劉 建，馮 蕾

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000）

不定方程y3＝x2＋260642的全部整數(shù)解

劉 建，馮 蕾

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000）

借助于平方剩余的理論縮小解的范圍，并且運(yùn)用同余式、二次剩余及一些簡(jiǎn)單的初等方法，證明了不定方程y3＝x2＋260642僅有整數(shù)解（x，y）＝（±1265，123）。

不定方程；初等方法；整數(shù)解

1 引言

2 相關(guān)引理

引理1不定方程

僅有整數(shù)解（a，b）＝（±11，1）。

證明：由（1）可知，b｜361，故b只可能取±1，±19，±361。逐次驗(yàn)算：當(dāng)b＝1時(shí)，不定方程（1）可化為3a2×1－2×13＝361，此時(shí)a＝±11；當(dāng)b＝－1時(shí)，不定方程（1）可化為3a2×（－1）－2×（－1）3＝361，此時(shí)無解；當(dāng)b＝19時(shí)，不定方程（1）可化為3a2×19－2×193＝361，此時(shí)無解；當(dāng)b＝－19時(shí)，不定方程（1）可化為3a2×（－19）－2×（－19）3＝361，此時(shí)無解；當(dāng)b＝361時(shí)，不定方程（1）可化為3a2×361－2×3613＝361，此時(shí)無解；當(dāng)b＝－361時(shí)，不定方程（1）可化為3a2×（－361）－2×（－361）3＝361，此時(shí)無解。綜上，該不定方程的整數(shù)解是（a，b）＝（±11，1）。

類似地可以證明引理2。

引理2不定方程

僅有整數(shù)解（a，b）＝（±11，－1）。

引理3 不定方程

滿足條件（x，y）＝1的一切整數(shù)解為

證明：請(qǐng)參考文獻(xiàn)［3－7］。

3 主要結(jié)論及其證明

定理不定方程

僅有整數(shù)解（x，y）＝（±1265，123）。

若3a2b－2b3＝361，則由引理1知，a＝±11，b＝1代入（9）式得x＝±1265，y＝123。

若3a2b－2b3＝－361，則由引理2知，a＝±11，b＝－1代入（9）式得x＝±1265，y＝123。

綜上所述，不定方程（4）僅有整數(shù)解（x，y）＝（±1265，123）。

［1］柯召，孫琦.談?wù)劜欢ǚ匠蹋跰］.上海：上海教育出版社，1980：45－61.

［2］李偉.不定方程y3＝x2＋2的初等解法［J］.四川大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1997，1（34）：16－19.

［3］管訓(xùn)貴.不定方程y3＝x2＋1250的全部整數(shù)解［J］.河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，27（4）：18－19.

［4］潘承洞，潘承彪.代數(shù)數(shù)論［M］.山東：山東大學(xué)出版社，2001：149－160.

［5］管訓(xùn)貴.不定方程x2－py2＝z2的正整數(shù)解［J］.河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，25（5）：5－7.

［6］管訓(xùn)貴.關(guān)于不定方程x2＋（p－1）y2＝pz2［J］.河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，26（1）：12－14.

［7］管訓(xùn)貴.關(guān)于Diophantine方程y2＝px（x2＋2）［J］.北京教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，6（1）：1－2.

［責(zé)任編輯 畢 偉］

All Integeral Solutions of Diophantine Equation y3＝x2＋260642

LIU JIAN，F(xiàn)ENG LEI
（College of Mathematics and Computer Science，Yanan University，Yanan 716000，China）

With the same square residual theory the scale of the solutions are reduced and bymeans of Congruence，quadratic residue and some of the simple elementary method，the diophantine equation y3＝x2＋260642is proved only integer solutions（x，y）＝（±1265，123）.

diophantine equation；elementarymethod；integral solution

O156.4

A

1004－602X（2014）04－0004－02

10.3969／J.ISSN.1004－602X.2014.04.004

2014-10-28

陜西省教育廳科研計(jì)劃資助項(xiàng)目（2013JK0557）；延安大學(xué)自然科學(xué)專項(xiàng)基金項(xiàng)目（YDZ2013－05）；延安大學(xué)研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目

劉 建（1989—），女，陜西綏德人，延安大學(xué)在讀碩士研究生。