趙亮　劉學(xué)文

摘要 在非光滑不變凸性的條件下討論了上Dini方向?qū)?shù)形式的非光滑Minty（弱）向量似變分不等式、非光滑Stampacchia（弱）向量似變分不等式以及擾動(dòng)非光滑Stampacchia（弱）向量似變分不等式這3類解集之間的關(guān)系，并得到了這3類似變分不等式問題的解與向量優(yōu)化問題的（弱）有效解之間的等價(jià)條件.

關(guān)鍵詞 向量似變分不等式；向量優(yōu)化問題；Dini方向?qū)?shù)；C偽單調(diào)；有效解

中圖分類號 O224 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A 文章編號 1000-2537（2014）01-0069-07

向量變分不等式是變分不等式的推廣形式，目前已被廣泛應(yīng)用于機(jī)械學(xué)、控制論、最優(yōu)化理論等領(lǐng)域.在適當(dāng)條件下，向量變分不等式的解與最優(yōu)化問題（記為VOP）的最優(yōu)解具有一致性.由于實(shí)際應(yīng)用中有些目標(biāo)函數(shù)是非光滑的，因此產(chǎn)生了用方向?qū)?shù)定義的變分不等式（參見文獻(xiàn)[1～8]）.最近，Ansari等人在文獻(xiàn)[6]中，利用上Dini方向?qū)?shù)分別定義了非光滑形式的Minty向量變分不等式問題（記為NMVVIP）和Stampacchia向量變分不等式問題（記為NSVVIP），在偽凸條件下討論了NMVVIP和NSVVIP的解與VOP的（弱）有效解之間的關(guān)系.文獻(xiàn)[8]中Ansari等人把[6]中結(jié)果推廣到了不變凸集上，利用上Dini方向?qū)?shù)分別定義非光滑Minty（弱）向量似變分不等式問題（記為NM（W）VVLIP）和非光滑Stampacchia（弱）向量似變分不等式問題（記為NS（W）VVLIP），并討論了幾類向量似變分不等式解的存在性，最后得到它們與VOP（弱）有效解之間的關(guān)系.本文旨在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論NM（W）VVLIP和NS（W）VVLIP的解與VOP的（弱）有效解之間的關(guān)系，定義了一類上Dini方向?qū)?shù)形式的擾動(dòng)非光滑（弱）Stampacchia向量似變分不等式問題（記為PNS（W）VVLIP），并在不變凸性的條件下分別得到PNS（W）VVLIP解與NM（W）VVLIP的解以及VOP的（弱）有效解等價(jià)的充要條件，因此本文豐富了文獻(xiàn)[8]中的相關(guān)結(jié)果.

1預(yù)備知識

參考文獻(xiàn)：

[1]CRESPI G P， GINCHEV I， ROCCA M. Minty variational inequalities， increase along rays property and optimization[J]. J Optim Theory Appl， 2004，123（3）：479496.

[2]CRESPI G P， GINCHEV I， ROCCA M. Existence of solutions and starshapedness in Minty variational inequalities[J]. J Glob Optim， 2005，32（4）：485494.

[3]CRESPI G P， GINCHEV I， ROCCA M. Some remarks on the Minty vector variational principle[J]. J Math Anal Appl， 2008，345（1）：165175.

[4]LALITHA C S， MEHTA M. Vector variational inequalities with conepseudomonotone bifunctions[J]. Optimization， 2005，54（3）：327338.

[5]LIU C P， YANG X M， LEE H W. Characterizations of the solution sets of pseudoinvex programs and variational inequalities[J]. J Inequal Appl， 2011（1）：113.

[6]ANSARI Q H， LEE G M. Nonsmooth vector optimization problems and Minty vector variational inequalities[J]. J Optim Theory Appl， 2010，145（1）：116.

[7]肖剛，劉三陽. 廣義Minty向量似變分不等式解的性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)， 2009，29A（6）：17321742.

[8]ANSARI Q H， YAO J C. Recent developments in vector optimization[M]. New York：SpringerVerlag， 2012.

[9]WEIR T， MOND B. Preinvex functions in multiple objective optimization[J]. J Math Anal Appl， 1988，136（1）：2938.

[10]ANSARI Q H， REZAEI M. Generalized pseudolinearity[J]. Optim Lett， 2012，6（2）：241251.

[11]MOHAN S R， NEOGY S K. On invex sets and preinvex functions[J]. J Math Anal Appl， 1995，189（3）：901908.

[12]CHEN G Y， YANG X Q. The vector complementary problem and its equivalences with the weak minimal element in ordered spaces[J]. J Math Anal Appl， 1990，153（1）：136158.

