冷駿

摘要： 工業(yè)CT技術是目前最常用的一種先進無損檢測手段。其中最常用的圖像重建算法是代數(shù)重建法（ART），它重建圖像的質量和時間受到許多因素的影響。在重建圖像時加入松弛因子可以加快算法的收斂速度，并且還能有效克服迭代過程中的椒鹽噪聲。利用計算機仿真實驗對比分析了松弛因子在不同投影數(shù)下的重建質量，結果表明，在不同的情況下選擇適當?shù)乃沙谝蜃?，可以大大地改善重建圖像的質量。

關鍵詞： 圖像重建； 代數(shù)重建算法； 松弛因子

中圖分類號： TP 391文獻標志碼： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2014.01.010

引言

計算機斷層掃描（Computed Tomography，CT）[12]是計算機與X線檢查技術相結合的產(chǎn)物，它能夠得到被檢測物體的斷層灰度圖像并且不損傷原物體，然后根據(jù)這些灰度值檢測出斷層面的內(nèi)部結構。實際應用中常用濾波反投影算法（FBP）和代數(shù)重建算法（ART）這兩大類方法來實現(xiàn)CT圖像重建。其中濾波反投影算法具有重建速度快，重建質量好的優(yōu)點，但它的局限在于重建前必須有完備的投影數(shù)據(jù)，可完備的投影數(shù)據(jù)在實際操作中卻往往不容易得到。ART算法卻能很好地克服這一缺點，它是運用迭代的方法解線性方程組，實現(xiàn)了在投影數(shù)據(jù)較少的情況下同樣重建出高質量的圖像的目的。雖然ART算法重建的速度較慢，但隨著計算機技術的發(fā)展，計算速度不再是需要考慮的問題，只需把精力集中在如何提高圖像的重建質量上。

本文簡單地介紹了ART算法的基本原理，分析了引入松弛因子的原因和松弛因子的有無對重建圖像質量的影響，借助仿真實驗來研究不同投影數(shù)下選擇松弛因子的標準，盡可能用最短的時間得到最優(yōu)的重建圖像，為實際重建時選擇合適的松弛因子提供理論上的參考依據(jù)。

1ART算法理論

所以實際上用ART算法重建圖像的過程就變成了解一個帶有松弛因子的線性方程系統(tǒng)的過程，因此，提高算法的重建速度和重建質量都與如何選擇合適的松弛因子有很大的關系，特別是在實際的重建過程中。但是目前只有一些基本的標準來規(guī)定如何選擇松弛因子，完整規(guī)范的理論依據(jù)還有待進一步研究。

2松弛因子對重建圖像質量的影響

2.1松弛因子的引入

2.2動態(tài)松弛因子

上述提及到的方法雖然能夠達到不錯的效果，但該方法卻存在很大的局限性，因為不斷變化的實際環(huán)境在實驗室中是不可能模擬出來的，所以需要尋找一種新的選取松弛因子的算法。從ART算法的迭代式（4）可以看出，投影數(shù)據(jù)值和圖像被修正的程度存在著正比例的關系，即投影數(shù)據(jù)值越大，圖像向量被修正的程度也就越大，而且由式（1）可以知道投影值與物體強度衰減的大小也是成正比例關系的。通常選用的常數(shù)松弛因子相當于對所有的投影值都采用了同一個低通濾波器，重建圖像的邊緣看起來比較模糊，因為低通濾波器在抑制高頻噪聲的同時也抑制了圖像本身的高頻成分。基于上述所說的正比例關系，文獻[9]提出了一種能夠反映投影數(shù)據(jù)變化特點的動態(tài)選擇松弛因子的方法。

3實驗分析

3.1常數(shù)形式的松弛因子實驗分析

實驗中選用經(jīng)典的SheppLogan[1011]頭模型作為重建對象，改變投影角數(shù)和松弛因子對其進行迭代，然后分析結果，研究松弛因子λ對重建圖像質量的影響。該實驗中選取的重建圖像大小為128×128。分別選取λ=1，λ=0.2和λ =1.5在投影角數(shù)θ為60個，90個和180個進行一次迭代，所得到的重建圖像如圖2所示。

