王寅君，劉 鋒，曾連蓀

（上海海事大學(xué) 信息工程學(xué)院，上海 201306）

隨著寬帶無(wú)線技術(shù)的發(fā)展，人們對(duì)移動(dòng)通信不斷提出更高要求，這就需要采用有效的技術(shù)手段來(lái)提高數(shù)據(jù)速率、擴(kuò)大網(wǎng)絡(luò)覆蓋、提高系統(tǒng)容量、增加帶寬效率并加強(qiáng)系統(tǒng)在各種環(huán)境下的魯棒性。繼續(xù)采用傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)將無(wú)法適應(yīng)未來(lái)無(wú)線應(yīng)用的要求，為了彌補(bǔ)傳統(tǒng)蜂窩網(wǎng)絡(luò)的不足，設(shè)計(jì)新的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)已經(jīng)是必然的趨勢(shì)。在移動(dòng)基站與終端間采用多天線技術(shù)和中繼傳輸成為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)的主要技術(shù)之一。

多輸入多輸出（MIMO）[1]技術(shù)是利用多根發(fā)射天線和多根接收天線進(jìn)行無(wú)線傳輸?shù)募夹g(shù)，是無(wú)線通信智能天線技術(shù)領(lǐng)域的重大突破。它可在不增加系統(tǒng)物理帶寬的情況下，利用多接口多信道同時(shí)進(jìn)行數(shù)據(jù)收發(fā)，能成倍地提高通信系統(tǒng)容量和頻譜利用率，是新一代無(wú)線通信系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一。MIMO的一個(gè)主要特點(diǎn)是能實(shí)現(xiàn)信號(hào)在空間上的復(fù)用，在高性噪比下，我們使用術(shù)語(yǔ)自由度（DoF）來(lái)衡量這一空間復(fù)用增益。

級(jí)聯(lián)中繼技術(shù)[2]，以最簡(jiǎn)單的兩跳中繼為例，就是指將一個(gè)基站-終端鏈路分割為基站-中繼和中繼-目的兩個(gè)鏈路，從而將一個(gè)由于質(zhì)量較差而中斷的鏈路替換為兩個(gè)質(zhì)量較好的級(jí)聯(lián)鏈路，以獲得較高的鏈路容量以及更好的無(wú)線覆蓋。基本的中繼策略主要有兩種，分別是AF（放大轉(zhuǎn)發(fā)）、DF（解碼轉(zhuǎn)發(fā)），其中AF又稱(chēng)為非再生中繼方式，而DF解碼轉(zhuǎn)發(fā)模式又稱(chēng)為再生中繼方式。本文主要考慮DF中繼策略，在這種模式下，以下行傳輸為例，中繼端將接收來(lái)自于基站端的被噪聲干擾的信號(hào)，同時(shí)，它將對(duì)其信號(hào)進(jìn)行解碼處理，以獲得原始信息然后它再對(duì)其重新編碼并以一定功率發(fā)送給用戶端。同時(shí)，因?yàn)榻獯a-轉(zhuǎn)發(fā)中繼方式具有噪聲不會(huì)被二次傳遞的優(yōu)點(diǎn)，已成為了研究領(lǐng)域中主要考慮的中繼轉(zhuǎn)發(fā)方式[3]。在實(shí)際中繼系統(tǒng)中，考慮到中繼節(jié)點(diǎn)的射頻設(shè)備的限制，在同一頻段上很難做到同時(shí)接受和發(fā)送信息，一般采用時(shí)分雙工（TDD）模式，即中繼節(jié)點(diǎn)用不同的時(shí)隙接收和發(fā)送信息；或采用頻分雙工（FDD）模式，即中繼節(jié)點(diǎn)用不同的頻段接收和發(fā)送信息。本文主要考慮TDD模式下的DF中繼策略。

