董曉萌,李 樂(lè)

（渭南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 渭南714000）

用正交基的好處在于數(shù)值計(jì)算上，不用正交基計(jì)算不穩(wěn)定，會(huì)隨著計(jì)算過(guò)程逐步積累誤差，可能會(huì)使得誤差過(guò)大計(jì)算結(jié)果根本不可用，而正交基不會(huì)發(fā)生這種問(wèn)題。由于標(biāo)準(zhǔn)正交基在歐氏空間中占有特殊的地位，所以有必要來(lái)討論正交化過(guò)程?；憧傻玫絍的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基要得到這個(gè)結(jié)果很麻煩,如果有很多個(gè)向量計(jì)算量相當(dāng)大，所以想得到一組單位正交的向量組花費(fèi)時(shí)間多，計(jì)算容易出錯(cuò)，所以編寫(xiě)了正交化過(guò)程的C程序，該程序?qū)仃囘M(jìn)一步進(jìn)行Schimidt正交化節(jié)省了時(shí)間，減少了工作量，且提高了效率。

1 Schim idt正交化原理

把一組線性無(wú)關(guān)的向量變成一單位正交向量組的方法稱為 Schimidt（施密特）正交化過(guò)程[1]。

歐氏空間V中任一組線性無(wú)關(guān)的元素α1,α2,…,αs都可以通過(guò)施密特正交化過(guò)程化為兩兩正交的元素 β1,β2,…,βs，且 α1,α2,…,αs與 β1,β2,…,βs等價(jià)，施密特正交化過(guò)程如下[2]：

令 β1=α1

βs=進(jìn)而單位

2 向量正交化的C語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)

C語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)如下[3]。

printf("請(qǐng)輸入需正交化的向量組個(gè)數(shù)相當(dāng)于矩陣的行數(shù)： ");

scanf("%d",&n);

3 實(shí)例分析

例：把 α1=（0,1，-1,1,1）α2=（-1,2，-1,1,2），α3=（-1,1,1,0，-1）,α4=（-1,1,0,1,2）,α5=（1,2,0,0,3）,α6=（-2,1,0,0,0），α7=（-1,0,1,2,0），α8=（0，-1，2,1,1），α9=（2，-1,1，-1,-1），α10=（2,2，-1，-1,1)化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組[4]。

在 C 程序中，輸入向量 α1，α2,α3,α4，α5，α6，α7，α8，α9，α10原始數(shù)據(jù)值，再運(yùn)行相關(guān)程序，就可直接得到施密特Schimidt正交化的向量 γ1,γ2,γ3,γ4,γ5,γ6,γ7,γ8,γ9,γ10，并且和筆算進(jìn)行檢驗(yàn)通過(guò)計(jì)算機(jī)計(jì)算可得到相關(guān)結(jié)果如圖1所示。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)化正交向量組結(jié)果Fig.1 The result of standardized orthogonal vectors

4 結(jié)論

文中通過(guò)比較兩種正交化的計(jì)算方法人工計(jì)算和語(yǔ)言執(zhí)行[5-6]。很明顯,使用語(yǔ)言編寫(xiě)其函數(shù)包，便于應(yīng)用工作者使用，豐富了語(yǔ)言的知識(shí)和擴(kuò)充了語(yǔ)言中的函數(shù)包，計(jì)算簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)化了計(jì)算量，提高了工作效率。計(jì)算不容易出錯(cuò)，并且計(jì)算精度調(diào)至計(jì)算穩(wěn)定，隨著計(jì)算過(guò)程逐步積累,誤差[7-8]較小，是可用的計(jì)算結(jié)果。

[1]徐仲，陸全，張凱院.高等代數(shù)考研教案第[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2009.

[2]王萼芳,石生明.北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3]古萬(wàn)榮.Visual C++輕松入門(mén)[M].北京：人民郵電出版社，2010.

[4]Steven leon.Linear Alegebra with Applications Sixth Edition[M].Beijing：China Machine Press,2004.

[5]羅朝盛，鄭玲利.Visual Basic6.0程序設(shè)計(jì)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2011.

[6]王家文，李仰軍.MATLAB7.0圖像處理[M].長(zhǎng)沙：國(guó)防工業(yè)大學(xué)出版社,2006.

[7]趙建軍，姚剛，王毅，等.某測(cè)量系統(tǒng)誤差源分析及建模[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2014（1）：38-40.ZHAO Jian-jun，YAO Gang，WANG Yi，et al.Analysis and modeling of one measuring system error source[J].Modern Electronics Technique，2014（1）：38-40.

[8]張晏旭，吳鐵柱.高速數(shù)傳信號(hào)角跟蹤及誤差分析[J].電子科技，2012（11）：52-54.ZHANG Yan-xu，WU Tie-zhu.Angel tracking and error analysis for the high speed data transmitting signal[J].Electronic Science and Technology，2012（11）：52-54.