為了更加客觀地評價重建圖像和原圖像之間存在的誤差，實驗還計算了重建圖像的歸一化平均絕對距離判據(jù)r。實驗中將迭代初值F取為0，松弛因子分別取0.02，0.08，0.2，0.5，1.0和1.5進行實驗仿真。ART算法迭代后的重建圖像與原始圖像的誤差如圖3所示。觀察圖3可以得出結論：ART重建算法進行迭代時，如果投影數(shù)比較多時，可以選取稍小一點的松弛因子；隨著投影數(shù)的減少，就要逐漸選取稍大的松弛因子，但一般不會超過1。如果松弛因子選取過大，則對圖像向量的修正程度就會偏大，重建出的圖像與原圖像有比較大的偏差。如圖中所示當投影數(shù)θ為180個時，松弛因子選擇0.2最佳。一般在有松弛因子的情況下，僅需要4～6次迭代就可以得到比較滿意的重建圖像了。

從實驗結果中可以看出越小的松弛因子重建的圖像越平滑，偽影越少。但是加入松弛因子后，重建圖像的邊緣卻趨于模糊了。

3.2動態(tài)形式的松弛因子實驗分析

用256×256的SheppLogan頭模型來研究動態(tài)松弛因子對圖像重建的影響，式（5）中的λ0通常選擇0.2。選用動態(tài)因子和常數(shù)因子為0.2的圖像重建結果如圖4所示。

由圖4的實驗結果表明：按照文獻[9]所提出的方法選擇動態(tài)松弛因子進行重建，與常數(shù)的松弛因子進行重建結果相對比，動態(tài)松弛因子重建的圖像更清晰，邊界效果更好。

4結論

如上述實驗結果所示，在ART算法中如何選擇松弛因子會直接影響到圖像的重建質量。判斷選擇的松弛因子是否合適時還需要考慮以下兩個因素：投影數(shù)據(jù)的采集方式和測量環(huán)境的噪聲類型。在用ART算法進行圖像重建時，選擇合適的松弛因子可以達到用比較少的迭代次數(shù)得到同等質量的圖像的目的。如果用動態(tài)的方法來選擇松弛因子則可以使重建圖像的邊界效果比較好。今后將進一步實驗研究出更多有效的松弛因子的選取方法，這對工業(yè)CT上實現(xiàn)不完全投影重建具有重要的意義。

參考文獻：

[1]杜磊，徐伯慶，韓彥芳，等.一種CT圖像的肺實質分割方法[J].光學儀器，2011，33（1）：2933.

[2]WU C C，CHENG Y，DING Y L，et al.A novel Xray computed tomography method for fast measurement of multiphase flow[J].Chemical Engineering Science，2007，62（16）：432535.

[3]張順利，張定山，李山，等.ART算法快速圖像重建研究[J].計算機工程與應用，2006，42（24）：13.

[4]HERMAN G L.Image reconstruction from projections：the fundamentals of computerized tomography[M].New York：Academic Press，1980：1825.

[5]侯慧杰，白劍，楊國光.全景環(huán)形透鏡三維空間成像展開算法的研究[J].光學儀器，2005，27（6）：4347.

[6]GUAN H，GORDON R.A projection access order for speedy convergence of ART：a multilevel scheme for computed tomography[J].Physics in Medicine and Biology，1994，39（11）：20052022.

[7]孔繁華，潘晉孝.帶有松弛因子的迭代法在圖像重建中的應用[J].華北工學院學報，2004，25（6）：472475.

[8]MUELLER K，YAGEL R，CORNHILL J F.The weighted distance scheme：a globally optimizing projection ordering method for the Algebraic reconstruction technique（ART）[J].IEEE Transactions on Medical Imaging，1997，16（2）：223 230.

[9]徐培鳳，李正明，孫俊.基于圖像的自動曝光算法研究[J].光學儀器，2005，27（2）：5961.

[10]王亮，壽永熙，秦俊平.圖像重建迭代算法的研究[J].黑龍江科技信息，2011（21）：72，241.

[11]吳琨.錐束CT迭代算法中投影排序與子集劃分的研究[D].太原：中北大學，2011.