MIMO技術(shù)對(duì)多跳無(wú)線中繼網(wǎng)絡(luò)容量的影響主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：第一，MIMO技術(shù)通過(guò)使用多天線機(jī)制，使節(jié)點(diǎn)能夠同時(shí)與多個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)進(jìn)行并行通信；第二，通過(guò)使用多天線增加空間自由度，能夠增強(qiáng)空間復(fù)用能力，MIMO技術(shù)在這兩個(gè)方面均可提升兩跳無(wú)線網(wǎng)絡(luò)的容量。

目前，MIMO兩跳無(wú)線中繼網(wǎng)絡(luò)容量或自由度問(wèn)題仍是一個(gè)開(kāi)放性課題[4]，對(duì)于MIMO兩跳網(wǎng)絡(luò)的發(fā)送、接收天線數(shù)不同時(shí)的結(jié)論仍未給出。文獻(xiàn)[5]給出了單向MIMO兩跳網(wǎng)絡(luò)發(fā)送、接收天線數(shù)相同時(shí)的容量上、下界表達(dá)式[5]。文獻(xiàn)[6]給出了雙向MIMO兩跳網(wǎng)絡(luò)容量其發(fā)送、接收天線數(shù)相同時(shí)的容量上、下界表達(dá)式[6-7]。

下文將建立典型的MIMO中繼網(wǎng)絡(luò)的模型。著重對(duì)發(fā)送、接收天線數(shù)不同時(shí)的情況進(jìn)行分析，運(yùn)用改進(jìn)型的最大割-最小流定理、迫零法[8]得到網(wǎng)絡(luò)容量與網(wǎng)絡(luò)自由度的上下界，并證明自由度上界可達(dá)。

下文結(jié)構(gòu)如下：第一部分介紹了信道模型。第二部分推導(dǎo)了兩跳級(jí)聯(lián)中繼模型下的容量與自由度的上界，運(yùn)用迫零處理推導(dǎo)了自由度的下界。第三部分進(jìn)行了總結(jié)。

1 系統(tǒng)模型

本文所討論的系統(tǒng)模型如圖1所示，該模型包括了3個(gè)節(jié)點(diǎn)，一個(gè)源節(jié)點(diǎn)，一個(gè)目的節(jié)點(diǎn)，一個(gè)中繼節(jié)點(diǎn)。其中源節(jié)點(diǎn)有根天線，目的節(jié)點(diǎn)有根天線，中繼節(jié)點(diǎn)的根天線分別用于發(fā)送和接收。

由于整個(gè)系統(tǒng)工作在TDD模式下，故系統(tǒng)的消息傳輸分為兩個(gè)時(shí)隙進(jìn)行（因?yàn)椴荒芡瑫r(shí)收發(fā)）：在第一個(gè)時(shí)隙內(nèi)，中繼節(jié)點(diǎn)接收來(lái)自源節(jié)點(diǎn)的消息并進(jìn)行解碼處理，此時(shí)目的節(jié)點(diǎn)不接收消息；在第二個(gè)時(shí)隙內(nèi)，中繼節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)發(fā)處理后的消息給目的節(jié)點(diǎn)，此時(shí)源節(jié)點(diǎn)并不發(fā)送消息。在網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行過(guò)程中，這兩個(gè)時(shí)隙的長(zhǎng)度不一定相等，其具體取值情況取決于各跳傳輸速率的相對(duì)大小。

假定所有的信道都是頻率平坦的，S-R之間的鏈路關(guān)系為

圖1 中繼網(wǎng)絡(luò)模型Fig.1 Model of the relay network

其中，r為N×1的接收向量信號(hào)，H為源節(jié)點(diǎn)至中繼節(jié)點(diǎn)的鏈路傳輸矩陣，其元素為服從N（0，1）、獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，即瑞利衰落信道，n為N×1的高斯白噪聲，滿足公式E{nnH}=IN，發(fā)送端的待發(fā)消息信號(hào)，E為發(fā)送節(jié)點(diǎn)發(fā)射功率。同理R-D之間的鏈路關(guān)系為y=為中繼節(jié)點(diǎn)至目的節(jié)點(diǎn)的鏈路傳輸矩陣，也假設(shè)為瑞利衰落信道，z是方差為σ2n的高斯白噪聲，中繼發(fā)送端t=[t1，t2…tN]T為N×1的轉(zhuǎn)發(fā)信號(hào)，P為中繼節(jié)點(diǎn)發(fā)射功率。不失一般性，假設(shè)發(fā)射功率大小相等（即），下文中統(tǒng)一使用作為發(fā)射功率。

