劉 偉，山拜·達(dá)拉拜

(新疆大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，烏魯木齊830046)

1 引 言

信號去噪問題一直是一個重要而熱門的課題，現(xiàn)在已有多種信號去噪的方法，如維納(Wiener)濾波法、卡爾曼(Kalman)濾波法、減譜法等。小波閾值去噪方法是D.L.Donoho［1－2］在1995年提出的一種簡單有效的去噪方法，由于此方法在Besov 空間上可得到最佳估計值，而線性估計達(dá)不到同樣的結(jié)果，因此引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注。

目前學(xué)術(shù)界對于小波閾值去噪已有較多的研究。文獻(xiàn)［3］研究發(fā)現(xiàn)經(jīng)過小波分解后，不同分解層的系數(shù)對信號和噪聲的比例分布有所不同，利用這一特性改進(jìn)閾值選取，與傳統(tǒng)閾值相比，圖像增強過程中減少了噪聲殘留和誤判。文獻(xiàn)［4］利用平移不變量小波閾值去噪算法，使閾值的變化與噪聲的小波變換隨尺度的變化特性相一致，以期改善去噪效果。文獻(xiàn)［5］總結(jié)了具有代表性的4 種改進(jìn)小波閾值去噪法，通過仿真將各方法去噪結(jié)果進(jìn)行對比，得到兩個重要結(jié)論:在相同實驗條件下，改進(jìn)的閾值法并不絕對優(yōu)于硬、軟閾值法;很難找到一種在任何實驗條件下都絕對優(yōu)越的閾值去噪法。文獻(xiàn)［6］用高斯混合模型來近似小波系數(shù)廣義高斯分布，估計出高斯混合分布的各部分方差，并選擇最小的方差參數(shù)作為噪聲方差估計，這種方法在噪聲方差較小時去噪效果較好。

這些研究都是假設(shè)以高斯噪聲為背景［7］，在簡單的電子設(shè)備中這是合適的。實際設(shè)備非常復(fù)雜，再加上各種各樣外界的干擾，這種假設(shè)不能滿足要求。

本文以雙模噪聲為研究背景，拓展了小波閾值去噪法的應(yīng)用;從數(shù)學(xué)上分析了經(jīng)典算法的缺點，設(shè)計了改進(jìn)的閾值函數(shù)和控制函數(shù)，克服了經(jīng)典算法不足的同時具有信噪比尋優(yōu)能力。仿真結(jié)果表明，該算法是一種性能優(yōu)異的去噪算法。

2 雙模噪聲的數(shù)學(xué)模型和數(shù)字特征

雙模噪聲是由兩種噪聲疊加成的簡單混合噪聲，比高斯噪聲更具一般性，雙模過程主要有3 種模型。

模型1［8］高斯過程g(t)疊加隨機均勻相位振蕩過程Bcos(t)，其概率密度函數(shù)、均值和方差分別為

其中，σ2是高斯分量的方差。

模型2 高斯過程g(t)疊加碼間干擾過程，b ( t)= ±b，其概率密度函數(shù)、均值和方差分別為

模型3 當(dāng)b ＞2σ2，模型3 與模型2 等價，概率密度函數(shù)為

其中，Φ(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，sgn 為符號函數(shù)。

3 小波閾值去噪

3.1 去噪原理

在信號處理中，信號經(jīng)過離散小波變換后［9］，屬于Besov 空間的信號的能量主要集中在小波域內(nèi)有限的幾個系數(shù)中，而噪聲的能量卻分布于整個小波域內(nèi)。因此，經(jīng)小波分解后信號的小波系數(shù)要大于噪聲的小波系數(shù)，可以選擇一個合適的閾值對小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理，就可以把信號系數(shù)保留下來(硬閾值法)或?qū)⑵溥M(jìn)行收縮(軟閾值法)，而使大部分的噪聲系數(shù)置為零，從而達(dá)到去噪的目的。假設(shè)一維觀測信號f(t)=h(t)+n(t)，其中，h(t)為原始信號，n(t)是式(1)描述的雙模噪聲。若用W(·)、W(·)－1分別表示離散小波變換和離散小波逆變換，用D(·，λ)表示對小波系數(shù)閾值處理，那么在含噪信號f(t)中恢復(fù)原始信號的估計值(t)可概括為以下三步:Y = W(f)，R = D(Y，λ)，() t =W(R)－1。

3.2 閾值函數(shù)

經(jīng)典算法的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。

硬閾值函數(shù):

