吳鋒　高強(qiáng)　鐘萬勰

摘要：針對(duì)一類多體動(dòng)力學(xué)問題導(dǎo)出的微分代數(shù)方程，提出一種保能量、保約束的算法.該算法基于祖沖之類方法和歐拉中點(diǎn)保辛差分，利用祖沖之類方法保證在時(shí)間格點(diǎn)上精確滿足約束方程，避免約束違約問題；并進(jìn)一步證明該算法在時(shí)間格點(diǎn)上可以精確保能量.數(shù)值算例進(jìn)一步驗(yàn)證該算法的可靠性.

關(guān)鍵詞：多體動(dòng)力學(xué)方程； 微分代數(shù)方程； 保辛； 祖沖之

中圖分類號(hào)： O313.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： B

0引言

近年來，多體動(dòng)力學(xué)研究已逐漸成為研究熱點(diǎn).一方面是由于多體動(dòng)力學(xué)建模得到的往往是強(qiáng)非線性方程，分析困難；另一方面則是因?yàn)槎囿w動(dòng)力學(xué)問題具有十分廣泛的運(yùn)用背景[12]，如航空航天器、車輛和機(jī)器人等.目前，多體動(dòng)力學(xué)的建模方法可以分為相對(duì)坐標(biāo)法和絕對(duì)坐標(biāo)法2類.當(dāng)用絕對(duì)坐標(biāo)法時(shí)，得到的往往是微分代數(shù)方程組.關(guān)于微分代數(shù)方程組的求解，目前已有一些進(jìn)展.

許多學(xué)者認(rèn)為，數(shù)值積分過程中約束方程的違約是造成積分困難的重要原因之一.原亮明等[3]把位移約束方程按照泰勒級(jí)數(shù)展開，與動(dòng)力學(xué)方程組合進(jìn)行迭代求解；趙維加等[4]用泰勒級(jí)數(shù)把約束方程展開，根據(jù)積分步長提出一種能對(duì)約束誤差自動(dòng)修正的小擾動(dòng)違約穩(wěn)定方法；付士慧等[5]對(duì)具有完整、定常約束的多體系統(tǒng)，通過修改的帶乘子的拉格朗日正則形式方程，給出一種違約修正方法；戈新生等[6]提出一種基于完全笛卡爾坐標(biāo)的多體系統(tǒng)微分代數(shù)方程符號(hào)線性化方法.在諸多研究中，文獻(xiàn)[7]中所提的方法能很好地解決約束方程違約問題.他們利用保辛的時(shí)間有限元結(jié)合祖沖之類方法的思想：保辛方法可以保證長時(shí)間積分的精度，祖沖之類方法可以解決約束方程違約這一問題.但是，當(dāng)時(shí)的文獻(xiàn)中還沒有正式提出祖沖之類方法這一名詞，直到在最近出版的《經(jīng)典力學(xué)辛講》[8]中，祖沖之類方法才被正式提出.祖沖之類方法指出，約束方程不必處處滿足，只要在時(shí)間格點(diǎn)處滿足即可.依據(jù)這一思想，使得微分代數(shù)方程的求解格式簡單，而且無約束違約問題.

對(duì)于非線性系統(tǒng)的差分格式要保辛，而國外論文提出，對(duì)于不可積系統(tǒng)，保辛和守恒難以同時(shí)達(dá)成[9]的問題，闡明保辛則能量不能守恒，能量守恒就不能保辛的兩難命題.實(shí)際上，文獻(xiàn)[10]通過引入含參變量的近似Hamilton系統(tǒng)，并以此為基礎(chǔ)利用保辛攝動(dòng)的思想，提出一種Hamilton系統(tǒng)的保辛守恒積分算法，實(shí)現(xiàn)即保辛又保能量的算法.