2 系統(tǒng)容量與自由度

在本章中，將先推導(dǎo)出上述MIMO兩跳TDD網(wǎng)絡(luò)的容量與自由度上界，然后通過(guò)使用迫零處理方法來(lái)證明自由度上界是可達(dá)的。

2.1 容量與自由度上界分析

最大流-最小割定理給出了網(wǎng)絡(luò)容量的上界，但其適用于全雙工網(wǎng)絡(luò)。對(duì)于半雙工網(wǎng)絡(luò)，需要進(jìn)行一定改進(jìn)，以反應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的多種狀態(tài)。

如圖2所示，系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)模型工作在TDD模式下，此時(shí)鏈路的每一跳都是下一跳的輸入，網(wǎng)絡(luò)可以看成是由兩個(gè)無(wú)線信道組成的級(jí)聯(lián)信道，即兩個(gè)單用戶的MIMO信道的級(jí)聯(lián)。根據(jù)信息論的知識(shí)，級(jí)聯(lián)信道的容量小于等于它的每一個(gè)子信道的信道容量。如果將源節(jié)點(diǎn)至中繼節(jié)點(diǎn)之間的割集記為Cu1，將中繼節(jié)點(diǎn)至目的節(jié)點(diǎn)之間的割集記為Cu2，那么該網(wǎng)絡(luò)的容量上界為 min（Cu1，Cu2），Cu1，Cu2可以通過(guò)改進(jìn)的最大流-最小割定理[4]求得。

圖2 最大流-最小割圖Fig.2 Sketch map ofmax-flow min-cutmethod

由于網(wǎng)絡(luò)分為兩個(gè)狀態(tài)運(yùn)行，第一個(gè)狀態(tài)中第一跳處于激活狀態(tài)而第二跳為非激活狀態(tài)，故此時(shí)只有一個(gè)割集有效，即源節(jié)點(diǎn)S與中繼節(jié)點(diǎn)R之間的割集Cu1=t1I（s；r）；同理，第二個(gè)狀態(tài)中第一跳處于非激活狀態(tài)而第二跳為激活狀態(tài)，故此時(shí)也只有一個(gè)割集有效，即中繼節(jié)點(diǎn)R與目的節(jié)點(diǎn)D之間的割集Cu2=t2I（t；y），此處已經(jīng)考慮了鏈路激活的時(shí)間。記第一跳鏈路的容量為C1，第二跳鏈路的容量為C2，則兩個(gè)割集簡(jiǎn)化為