（編輯沈小玲）

摘要 在非光滑不變凸性的條件下討論了上Dini方向?qū)?shù)形式的非光滑Minty（弱）向量似變分不等式、非光滑Stampacchia（弱）向量似變分不等式以及擾動(dòng)非光滑Stampacchia（弱）向量似變分不等式這3類解集之間的關(guān)系，并得到了這3類似變分不等式問題的解與向量優(yōu)化問題的（弱）有效解之間的等價(jià)條件.

關(guān)鍵詞 向量似變分不等式；向量優(yōu)化問題；Dini方向?qū)?shù)；C偽單調(diào)；有效解

中圖分類號 O224 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A 文章編號 1000-2537（2014）01-0069-07

向量變分不等式是變分不等式的推廣形式，目前已被廣泛應(yīng)用于機(jī)械學(xué)、控制論、最優(yōu)化理論等領(lǐng)域.在適當(dāng)條件下，向量變分不等式的解與最優(yōu)化問題（記為VOP）的最優(yōu)解具有一致性.由于實(shí)際應(yīng)用中有些目標(biāo)函數(shù)是非光滑的，因此產(chǎn)生了用方向?qū)?shù)定義的變分不等式（參見文獻(xiàn)[1～8]）.最近，Ansari等人在文獻(xiàn)[6]中，利用上Dini方向?qū)?shù)分別定義了非光滑形式的Minty向量變分不等式問題（記為NMVVIP）和Stampacchia向量變分不等式問題（記為NSVVIP），在偽凸條件下討論了NMVVIP和NSVVIP的解與VOP的（弱）有效解之間的關(guān)系.文獻(xiàn)[8]中Ansari等人把[6]中結(jié)果推廣到了不變凸集上，利用上Dini方向?qū)?shù)分別定義非光滑Minty（弱）向量似變分不等式問題（記為NM（W）VVLIP）和非光滑Stampacchia（弱）向量似變分不等式問題（記為NS（W）VVLIP），并討論了幾類向量似變分不等式解的存在性，最后得到它們與VOP（弱）有效解之間的關(guān)系.本文旨在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論NM（W）VVLIP和NS（W）VVLIP的解與VOP的（弱）有效解之間的關(guān)系，定義了一類上Dini方向?qū)?shù)形式的擾動(dòng)非光滑（弱）Stampacchia向量似變分不等式問題（記為PNS（W）VVLIP），并在不變凸性的條件下分別得到PNS（W）VVLIP解與NM（W）VVLIP的解以及VOP的（弱）有效解等價(jià)的充要條件，因此本文豐富了文獻(xiàn)[8]中的相關(guān)結(jié)果.

1預(yù)備知識

參考文獻(xiàn)：

[1]CRESPI G P， GINCHEV I， ROCCA M. Minty variational inequalities， increase along rays property and optimization[J]. J Optim Theory Appl， 2004，123（3）：479496.

[2]CRESPI G P， GINCHEV I， ROCCA M. Existence of solutions and starshapedness in Minty variational inequalities[J]. J Glob Optim， 2005，32（4）：485494.

[3]CRESPI G P， GINCHEV I， ROCCA M. Some remarks on the Minty vector variational principle[J]. J Math Anal Appl， 2008，345（1）：165175.

[4]LALITHA C S， MEHTA M. Vector variational inequalities with conepseudomonotone bifunctions[J]. Optimization， 2005，54（3）：327338.

[5]LIU C P， YANG X M， LEE H W. Characterizations of the solution sets of pseudoinvex programs and variational inequalities[J]. J Inequal Appl， 2011（1）：113.

[6]ANSARI Q H， LEE G M. Nonsmooth vector optimization problems and Minty vector variational inequalities[J]. J Optim Theory Appl， 2010，145（1）：116.

[7]肖剛，劉三陽. 廣義Minty向量似變分不等式解的性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)， 2009，29A（6）：17321742.

[8]ANSARI Q H， YAO J C. Recent developments in vector optimization[M]. New York：SpringerVerlag， 2012.

[9]WEIR T， MOND B. Preinvex functions in multiple objective optimization[J]. J Math Anal Appl， 1988，136（1）：2938.

[10]ANSARI Q H， REZAEI M. Generalized pseudolinearity[J]. Optim Lett， 2012，6（2）：241251.

[11]MOHAN S R， NEOGY S K. On invex sets and preinvex functions[J]. J Math Anal Appl， 1995，189（3）：901908.

[12]CHEN G Y， YANG X Q. The vector complementary problem and its equivalences with the weak minimal element in ordered spaces[J]. J Math Anal Appl， 1990，153（1）：136158.

