王海舟

(硅湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院 江蘇昆山 215332)

導(dǎo)數(shù)理論在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用探討

王海舟

(硅湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院 江蘇昆山 215332)

數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于實(shí)際生活，也在實(shí)際生活中應(yīng)用。作為一種數(shù)學(xué)工具，導(dǎo)數(shù)被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域。隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的解決需要利用越來(lái)越多的數(shù)學(xué)知識(shí)。導(dǎo)數(shù)是經(jīng)濟(jì)分析的重要工具，優(yōu)化分析經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的實(shí)際問(wèn)題。本文主要對(duì)導(dǎo)數(shù)理論進(jìn)行概述，并在此基礎(chǔ)上探究導(dǎo)數(shù)理論在經(jīng)濟(jì)分析中的具體應(yīng)用。

導(dǎo)數(shù)理論；經(jīng)濟(jì)分析；應(yīng)用；優(yōu)化

在各高校經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)中，經(jīng)濟(jì)學(xué)、高等數(shù)學(xué)是主干課程，要求經(jīng)濟(jì)專業(yè)的學(xué)生不僅具備專業(yè)的經(jīng)濟(jì)知識(shí)，還需會(huì)利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題。在高等數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)是基礎(chǔ)、重要內(nèi)容，是《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中的重要概念[1]。目前，導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛，對(duì)經(jīng)濟(jì)管理、經(jīng)濟(jì)分析具有重要意義，是重要的經(jīng)濟(jì)分析工具。同時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)理論分析經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，可為經(jīng)營(yíng)者的科學(xué)決策提供科學(xué)依據(jù)，從而使決策者結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析的經(jīng)濟(jì)成果采取經(jīng)濟(jì)措施，提高企業(yè)的經(jīng)濟(jì)收益。

一、導(dǎo)數(shù)概念

在數(shù)學(xué)概念里，從數(shù)量關(guān)系角度定義導(dǎo)數(shù)，是在某一函數(shù)中，當(dāng)函數(shù)的自變量發(fā)生變化時(shí)，該函數(shù)的值也會(huì)相應(yīng)的發(fā)生，而導(dǎo)數(shù)反應(yīng)的是函數(shù)值變化的變化率，即快慢程度[2]。例如，在x0有定義的某一范圍內(nèi)，函數(shù)y=f( x)，那么，在x0處，自變量x有增量，記為Δx，且

二、經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的函數(shù)

(一)需求函數(shù)

在經(jīng)濟(jì)管理中，一種商品的需求數(shù)量、影響商品需求數(shù)量的因素的關(guān)系等可用需求函數(shù)表示，其是一種單調(diào)減少函數(shù)。隨著全球經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，越來(lái)越多的因素對(duì)市場(chǎng)商品需求量產(chǎn)生影響，如消費(fèi)者需求、銷售其余、市場(chǎng)價(jià)格、獲取的方便度等。在需求函數(shù)中，自變量是影響需求數(shù)量的各種因素，因變量是需求數(shù)量。例如，對(duì)于某商品而言，如果影響該商品需求量的因素只有市場(chǎng)價(jià)格，商品市場(chǎng)價(jià)格用p表示，商品需求量用Q表示，那么需求函數(shù)為Q=f(p)。

(二)成本函數(shù)

成本函數(shù)是一個(gè)變量、產(chǎn)量的函數(shù)式，指的是在保持要素價(jià)格、技術(shù)水平不變的情況下，成本、產(chǎn)出的關(guān)系[3]。例如，在從事產(chǎn)品生產(chǎn)的企業(yè)中，生產(chǎn)需要的勞動(dòng)力、設(shè)備、場(chǎng)地、原材料等稱之為生產(chǎn)成本。根據(jù)投入不同，生產(chǎn)成本可分為固定成本、可變成本，其中，固定成本指的是在短期時(shí)間內(nèi)，隨著產(chǎn)品的增加，投入不會(huì)變化的成本，可用C1表示，如設(shè)備、廠房等。而可變成本指的是隨產(chǎn)品數(shù)量變化而投入變化的成本，可用C2(q)表示，如工人工資、原材料費(fèi)用等。這樣，企業(yè)在生產(chǎn)q個(gè)單位產(chǎn)品的過(guò)程中，所投入的總成本為C(q)，其函數(shù)表達(dá)式為C2(q)=C1+C2(q)。

(三)收入函數(shù)