軟閾值函數(shù):

式(8)、(9)中，λ 為閾值，wj，k為小波系數(shù)，為處理后的小波系數(shù)。

硬、軟閾值函數(shù)如圖1所示。

圖1 硬、軟閾值函數(shù)Fig.1 Hard and soft threshold functions

硬閾值函數(shù)不連續(xù)，對數(shù)據(jù)變化反應(yīng)過為靈敏，在重構(gòu)信號時會產(chǎn)生振蕩。軟閾值函數(shù)將絕對值大于閾值的小波系數(shù)進(jìn)行收縮處理，有可能造成高頻信息的損失，其連續(xù)性較好，但小波系數(shù)真實值與估計值存在恒定誤差，在重構(gòu)信號時影響逼近程度。

改進(jìn)的閾值函數(shù):

式(10)中β∈［0，1］為控制因子，用于控制函數(shù)的形狀，即控制函數(shù)曲線的衰減程度，β 越小衰減越嚴(yán)重;當(dāng)β=0 時，新閾值函數(shù)等于軟閾值函數(shù)。

分析圖2可以得出，改進(jìn)閾值函數(shù)在硬、軟閾值函數(shù)之間存在一個平滑過渡的區(qū)域，函數(shù)連續(xù)性更好，恒定誤差小于軟閾值函數(shù)。函數(shù)曲線隨β 的增大，在硬、軟閾值函數(shù)曲線范圍內(nèi)移動，β 越大，越靠近硬閾值函數(shù)曲線。

圖2 改進(jìn)的閾值函數(shù)Fig.2 Improved threshold function

小波閾值的選取很重要。如果閾值太小，那么閾值處理后的小波系數(shù)中包含了過多的噪聲分量;如果閾值太大，那么將會丟失信號的部分有用信息，從而造成重構(gòu)信號失真。1994年Donohue 和Johnstone 推導(dǎo)出了計算閾值的通用公式:

式中，N 是信號長度，σ 為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差。式(12)稱為全局閾值，它是在高斯噪聲的模型上提出的，在非高斯噪聲的情況下，按照不同的分解尺度采用不同的閾值λ。

3.3 去噪過程

(1)選擇小波基:小波基一般根據(jù)信號的特性來選擇，確定分解的層數(shù);

(2)小波分解:對信號進(jìn)行小波分解。進(jìn)行等間隔抽樣，然后對抽樣序列進(jìn)行離散小波變換，得到小波的展開系數(shù);

(3)閾值處理:對每層系數(shù)選擇一個閾值，并且對高頻系數(shù)進(jìn)行閾值量化處理;

(4)信號重構(gòu):用小波分解的低頻系數(shù)和經(jīng)過處理過的各層高頻系數(shù)進(jìn)行小波逆變換，得到原始信號的估計值。

3.4 自適應(yīng)小波閾值去噪

自適應(yīng)去噪過程如圖3所示。

圖3 自適應(yīng)去噪過程Fig.3 The adaptive denoising process

由測試樣本得到控制函數(shù)y =f(β)曲線，分析圖4可知:當(dāng)β∈［0，0.5］時，函數(shù)曲線隨β 的增大而增大;當(dāng)β = 0. 5 時，函數(shù)達(dá)到最大值y－max=37.356 2;當(dāng)β∈［0.5，1］時，函數(shù)曲線隨β 的增大而減小，減小曲線比增大曲線平滑，根據(jù)圖4構(gòu)造控制函數(shù)

圖4 函數(shù)y=f(β)曲線Fig.4 The curve of function y=f(β)

算法步驟描述如下:

(1)初始化參數(shù)，令β =0、i =1，λ 由式(13)確定，設(shè)置迭代次數(shù)i－max;

(2)判斷i ＞i－max是否成立，YES 則算法結(jié)束，NO 則i=i+1 返回步驟3;

(3)對含噪信號進(jìn)行自適應(yīng)去噪處理，處理過程如圖3所示;

(4)判斷β ＞1 是否成立，YES 則算法結(jié)束，NO則β=β+0.01，返回步驟2。

算法流程圖如圖5所示。

圖5 算法流程圖Fig.5 Flow chart of the proposed algorithm

4 仿真實驗

仿真實驗在Matlab 2012a 平臺進(jìn)行，雙模噪聲模型為模型1，用高斯白噪聲疊加隨機振蕩信號產(chǎn)生，隨機振蕩信號幅值不能太大，否則會影響heavy sine 形狀。Coiflet 小波消失矩大，對稱性好，小波分解層數(shù)兼顧去噪效果和實驗對比，選擇coif3 小波進(jìn)行5 層分解。B =4 的雙模噪聲作為測試樣本用于構(gòu)造控制函數(shù)，B=2 的雙模噪聲作為實驗樣本進(jìn)行去噪實驗。3 種去噪方法各實驗50 次，heavy sine去噪前信噪比為19.001 8 dB。