故容量上界可以表示為

對(duì)于C1，當(dāng)s為循環(huán)高斯復(fù)隨機(jī)變量時(shí)得到容量值最大值[4]，有公式

其中 N≥M1時(shí)，有 Q=HHH，當(dāng) N＜M1時(shí)，有 Q=HHH。

同理，可推得：

考慮高信噪比的情況，此時(shí)信道容量可以簡(jiǎn)單的表示為

C2=min（M2，N）log（SNR）+o（log（SNR））≈d2log（SNR） （8）

其中SNR為平均信噪比，d1=min（M1，N）為第一跳鏈路的自由度，d2=min（M2，N）為第二跳鏈路的自由度。

2.1.2 N≤m的情況

當(dāng)N≤m時(shí)有Q=HHH，同理運(yùn)用簡(jiǎn)森不等式可得：Cu1≤t1

2.1.3 m＜N＜M 的情況

在m＜N＜M時(shí)，通過(guò)運(yùn)用簡(jiǎn)森不等式，且根據(jù)最優(yōu)時(shí)隙分配，可得到如下結(jié)論：

2.2 自由度下界分析

我們使用線性迫零（ZF）[5]來(lái)求解自由度的下界dlower。先簡(jiǎn)要說(shuō)明下ZF的原理及優(yōu)缺點(diǎn)，迫零的譯碼算法就是找到一個(gè)加權(quán)矩陣 W，使其滿足關(guān)系式：WiHj=1（i=j），WiHj=0（i≠j），這里的Wi和Hj分別表示加權(quán)矩陣W的第i行與信道矩陣H的第j列（符合該條件的加權(quán)矩陣就是H的偽逆矩陣H+）。作為利用信道傳輸矩陣H+的偽逆矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)分離的一種算法，迫零算法能夠消除信號(hào)間的干擾，但是卻放大了被檢測(cè)信號(hào)的噪聲。不過(guò)對(duì)于自由度來(lái)說(shuō)，線性迫零處理即可獲得最大的自由度。

對(duì)于迫零法的運(yùn)用需要注意一點(diǎn)，即迫零法的處理位置，當(dāng)發(fā)送端天線數(shù)小于接收端天線數(shù)時(shí)，在接收端進(jìn)行迫零檢測(cè)即可，當(dāng)發(fā)送端天線數(shù)大于接收端天線數(shù)時(shí)，需要在發(fā)射端進(jìn)行迫零預(yù)編碼。

下界需要討論的情況與上界相同，包括：1）N≥M，2）N≤m，3）m＜N＜M。

2.2.1 N＞M的情況

當(dāng)N＞M時(shí)，第一跳中中繼（接收端）天線數(shù)大于源（發(fā)送端）天線數(shù)，因此我們僅需在中繼（接收端）進(jìn)行ZF檢測(cè)。通過(guò)對(duì)接收信號(hào)乘以信道偽逆矩陣H+，即可得到式子H+r=s+H+n，從該式可以看出，經(jīng)過(guò)迫零處理后用s?恢復(fù)了信號(hào)s。信道H服從瑞利分布，則其依概率為滿秩矩陣，故r（H）=min（M1，N），因此第一跳可用的最大數(shù)據(jù)流為 min（M1，N）=M1。 在第二跳中中繼（發(fā)送端）天線數(shù)大于目的（接收端）天線數(shù)，該情況下需要在發(fā)送端進(jìn)行ZF預(yù)編碼。由于信道矩陣G服從瑞利分布，且為滿秩矩陣，可得第二跳可用的最大數(shù)據(jù)流為min（M2，N）=M2。 此時(shí)需要對(duì)兩跳傳輸數(shù)據(jù)進(jìn)行速率匹配，這可以采用塊衰落模型來(lái)實(shí)現(xiàn)，即s為一個(gè)M1×K的數(shù)據(jù)塊，其中K為M1M2的整數(shù)倍。將待發(fā)送信號(hào)轉(zhuǎn)換為M2個(gè)數(shù)據(jù)流s?，然后乘以信道偽逆矩陣 G+，得到待轉(zhuǎn)發(fā)信號(hào) t=G+?，經(jīng)過(guò)信道G傳輸后目的節(jié)點(diǎn)得到的信號(hào)為

3 結(jié) 論

本文中，推導(dǎo)了MIMO中繼網(wǎng)絡(luò)中源節(jié)點(diǎn)天線數(shù)與目的節(jié)點(diǎn)天線數(shù)不同時(shí)單源-單中繼-單宿網(wǎng)絡(luò)模型的自由度上下界，在上界討論中，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)網(wǎng)絡(luò)自由度都有一定的影響，網(wǎng)絡(luò)3個(gè)量的大小關(guān)系決定了不同情況下的自由度。在下界情況中，我們選用較為簡(jiǎn)單但可行的迫零方法來(lái)求解下界，得到自由度下界與上界相等的結(jié)論。

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