摘要： 工業(yè)CT技術是目前最常用的一種先進無損檢測手段。其中最常用的圖像重建算法是代數(shù)重建法（ART），它重建圖像的質量和時間受到許多因素的影響。在重建圖像時加入松弛因子可以加快算法的收斂速度，并且還能有效克服迭代過程中的椒鹽噪聲。利用計算機仿真實驗對比分析了松弛因子在不同投影數(shù)下的重建質量，結果表明，在不同的情況下選擇適當?shù)乃沙谝蜃?，可以大大地改善重建圖像的質量。

關鍵詞： 圖像重建； 代數(shù)重建算法； 松弛因子

中圖分類號： TP 391文獻標志碼： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2014.01.010

引言

計算機斷層掃描（Computed Tomography，CT）[12]是計算機與X線檢查技術相結合的產(chǎn)物，它能夠得到被檢測物體的斷層灰度圖像并且不損傷原物體，然后根據(jù)這些灰度值檢測出斷層面的內(nèi)部結構。實際應用中常用濾波反投影算法（FBP）和代數(shù)重建算法（ART）這兩大類方法來實現(xiàn)CT圖像重建。其中濾波反投影算法具有重建速度快，重建質量好的優(yōu)點，但它的局限在于重建前必須有完備的投影數(shù)據(jù)，可完備的投影數(shù)據(jù)在實際操作中卻往往不容易得到。ART算法卻能很好地克服這一缺點，它是運用迭代的方法解線性方程組，實現(xiàn)了在投影數(shù)據(jù)較少的情況下同樣重建出高質量的圖像的目的。雖然ART算法重建的速度較慢，但隨著計算機技術的發(fā)展，計算速度不再是需要考慮的問題，只需把精力集中在如何提高圖像的重建質量上。

本文簡單地介紹了ART算法的基本原理，分析了引入松弛因子的原因和松弛因子的有無對重建圖像質量的影響，借助仿真實驗來研究不同投影數(shù)下選擇松弛因子的標準，盡可能用最短的時間得到最優(yōu)的重建圖像，為實際重建時選擇合適的松弛因子提供理論上的參考依據(jù)。

1ART算法理論

所以實際上用ART算法重建圖像的過程就變成了解一個帶有松弛因子的線性方程系統(tǒng)的過程，因此，提高算法的重建速度和重建質量都與如何選擇合適的松弛因子有很大的關系，特別是在實際的重建過程中。但是目前只有一些基本的標準來規(guī)定如何選擇松弛因子，完整規(guī)范的理論依據(jù)還有待進一步研究。

2松弛因子對重建圖像質量的影響

2.1松弛因子的引入

2.2動態(tài)松弛因子

上述提及到的方法雖然能夠達到不錯的效果，但該方法卻存在很大的局限性，因為不斷變化的實際環(huán)境在實驗室中是不可能模擬出來的，所以需要尋找一種新的選取松弛因子的算法。從ART算法的迭代式（4）可以看出，投影數(shù)據(jù)值和圖像被修正的程度存在著正比例的關系，即投影數(shù)據(jù)值越大，圖像向量被修正的程度也就越大，而且由式（1）可以知道投影值與物體強度衰減的大小也是成正比例關系的。通常選用的常數(shù)松弛因子相當于對所有的投影值都采用了同一個低通濾波器，重建圖像的邊緣看起來比較模糊，因為低通濾波器在抑制高頻噪聲的同時也抑制了圖像本身的高頻成分?；谏鲜鏊f的正比例關系，文獻[9]提出了一種能夠反映投影數(shù)據(jù)變化特點的動態(tài)選擇松弛因子的方法。

3實驗分析

3.1常數(shù)形式的松弛因子實驗分析

實驗中選用經(jīng)典的SheppLogan[1011]頭模型作為重建對象，改變投影角數(shù)和松弛因子對其進行迭代，然后分析結果，研究松弛因子λ對重建圖像質量的影響。該實驗中選取的重建圖像大小為128×128。分別選取λ=1，λ=0.2和λ =1.5在投影角數(shù)θ為60個，90個和180個進行一次迭代，所得到的重建圖像如圖2所示。