圖6是含噪信號圖形，圖7～9分別是硬閾值法、軟閾值法、自適應(yīng)小波閾值算法的去噪圖形曲線，表1是3 種方法的信噪比(dB)。

圖6 含噪信號Fig.6 Signal with niose

圖7 硬閾值法去噪曲線Fig.7 Denoising result by hard threshold method

圖8 軟閾值法去噪曲線Fig.8 Denoising result by soft threshold method

圖9 自適應(yīng)小波閾值算法去噪曲線Fig.9 Denoising result by adaptive wavelet threshold algorithm

分析圖6～9可知硬、軟閾值法去噪結(jié)果不清晰，比較粗糙;自適應(yīng)小波閾值算法去噪結(jié)果清晰、光滑，更好地抑制了噪聲信號。分析表1可知，新算法信噪比相對硬、軟閾值法分別提高9 dB和4 dB。

表1 3 種方法的信噪比Table1 The signal－to－noise ratio of three methods

5 結(jié) 語

綜上所述，本文在雙模噪聲背景下提出一種自適應(yīng)小波閾值算法，實驗結(jié)果表明該算法具有自適應(yīng)性強、算法簡單、去噪效果好等特點。但是，這只是在一種雙模噪聲模型下進(jìn)行的仿真，如何建立一種通用的算法仍需要研究。再者，如何根據(jù)要求快速準(zhǔn)確地自適應(yīng)確定閾值參數(shù)λ 可作為下一步著手進(jìn)行的工作。

［1］ Donoho D L. De－noising by soft－thresholding［J］. IEEE Transactions on Information Theory，1995，41(3):613－627.

［2］ Zhao S P，Li X W，Xing J H，et al. An Wavelet Image Automatic Threshold Selection Denoising Method［J］.Advanced Materials Research，2012，482(7):780－783.

［3］ You F，Zhang Y. Research of an Improved Wavelet Threshold Denoising Method for Transformer Partial Discharge Signal［J］. Journal of Multimedia，2013，8(1):130－132.

［4］ 程忠良，賈振紅，覃錫忠，等. 基于改進(jìn)閾值的低壓電力線信道中的小波去噪方法［J］. 電訊技術(shù)，2009，49(8):18－22.CHENG Zhong－liang，JIA Zhen－h(huán)ong，QIN Xi－zhong，et al. Based on the improved threshold of wavelet denoising method of low voltage power line channel［J］. Telecommunications Engineering，2009，49(8):18－22.(in Chinese)

［5］ 王拴中，朱玉田. 改進(jìn)小波閾值去噪法的對比性仿真實驗與分析［J］. 噪聲與振動控制，2012，32(1):128－132.WANG Shuan－zhong，ZHU Yu－tian. Improved wavelet threshold denoising method of simulation experiment and comparative analysis［J］. Journal of Noise and Vibration Control，2012，32(1):128－132.(in Chinese)

［6］ 曲巍崴，高峰. 基于噪聲方差估計的小波閾值降噪研究［J］. 機械工程學(xué)報，2010(2):28－33.QU Wei－wei，GAO Feng. Based on noise variance estimation in wavelet threshold denoising study［J］. Journal of Mechanical Engineering，2010(2):28－33.(in Chinese)

［7］ Guo D，Wu Y，Shamai S，et al. Estimation in Gaussian noise:Properties of the minimum mean－ square error［J］. IEEE Transactions on Information Theory，2011，57(4):2371－2385.

［8］ 李世軍，山拜·達(dá)拉拜，金永強. 高斯型混合雙多模噪聲模型分析［J］. 電訊技術(shù)，2005，45(3):55－58.LI Shi－jun，Senbai Dalabaev，JIN Yong－qiang. Double multimode gaussian mixture noise model analysis［J］.Telecommunications Engineering，2005，45(3):55－58.(in Chinese)

［9］ Demirel H，Anbarjafari G. Image resolution enhancement by using discrete and stationary wavelet decomposition［J］. IEEE Transactions on Image Processing，2011，20(5):1458－1460.