（編輯沈小玲）

摘要 在非光滑不變凸性的條件下討論了上Dini方向?qū)?shù)形式的非光滑Minty（弱）向量似變分不等式、非光滑Stampacchia（弱）向量似變分不等式以及擾動(dòng)非光滑Stampacchia（弱）向量似變分不等式這3類解集之間的關(guān)系，并得到了這3類似變分不等式問題的解與向量優(yōu)化問題的（弱）有效解之間的等價(jià)條件.

關(guān)鍵詞 向量似變分不等式；向量優(yōu)化問題；Dini方向?qū)?shù)；C偽單調(diào)；有效解

中圖分類號 O224 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A 文章編號 1000-2537（2014）01-0069-07

向量變分不等式是變分不等式的推廣形式，目前已被廣泛應(yīng)用于機(jī)械學(xué)、控制論、最優(yōu)化理論等領(lǐng)域.在適當(dāng)條件下，向量變分不等式的解與最優(yōu)化問題（記為VOP）的最優(yōu)解具有一致性.由于實(shí)際應(yīng)用中有些目標(biāo)函數(shù)是非光滑的，因此產(chǎn)生了用方向?qū)?shù)定義的變分不等式（參見文獻(xiàn)[1～8]）.最近，Ansari等人在文獻(xiàn)[6]中，利用上Dini方向?qū)?shù)分別定義了非光滑形式的Minty向量變分不等式問題（記為NMVVIP）和Stampacchia向量變分不等式問題（記為NSVVIP），在偽凸條件下討論了NMVVIP和NSVVIP的解與VOP的（弱）有效解之間的關(guān)系.文獻(xiàn)[8]中Ansari等人把[6]中結(jié)果推廣到了不變凸集上，利用上Dini方向?qū)?shù)分別定義非光滑Minty（弱）向量似變分不等式問題（記為NM（W）VVLIP）和非光滑Stampacchia（弱）向量似變分不等式問題（記為NS（W）VVLIP），并討論了幾類向量似變分不等式解的存在性，最后得到它們與VOP（弱）有效解之間的關(guān)系.本文旨在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論NM（W）VVLIP和NS（W）VVLIP的解與VOP的（弱）有效解之間的關(guān)系，定義了一類上Dini方向?qū)?shù)形式的擾動(dòng)非光滑（弱）Stampacchia向量似變分不等式問題（記為PNS（W）VVLIP），并在不變凸性的條件下分別得到PNS（W）VVLIP解與NM（W）VVLIP的解以及VOP的（弱）有效解等價(jià)的充要條件，因此本文豐富了文獻(xiàn)[8]中的相關(guān)結(jié)果.

1預(yù)備知識

參考文獻(xiàn)：

[1]CRESPI G P， GINCHEV I， ROCCA M. Minty variational inequalities， increase along rays property and optimization[J]. J Optim Theory Appl， 2004，123（3）：479496.

[2]CRESPI G P， GINCHEV I， ROCCA M. Existence of solutions and starshapedness in Minty variational inequalities[J]. J Glob Optim， 2005，32（4）：485494.

[3]CRESPI G P， GINCHEV I， ROCCA M. Some remarks on the Minty vector variational principle[J]. J Math Anal Appl， 2008，345（1）：165175.

[4]LALITHA C S， MEHTA M. Vector variational inequalities with conepseudomonotone bifunctions[J]. Optimization， 2005，54（3）：327338.

[5]LIU C P， YANG X M， LEE H W. Characterizations of the solution sets of pseudoinvex programs and variational inequalities[J]. J Inequal Appl， 2011（1）：113.

[6]ANSARI Q H， LEE G M. Nonsmooth vector optimization problems and Minty vector variational inequalities[J]. J Optim Theory Appl， 2010，145（1）：116.

[7]肖剛，劉三陽. 廣義Minty向量似變分不等式解的性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)， 2009，29A（6）：17321742.

[8]ANSARI Q H， YAO J C. Recent developments in vector optimization[M]. New York：SpringerVerlag， 2012.

[9]WEIR T， MOND B. Preinvex functions in multiple objective optimization[J]. J Math Anal Appl， 1988，136（1）：2938.

[10]ANSARI Q H， REZAEI M. Generalized pseudolinearity[J]. Optim Lett， 2012，6（2）：241251.

[11]MOHAN S R， NEOGY S K. On invex sets and preinvex functions[J]. J Math Anal Appl， 1995，189（3）：901908.

[12]CHEN G Y， YANG X Q. The vector complementary problem and its equivalences with the weak minimal element in ordered spaces[J]. J Math Anal Appl， 1990，153（1）：136158.

（編輯沈小玲）