīng)的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)Fig.2 Corresponding BN of typical gate for FT

3.2 最小割集求解

在故障樹分析中，求解最小割集需先找出所有的割集，然后利用吸收律和等冪律將割集最小化，過程非常復(fù)雜，利用BN 求解最小割集則較為容易，求解過程可參見文獻［8］。

3.3 底事件重要度計算

底事件重要度表示了底事件對頂事件的貢獻，用于改進系統(tǒng)設(shè)計、確定需要重點監(jiān)控的部位和制定故障診斷時的核對清單等。利用BN 中的精確推算法可以求出根節(jié)點Ei的重要度。

(1)概率重要度

概率重要度又稱Birnbaum 重要度，指在只有第i 個部件由正常狀態(tài)轉(zhuǎn)為故障狀態(tài)時使頂事件發(fā)生概率的變化。概率重要度度量了部件i 所導(dǎo)致的頂事件發(fā)生概率的變化，它并沒有直接考慮部件i 實際發(fā)生的概率。概率重要度表示如下:

(2)關(guān)鍵重要度

為考慮那些不僅對頂事件的發(fā)生起關(guān)鍵作用，自身發(fā)生概率也很高或者能夠改進的部件，就需要采用一種修正Birnbaum 重要度的重要度計算方法。關(guān)鍵重要度是指部件i 故障概率的變化率與它引起頂事件發(fā)生概率的變化率之比，計算公式為

(3)結(jié)構(gòu)重要度

結(jié)構(gòu)重要度表示第i 個部件在系統(tǒng)中所處位置的重要程度，與部件本身的故障概率沒有關(guān)系，表示為

4 系統(tǒng)可靠性指標(biāo)分配模型

4.1 可靠性指標(biāo)分配的原則

(1)重要程度

根據(jù)部件的重要程度評定，重要度高的部件分配較高的可靠性指標(biāo)。由于在系統(tǒng)初步設(shè)計階段底事件的發(fā)生概率是未知的，因此，以結(jié)構(gòu)重要度ISti表征部件的重要程度，ISti∈［0，1］。

(2)復(fù)雜程度

根據(jù)組成系統(tǒng)的部件數(shù)量以及組裝的難易程度評定，復(fù)雜的部件分配較低的可靠性指標(biāo)。

(3)技術(shù)成熟度

根據(jù)下屬部件的技術(shù)水平和成熟度來評定，技術(shù)上不成熟的部件分配較低的可靠性指標(biāo)。

(4)環(huán)境條件

根據(jù)部件所處的環(huán)境評定，工作環(huán)境嚴(yán)酷的部件分配較低的可靠性指標(biāo)。

(5)工作時間

根據(jù)部件工作時間來評定，工作時間長的部件分配較低的可靠性指標(biāo)。

4.2 基于模糊數(shù)的底事件評分

在傳統(tǒng)的評分分配法中，專家按照10 分制對復(fù)雜程度、技術(shù)成熟度、環(huán)境條件和工作時間進行打分［1］，由于分值范圍大，給專家打分帶來困難。由于專家的偏好判斷和信息的不完全等原因，用模糊數(shù)來進行刻畫專家打分更符合實際［10］。

考慮到不同專家的專業(yè)水平和經(jīng)驗，假設(shè)n 個專家的權(quán)重分別為λ1，λ2，…，λn，專家對第k 個指標(biāo)的打分用三角模糊數(shù)可表示為珘A1=(l1，m1，u1)，=(l2，m2，u2)，…，=(ln，mn，un)。根據(jù)三角模糊數(shù)的運算法則［11］，則所有專家的綜合打分 珘Ak可用模糊數(shù)表示為

4.3 可靠性指標(biāo)分配建模

在系統(tǒng)可靠性設(shè)計中，由于系統(tǒng)組成的復(fù)雜性、底事件可靠性指標(biāo)獲取困難，要做到分配結(jié)果的絕對精確是不可能的，在初步設(shè)計時沒有必要浪費大量的時間和精力。因此，在把握總的設(shè)計原則的前提下，能滿足頂層可靠性指標(biāo)即可。

(1)基于最小割集的父節(jié)點可靠性指標(biāo)分配

最小割集重要度主要用于系統(tǒng)故障診斷的排序中，每個最小割集代表一個故障模式。按照最小割集重要度一致的思想，將頂層可靠性指標(biāo)等分:

式中，PT為父節(jié)點的可靠性指標(biāo)，K 為最小割集，m為最小割集數(shù)，PK為最小割集分配的可靠性指標(biāo)。

(2)基于結(jié)構(gòu)重要度和根節(jié)點評分的最小割集可靠性指標(biāo)分配

若最小割集中包含1 階最小割集，首先將PK在1 階最小割集之間分配。假設(shè)故障樹共包含h 個1階最小割集Ki(i=1，2，…，h)，分別對應(yīng)根節(jié)點Ei，則

式中，PKi表示第i 個1 階最小割集分配的可靠性指標(biāo)，Ci為最小割集對應(yīng)的根節(jié)點Ei的綜合評分，rij為根節(jié)點Ei第j 個因素的評分。