為了更加客觀地評價重建圖像和原圖像之間存在的誤差，實驗還計算了重建圖像的歸一化平均絕對距離判據(jù)r。實驗中將迭代初值F取為0，松弛因子分別取0.02，0.08，0.2，0.5，1.0和1.5進行實驗仿真。ART算法迭代后的重建圖像與原始圖像的誤差如圖3所示。觀察圖3可以得出結論：ART重建算法進行迭代時，如果投影數(shù)比較多時，可以選取稍小一點的松弛因子；隨著投影數(shù)的減少，就要逐漸選取稍大的松弛因子，但一般不會超過1。如果松弛因子選取過大，則對圖像向量的修正程度就會偏大，重建出的圖像與原圖像有比較大的偏差。如圖中所示當投影數(shù)θ為180個時，松弛因子選擇0.2最佳。一般在有松弛因子的情況下，僅需要4～6次迭代就可以得到比較滿意的重建圖像了。

從實驗結果中可以看出越小的松弛因子重建的圖像越平滑，偽影越少。但是加入松弛因子后，重建圖像的邊緣卻趨于模糊了。

3.2動態(tài)形式的松弛因子實驗分析

用256×256的SheppLogan頭模型來研究動態(tài)松弛因子對圖像重建的影響，式（5）中的λ0通常選擇0.2。選用動態(tài)因子和常數(shù)因子為0.2的圖像重建結果如圖4所示。

由圖4的實驗結果表明：按照文獻[9]所提出的方法選擇動態(tài)松弛因子進行重建，與常數(shù)的松弛因子進行重建結果相對比，動態(tài)松弛因子重建的圖像更清晰，邊界效果更好。

4結論

如上述實驗結果所示，在ART算法中如何選擇松弛因子會直接影響到圖像的重建質量。判斷選擇的松弛因子是否合適時還需要考慮以下兩個因素：投影數(shù)據(jù)的采集方式和測量環(huán)境的噪聲類型。在用ART算法進行圖像重建時，選擇合適的松弛因子可以達到用比較少的迭代次數(shù)得到同等質量的圖像的目的。如果用動態(tài)的方法來選擇松弛因子則可以使重建圖像的邊界效果比較好。今后將進一步實驗研究出更多有效的松弛因子的選取方法，這對工業(yè)CT上實現(xiàn)不完全投影重建具有重要的意義。

參考文獻：

[1]杜磊，徐伯慶，韓彥芳，等.一種CT圖像的肺實質分割方法[J].光學儀器，2011，33（1）：2933.

[2]WU C C，CHENG Y，DING Y L，et al.A novel Xray computed tomography method for fast measurement of multiphase flow[J].Chemical Engineering Science，2007，62（16）：432535.

[3]張順利，張定山，李山，等.ART算法快速圖像重建研究[J].計算機工程與應用，2006，42（24）：13.

[4]HERMAN G L.Image reconstruction from projections：the fundamentals of computerized tomography[M].New York：Academic Press，1980：1825.

[5]侯慧杰，白劍，楊國光.全景環(huán)形透鏡三維空間成像展開算法的研究[J].光學儀器，2005，27（6）：4347.

[6]GUAN H，GORDON R.A projection access order for speedy convergence of ART：a multilevel scheme for computed tomography[J].Physics in Medicine and Biology，1994，39（11）：20052022.

[7]孔繁華，潘晉孝.帶有松弛因子的迭代法在圖像重建中的應用[J].華北工學院學報，2004，25（6）：472475.

[8]MUELLER K，YAGEL R，CORNHILL J F.The weighted distance scheme：a globally optimizing projection ordering method for the Algebraic reconstruction technique（ART）[J].IEEE Transactions on Medical Imaging，1997，16（2）：223 230.

[9]徐培鳳，李正明，孫俊.基于圖像的自動曝光算法研究[J].光學儀器，2005，27（2）：5961.

[10]王亮，壽永熙，秦俊平.圖像重建迭代算法的研究[J].黑龍江科技信息，2011（21）：72，241.

[11]吳琨.錐束CT迭代算法中投影排序與子集劃分的研究[D].太原：中北大學，2011.