在企業(yè)商品銷售中，銷售q數(shù)量的產(chǎn)品，其所獲取的收入即用收入函數(shù)表示，記為R(q)。同時(shí)，隨著產(chǎn)品銷售量的增加，收入增加，所以，收入函數(shù)R(q)為單調(diào)增函數(shù)。若果產(chǎn)品價(jià)格p為常數(shù)，那么總收入為R(q)=pq。但是，在產(chǎn)品的實(shí)際銷售中，當(dāng)銷售量q值增加到一定程度后，市場(chǎng)對(duì)該產(chǎn)品的需求達(dá)到飽和，供大于求，從而造成價(jià)格下降[4]。

(四)利潤(rùn)函數(shù)

對(duì)于市場(chǎng)中的任何產(chǎn)品而言，均存在總投入成本、總收入，而總利潤(rùn)函數(shù)表示的是總收入與總成本的差額，即收入扣除成本后的剩余部分，用總收入減去總成本。如果用L表示利潤(rùn)函數(shù)，根據(jù)收入函數(shù)R(q)、成本函數(shù)C(q)可知L=R(q)-C(q)。

三、導(dǎo)數(shù)理論在經(jīng)濟(jì)分析中的具體應(yīng)用

(一)在資源合理利用中的應(yīng)用

在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，隨著市場(chǎng)范圍的擴(kuò)大，市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)越來(lái)越強(qiáng)，企業(yè)的經(jīng)濟(jì)收益不僅需要市場(chǎng)收入的增加，還需要資源的合理利用，全面利用市場(chǎng)資源，增強(qiáng)市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，提高市場(chǎng)影響力。對(duì)于資源的合理利用而言，主要體現(xiàn)在資源的最大化使用、資源的合理分布。從數(shù)學(xué)角度分析經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，資源利用問(wèn)題，主要是對(duì)最大值、最小值問(wèn)題的解決。而在計(jì)算最值中，導(dǎo)數(shù)發(fā)揮重要的作用，可先對(duì)一階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行計(jì)算進(jìn)而對(duì)駐點(diǎn)進(jìn)行確定，然后通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)計(jì)算最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)，從而對(duì)資源利用的合理性進(jìn)行確定[5]。

例如，某房地產(chǎn)公司在公寓出租時(shí)，需要確定最佳的租金，以確保獲取最大值的收入。假如公司有50套公寓，當(dāng)每間每月租金為180元時(shí)，房間全部租出，而當(dāng)每間每月租金增加10元后，出租出去的公寓便會(huì)少一套，且公司每月要對(duì)出租的公寓進(jìn)行維護(hù)，維修費(fèi)為20元。根據(jù)導(dǎo)數(shù)函數(shù)，將最佳房租設(shè)定為x元，收入函數(shù)為成本函數(shù)公司每月獲取的利潤(rùn)為對(duì)函數(shù)L進(jìn)行求導(dǎo)得令L′=0，得x=350。因此，根據(jù)導(dǎo)數(shù)函數(shù)可知，房地產(chǎn)企業(yè)的每套公寓的每月租金定為350元時(shí)，公司可獲取最大的利潤(rùn)。

(二)在經(jīng)濟(jì)學(xué)邊際分析中的應(yīng)用

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，當(dāng)經(jīng)濟(jì)變量x發(fā)生變化時(shí)，經(jīng)濟(jì)變量y隨之變化，其變化值多用邊際概念表示。邊際概念表示在x的變化量Δx→0時(shí)，y的變化量Δy與Δx的比值變化，在某一給定值附近，當(dāng)x發(fā)生微小變化后，y將產(chǎn)生瞬間變化。指標(biāo)因素x與指標(biāo)y的函數(shù)關(guān)系為 y=f(x)，f(x)的導(dǎo)數(shù)f ′(x)為邊際函數(shù)。邊際函數(shù)包括邊際成本、邊際收入、邊際利潤(rùn)等。在經(jīng)濟(jì)分析中，企業(yè)總成本隨著產(chǎn)品單位的增加而增加，總成本對(duì)產(chǎn)量的變化率即用邊際成本表示，記做MC=C′(q)，因此，總成本函數(shù)對(duì)產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)即為邊際成本函數(shù)，利用微分微分近似理論得知，C( q+1)-C( q)=ΔC≈C′( q)，這樣，在一定產(chǎn)量范圍內(nèi)，再增加一個(gè)單位所需要的成本即可用邊際成本表示[6]。例如，當(dāng)某一產(chǎn)品的成本函數(shù)C( q)=200+0.05q2時(shí)，生產(chǎn)100個(gè)單位產(chǎn)品的邊際成本為C′(100)=0.1× 100=10。