并且滿足約束

則根節(jié)點Ei分配的可靠性指標(biāo)PEi為

對1 階以上最小割集，根據(jù)可靠性指標(biāo)分配的原則，將最小割集的可靠性指標(biāo)向根節(jié)點進行分配。假設(shè)某最小割集K 共包括n 個根節(jié)點Ei(i =1，2，…，n)，則有

式中，Ci、rij定義同前。

且滿足約束

則有

式中，PEik表示由于最小割集中存在交集時PEi的第k 個分配值。

5 案例

以某型飛機橫向電傳操縱系統(tǒng)“喪失平尾的滾轉(zhuǎn)控制功能”為頂事件構(gòu)建故障樹，以其中部分子樹(見圖3)為例進行可靠性指標(biāo)分配。圖3中，或門G2、G3 下的底事件是相互獨立的。已知頂事件G1“飛控系統(tǒng)控制失效”的可靠性要求為1. 44×10－4，顯然，G2 和G3 下包含相同的底事件E1、E4和E5，通過故障樹計算時必須進行不交化運算。

圖3 飛行控制系統(tǒng)控制失效的故障樹Fig.3 FT of control failure for flight control system

利用Kevin Murphy 等開發(fā)的基于Matlab 的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)仿真軟件FullBNT［12］，建立了與圖3對應(yīng)的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)，如圖4所示。

圖4 飛控系統(tǒng)控制失效的貝葉斯網(wǎng)絡(luò)Fig.3 BN of control failure for flight control system

根據(jù)上文提出的基于貝葉斯網(wǎng)絡(luò)的最小割集計算方法，得到圖3所示故障樹的最小割集，見表1。

表1 飛控系統(tǒng)控制失效最小割集Table 1 Minimum cut sets of control failure for flight control system

用FullBNT 中聯(lián)合樹推理引擎計算圖4中根節(jié)點結(jié)構(gòu)重要度，并將計算結(jié)果與FTA、BDD 的計算結(jié)果進行對比，列于表2。從表2可以看出，利用BN 和BDD 法計算得到的底事件結(jié)構(gòu)重要度是一致的，F(xiàn)TA 得到的結(jié)果與上述兩種方法存在誤差，誤差產(chǎn)生的原因是用FTA 求解底事件重要度需進行不交化運算。

表2 結(jié)構(gòu)重要度計算結(jié)果Table 2 Results of structure importance

邀請4 位可靠性專家對10 個底事件在復(fù)雜度、技術(shù)成熟度、環(huán)境條件和工作時間方面進行打分，由層次分析法確定4 位決策專家的權(quán)重分別為λ1=0.277 5、λ2=0.296 2、λ3=0.220 5、λ4=0.205 8。指標(biāo)評語與三角模糊數(shù)的對應(yīng)關(guān)系見表3。

表3 指標(biāo)評語與三角模糊數(shù)之間的關(guān)系Table 3 Relationship between index description and triangular fuzzy numbers

以底事件E1的復(fù)雜度評價為例，4 位決策專家的評語分別為一般、一般、復(fù)雜、復(fù)雜，由式(4)～(5)計算得，E1的復(fù)雜度最終評分為r11=6，類似地可以確定其他底事件相應(yīng)指標(biāo)的評分，結(jié)果列于表4。

表4 專家打分表Table 4 Expert scores

將結(jié)構(gòu)重要度計算結(jié)果和專家評分代入公式(6)～(12)對可靠性進行分配并與AGREE 分配法對比，如表5所示。從表5可知，考慮到底事件的綜合影響因素后，改進方法對1 階最小割集對應(yīng)的底事件中E4、E5的可靠性要求更高，這是由E4、E5的綜合評分Ci決定的。1 階以上最小割集分配的可靠性指標(biāo)數(shù)量級基本一致，但是部分指標(biāo)進行了重新分配。因此，改進方法分配的可靠性指標(biāo)能夠充分考慮到部件重要度、復(fù)雜程度、技術(shù)成熟度、環(huán)境條件、工作時間對可靠性指標(biāo)的影響，能滿足飛機初步設(shè)計階段可靠性分配要求。

表5 可靠性指標(biāo)分配結(jié)果Table 5 Allocation results of reliability index

6 結(jié) 論

(1)通過貝葉斯網(wǎng)絡(luò)求解最小割集避免了用吸收律和等冪律將割集最小化的過程，計算過程簡單。在底事件重要度計算中，貝葉斯網(wǎng)絡(luò)方法得到的是精確解，且易于計算機編程實現(xiàn)。

(2)所建立的可靠性指標(biāo)分配模型能夠全面考慮割集重要度、底事件重要度、復(fù)雜度、環(huán)境條件、工作時間和技術(shù)成熟度的影響，比AGREE 分配法和評分分配法更為科學(xué)。

(3)案例僅給出了與門和或門構(gòu)成的故障樹的可靠性分配，通過將故障樹的其他邏輯門轉(zhuǎn)化為基本邏輯門，能夠?qū)崿F(xiàn)復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性分配，但對于不能轉(zhuǎn)化為與門和或門的邏輯門，該模型還有待進一步完善。

(4)可靠性分配是逐步迭代的過程，本文提出的可靠性性分配模型中底事件重要度按結(jié)構(gòu)重要度計算的，隨著設(shè)計的深入，在獲取底事件實際發(fā)生概率的條件下，可以以概率重要度或關(guān)鍵重要度作為底事件重要度進行分配，模型仍然有效。

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