摘要： 工業(yè)CT技術是目前最常用的一種先進無損檢測手段。其中最常用的圖像重建算法是代數(shù)重建法（ART），它重建圖像的質量和時間受到許多因素的影響。在重建圖像時加入松弛因子可以加快算法的收斂速度，并且還能有效克服迭代過程中的椒鹽噪聲。利用計算機仿真實驗對比分析了松弛因子在不同投影數(shù)下的重建質量，結果表明，在不同的情況下選擇適當?shù)乃沙谝蜃樱梢源蟠蟮馗纳浦亟▓D像的質量。

關鍵詞： 圖像重建； 代數(shù)重建算法； 松弛因子

中圖分類號： TP 391文獻標志碼： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2014.01.010

引言

計算機斷層掃描（Computed Tomography，CT）[12]是計算機與X線檢查技術相結合的產(chǎn)物，它能夠得到被檢測物體的斷層灰度圖像并且不損傷原物體，然后根據(jù)這些灰度值檢測出斷層面的內(nèi)部結構。實際應用中常用濾波反投影算法（FBP）和代數(shù)重建算法（ART）這兩大類方法來實現(xiàn)CT圖像重建。其中濾波反投影算法具有重建速度快，重建質量好的優(yōu)點，但它的局限在于重建前必須有完備的投影數(shù)據(jù)，可完備的投影數(shù)據(jù)在實際操作中卻往往不容易得到。ART算法卻能很好地克服這一缺點，它是運用迭代的方法解線性方程組，實現(xiàn)了在投影數(shù)據(jù)較少的情況下同樣重建出高質量的圖像的目的。雖然ART算法重建的速度較慢，但隨著計算機技術的發(fā)展，計算速度不再是需要考慮的問題，只需把精力集中在如何提高圖像的重建質量上。

本文簡單地介紹了ART算法的基本原理，分析了引入松弛因子的原因和松弛因子的有無對重建圖像質量的影響，借助仿真實驗來研究不同投影數(shù)下選擇松弛因子的標準，盡可能用最短的時間得到最優(yōu)的重建圖像，為實際重建時選擇合適的松弛因子提供理論上的參考依據(jù)。

1ART算法理論

所以實際上用ART算法重建圖像的過程就變成了解一個帶有松弛因子的線性方程系統(tǒng)的過程，因此，提高算法的重建速度和重建質量都與如何選擇合適的松弛因子有很大的關系，特別是在實際的重建過程中。但是目前只有一些基本的標準來規(guī)定如何選擇松弛因子，完整規(guī)范的理論依據(jù)還有待進一步研究。

2松弛因子對重建圖像質量的影響

2.1松弛因子的引入

2.2動態(tài)松弛因子

上述提及到的方法雖然能夠達到不錯的效果，但該方法卻存在很大的局限性，因為不斷變化的實際環(huán)境在實驗室中是不可能模擬出來的，所以需要尋找一種新的選取松弛因子的算法。從ART算法的迭代式（4）可以看出，投影數(shù)據(jù)值和圖像被修正的程度存在著正比例的關系，即投影數(shù)據(jù)值越大，圖像向量被修正的程度也就越大，而且由式（1）可以知道投影值與物體強度衰減的大小也是成正比例關系的。通常選用的常數(shù)松弛因子相當于對所有的投影值都采用了同一個低通濾波器，重建圖像的邊緣看起來比較模糊，因為低通濾波器在抑制高頻噪聲的同時也抑制了圖像本身的高頻成分?；谏鲜鏊f的正比例關系，文獻[9]提出了一種能夠反映投影數(shù)據(jù)變化特點的動態(tài)選擇松弛因子的方法。

3實驗分析

3.1常數(shù)形式的松弛因子實驗分析

實驗中選用經(jīng)典的SheppLogan[1011]頭模型作為重建對象，改變投影角數(shù)和松弛因子對其進行迭代，然后分析結果，研究松弛因子λ對重建圖像質量的影響。該實驗中選取的重建圖像大小為128×128。分別選取λ=1，λ=0.2和λ =1.5在投影角數(shù)θ為60個，90個和180個進行一次迭代，所得到的重建圖像如圖2所示。