(三)在最小平均可變成本中的應(yīng)用

成本是企業(yè)生產(chǎn)首先考慮的問(wèn)題，是產(chǎn)品價(jià)格定位的關(guān)鍵。在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，一切活動(dòng)均離不開(kāi)費(fèi)用的節(jié)省，企業(yè)、營(yíng)銷商、消費(fèi)者均希望通過(guò)最小的勞動(dòng)量、資金獲取最大的經(jīng)濟(jì)效益。根據(jù)成本函數(shù)，可在最小平均可變成本計(jì)算中合理應(yīng)用導(dǎo)數(shù)函數(shù)。例如，當(dāng)某企業(yè)的成本函數(shù)C( q)=q3-9q2-30q+25時(shí)( q表示產(chǎn)量，單位為噸；C表示總成本，單位為千元)，那么，在企業(yè)的運(yùn)營(yíng)中，需要合理計(jì)算生產(chǎn)數(shù)量，以此保持最小的費(fèi)用。在最小平均可變成本計(jì)算中，用y表示平均可變成本，當(dāng)y′=0時(shí)，q=4.5(噸)。所以，當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)4.5噸某產(chǎn)品時(shí)，所需最小的費(fèi)用。

(四)在經(jīng)濟(jì)學(xué)彈性分析中的應(yīng)用

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，彈性分析是一個(gè)極為重要概念，定量描述一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量對(duì)另一個(gè)變化變量的反應(yīng)狀況，彈性系數(shù)=因變量變化率/自變量變化率。例如，在y=f(x)中，在x0可導(dǎo)時(shí)，函數(shù)的相對(duì)改變量為Δy/ y0，其與Δx/x0的比為這樣，在Δx→0時(shí)， 在f(x)的相對(duì)變化率為極限即為彈性。例如，在某商品的需求量對(duì)收入、價(jià)格的方程中，設(shè)回歸系數(shù)為10，當(dāng)銷售量是80000，收入為10000元時(shí)，商品的收入彈性為，其中，N表示的是商品的銷售總量，q為收入，ΔN為銷售量變化，Δq為收入變化。那么，商品的收入彈性為

四、結(jié)束語(yǔ)

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，經(jīng)濟(jì)分析需要全面衡量各種因素、利用多種分析工具。在經(jīng)濟(jì)分析，數(shù)學(xué)知識(shí)的利用必不可少，導(dǎo)數(shù)理論為經(jīng)濟(jì)分析提供科學(xué)的分析依據(jù)，導(dǎo)數(shù)函數(shù)為經(jīng)濟(jì)分析提供有效的分析工具。利用導(dǎo)數(shù)理論，結(jié)合成本函數(shù)、收入函數(shù)、利潤(rùn)函數(shù)等，為企業(yè)經(jīng)營(yíng)者提供精確數(shù)值，確保企業(yè)以最佳的銷售成本、資源，獲取最大的利潤(rùn)，并為經(jīng)營(yíng)者決策提供科學(xué)、準(zhǔn)確的市場(chǎng)數(shù)據(jù)和依據(jù)。

[1]劉榮花,楊春艷,孫艷偉,等.導(dǎo)數(shù)理論在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用[J].高師理科學(xué)刊,2010,30(4):34-36.

[2]陳海偉.論導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用[J].讀寫算(教育教學(xué)研究),2011(6):257.

[3]楊春艷,祝微.淺談導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用[J].金融理論與教學(xué),2010(3):81-82.

[4]農(nóng)建誠(chéng).導(dǎo)數(shù)與邊際分析法在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用[J].產(chǎn)業(yè)與科技論壇,2012(9):179-180.

Derivative theory in the application of economic analysis

Wang Hai-zhou
(Silicon Lake Vocational and Technical College, Kunshan Jiangsu, 215332, China)

Mathematics knowledge is derived from the actual life, also in real life applications. As a mathematical tool, derivative is widely applied in the areas of the economy. With the rapid development of market economy, the solution of the economic problems need to use more and more mathematical knowledge. Derivative is one of the important tools of economic analysis, optimization analysis of practical problems in economic activities. This article mainly discusses the derivative theory are summarized, and on this basis to explore derivative theory in the application of economic analysis.

derivative theory; economic analysis; application; optimize

F224.9

A

1000-9795（2014）09-000341-02

[責(zé)任編輯：鮑 雨]

王海舟(1982-)，男，江蘇海安人，硅湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，理學(xué)學(xué)士，研究方向：高等數(shù)學(xué)教學(xué)與應(yīng)用。