圖7為能量的相對(duì)誤差，其中計(jì)算相對(duì)誤差所參考的真實(shí)能量H=34.868 J；圖8為約束最大相對(duì)誤差.由圖7和8可知，在積分1 000 s的時(shí)間內(nèi)，本文算法計(jì)算結(jié)果的能量相對(duì)誤差和約束相對(duì)誤差都相當(dāng)小，其中能量的相對(duì)誤差為10-13數(shù)量級(jí)，而約束誤差則為10-15數(shù)量級(jí)，說明本文算法完全是既保約束又保能量的，沒有約束違約問題，計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證理論分析結(jié)果.由于本算例雖然是在空間運(yùn)動(dòng)的雙擺，但是給定的初始位移和初始速度設(shè)定其實(shí)際運(yùn)動(dòng)只在一個(gè)平面內(nèi).圖9和10分別給出質(zhì)點(diǎn)1的運(yùn)動(dòng)軌跡和質(zhì)點(diǎn)2相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)1的運(yùn)動(dòng)軌跡.圖9和10中分別給出的3幅圖是從3個(gè)不同角度繪制的運(yùn)動(dòng)軌跡，其中，圖9（a）為xy平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，可見在計(jì)算1 000 s的時(shí)間區(qū)段內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)1仍然精確地維持在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)；同樣圖10（a）亦可驗(yàn)證這一點(diǎn).這進(jìn)一步說明本文方法既保約束又保能量的優(yōu)點(diǎn)，因?yàn)椴皇睾闼惴ㄓ?jì)算時(shí)，常常是在最初幾秒可以維持在同一平面；隨著計(jì)算繼續(xù)，誤差累計(jì)，運(yùn)動(dòng)軌跡往往躍出平面外.

3結(jié)束語

綜合運(yùn)用文獻(xiàn)[78]提出的祖沖之類方法和文獻(xiàn)[10]提出的保辛守恒思想以及歐拉中點(diǎn)保辛差分格式，建立求解多體動(dòng)力學(xué)方程的既保約束又保能量的算法.該方法在格點(diǎn)處可以嚴(yán)格滿足位移約束方程和能量守恒條件，而在非格點(diǎn)處，約束條件和能量方程可以近似滿足，避免約束違約的問題.數(shù)值算例表明，本文方法的計(jì)算結(jié)果滿意.

參考文獻(xiàn)：

[1]胡繼云. 建立多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的坐標(biāo)變換法及其應(yīng)用[D]. 重慶： 重慶大學(xué)， 2004.

[2]田強(qiáng). 基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)方法的柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究與應(yīng)用[D]. 武漢： 華中科技大學(xué)， 2009.

[3]原亮明， 王成國， 劉金朝， 等. 一種求解多體系統(tǒng)微分代數(shù)方程的拉格朗日乘子方法[J]. 中國鐵道科學(xué)， 2001， 22（2）： 5154.

[4]趙維加， 潘振寬， 王藝兵. 多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分/代數(shù)方程約束誤差小擾動(dòng)自我穩(wěn)定方法[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)， 2000， 21（1）： 9498.

[5]付士慧， 王琪. 多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程違約修正的數(shù)值計(jì)算方法[J]. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)， 2007， 24（1）： 4449.

[6]戈新生， 趙維加， 陳立群. 基于完全笛卡爾坐標(biāo)的多體系統(tǒng)微分代數(shù)方程符號(hào)線性化方法[J]. 工程力學(xué)， 2004， 21（4）： 106111.

[7]鐘萬勰， 高強(qiáng). 約束動(dòng)力系統(tǒng)的分析結(jié)構(gòu)力學(xué)積分[J]. 動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)， 2006， 4（3）： 193200.

[8]鐘萬勰， 高強(qiáng)， 彭海軍. 經(jīng)典力學(xué)辛講[M]. 大連： 大連理工大學(xué)出版社， 2013.

[9]ZHONG G， MARSDEN J E. LiePoisson HamiltonJacobi theory and LiePoisson integrators[J]. Phys Lett A， 1988， 133（3）： 134139.

[10]高強(qiáng)， 鐘萬勰. Hamilton系統(tǒng)的保辛守恒積分算法[J]. 動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)， 2009， 7（3）： 193199.