為了更加客觀地評價重建圖像和原圖像之間存在的誤差，實驗還計算了重建圖像的歸一化平均絕對距離判據(jù)r。實驗中將迭代初值F取為0，松弛因子分別取0.02，0.08，0.2，0.5，1.0和1.5進行實驗仿真。ART算法迭代后的重建圖像與原始圖像的誤差如圖3所示。觀察圖3可以得出結論：ART重建算法進行迭代時，如果投影數(shù)比較多時，可以選取稍小一點的松弛因子；隨著投影數(shù)的減少，就要逐漸選取稍大的松弛因子，但一般不會超過1。如果松弛因子選取過大，則對圖像向量的修正程度就會偏大，重建出的圖像與原圖像有比較大的偏差。如圖中所示當投影數(shù)θ為180個時，松弛因子選擇0.2最佳。一般在有松弛因子的情況下，僅需要4～6次迭代就可以得到比較滿意的重建圖像了。

從實驗結果中可以看出越小的松弛因子重建的圖像越平滑，偽影越少。但是加入松弛因子后，重建圖像的邊緣卻趨于模糊了。

3.2動態(tài)形式的松弛因子實驗分析

用256×256的SheppLogan頭模型來研究動態(tài)松弛因子對圖像重建的影響，式（5）中的λ0通常選擇0.2。選用動態(tài)因子和常數(shù)因子為0.2的圖像重建結果如圖4所示。

由圖4的實驗結果表明：按照文獻[9]所提出的方法選擇動態(tài)松弛因子進行重建，與常數(shù)的松弛因子進行重建結果相對比，動態(tài)松弛因子重建的圖像更清晰，邊界效果更好。

4結論

如上述實驗結果所示，在ART算法中如何選擇松弛因子會直接影響到圖像的重建質量。判斷選擇的松弛因子是否合適時還需要考慮以下兩個因素：投影數(shù)據(jù)的采集方式和測量環(huán)境的噪聲類型。在用ART算法進行圖像重建時，選擇合適的松弛因子可以達到用比較少的迭代次數(shù)得到同等質量的圖像的目的。如果用動態(tài)的方法來選擇松弛因子則可以使重建圖像的邊界效果比較好。今后將進一步實驗研究出更多有效的松弛因子的選取方法，這對工業(yè)CT上實現(xiàn)不完全投影重建具有重要的意義。

參考文獻：

[1]杜磊，徐伯慶，韓彥芳，等.一種CT圖像的肺實質分割方法[J].光學儀器，2011，33（1）：2933.

[2]WU C C，CHENG Y，DING Y L，et al.A novel Xray computed tomography method for fast measurement of multiphase flow[J].Chemical Engineering Science，2007，62（16）：432535.

[3]張順利，張定山，李山，等.ART算法快速圖像重建研究[J].計算機工程與應用，2006，42（24）：13.

[4]HERMAN G L.Image reconstruction from projections：the fundamentals of computerized tomography[M].New York：Academic Press，1980：1825.

[5]侯慧杰，白劍，楊國光.全景環(huán)形透鏡三維空間成像展開算法的研究[J].光學儀器，2005，27（6）：4347.

[6]GUAN H，GORDON R.A projection access order for speedy convergence of ART：a multilevel scheme for computed tomography[J].Physics in Medicine and Biology，1994，39（11）：20052022.

[7]孔繁華，潘晉孝.帶有松弛因子的迭代法在圖像重建中的應用[J].華北工學院學報，2004，25（6）：472475.

[8]MUELLER K，YAGEL R，CORNHILL J F.The weighted distance scheme：a globally optimizing projection ordering method for the Algebraic reconstruction technique（ART）[J].IEEE Transactions on Medical Imaging，1997，16（2）：223 230.

[9]徐培鳳，李正明，孫俊.基于圖像的自動曝光算法研究[J].光學儀器，2005，27（2）：5961.

[10]王亮，壽永熙，秦俊平.圖像重建迭代算法的研究[J].黑龍江科技信息，2011（21）：72，241.

[11]吳琨.錐束CT迭代算法中投影排序與子集劃分的研究[D].太原：中北大學，2011.