[11]邢譽(yù)峰， 楊蓉. 動(dòng)力學(xué)平衡方程的Euler中點(diǎn)辛差分求解格式[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào)， 2007， 39（1）： 100105.

（編輯武曉英）

摘要：針對(duì)一類多體動(dòng)力學(xué)問題導(dǎo)出的微分代數(shù)方程，提出一種保能量、保約束的算法.該算法基于祖沖之類方法和歐拉中點(diǎn)保辛差分，利用祖沖之類方法保證在時(shí)間格點(diǎn)上精確滿足約束方程，避免約束違約問題；并進(jìn)一步證明該算法在時(shí)間格點(diǎn)上可以精確保能量.數(shù)值算例進(jìn)一步驗(yàn)證該算法的可靠性.

關(guān)鍵詞：多體動(dòng)力學(xué)方程； 微分代數(shù)方程； 保辛； 祖沖之

中圖分類號(hào)： O313.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： B

0引言

近年來，多體動(dòng)力學(xué)研究已逐漸成為研究熱點(diǎn).一方面是由于多體動(dòng)力學(xué)建模得到的往往是強(qiáng)非線性方程，分析困難；另一方面則是因?yàn)槎囿w動(dòng)力學(xué)問題具有十分廣泛的運(yùn)用背景[12]，如航空航天器、車輛和機(jī)器人等.目前，多體動(dòng)力學(xué)的建模方法可以分為相對(duì)坐標(biāo)法和絕對(duì)坐標(biāo)法2類.當(dāng)用絕對(duì)坐標(biāo)法時(shí)，得到的往往是微分代數(shù)方程組.關(guān)于微分代數(shù)方程組的求解，目前已有一些進(jìn)展.

許多學(xué)者認(rèn)為，數(shù)值積分過程中約束方程的違約是造成積分困難的重要原因之一.原亮明等[3]把位移約束方程按照泰勒級(jí)數(shù)展開，與動(dòng)力學(xué)方程組合進(jìn)行迭代求解；趙維加等[4]用泰勒級(jí)數(shù)把約束方程展開，根據(jù)積分步長提出一種能對(duì)約束誤差自動(dòng)修正的小擾動(dòng)違約穩(wěn)定方法；付士慧等[5]對(duì)具有完整、定常約束的多體系統(tǒng)，通過修改的帶乘子的拉格朗日正則形式方程，給出一種違約修正方法；戈新生等[6]提出一種基于完全笛卡爾坐標(biāo)的多體系統(tǒng)微分代數(shù)方程符號(hào)線性化方法.在諸多研究中，文獻(xiàn)[7]中所提的方法能很好地解決約束方程違約問題.他們利用保辛的時(shí)間有限元結(jié)合祖沖之類方法的思想：保辛方法可以保證長時(shí)間積分的精度，祖沖之類方法可以解決約束方程違約這一問題.但是，當(dāng)時(shí)的文獻(xiàn)中還沒有正式提出祖沖之類方法這一名詞，直到在最近出版的《經(jīng)典力學(xué)辛講》[8]中，祖沖之類方法才被正式提出.祖沖之類方法指出，約束方程不必處處滿足，只要在時(shí)間格點(diǎn)處滿足即可.依據(jù)這一思想，使得微分代數(shù)方程的求解格式簡單，而且無約束違約問題.

對(duì)于非線性系統(tǒng)的差分格式要保辛，而國外論文提出，對(duì)于不可積系統(tǒng)，保辛和守恒難以同時(shí)達(dá)成[9]的問題，闡明保辛則能量不能守恒，能量守恒就不能保辛的兩難命題.實(shí)際上，文獻(xiàn)[10]通過引入含參變量的近似Hamilton系統(tǒng)，并以此為基礎(chǔ)利用保辛攝動(dòng)的思想，提出一種Hamilton系統(tǒng)的保辛守恒積分算法，實(shí)現(xiàn)即保辛又保能量的算法.

圖7為能量的相對(duì)誤差，其中計(jì)算相對(duì)誤差所參考的真實(shí)能量H=34.868 J；圖8為約束最大相對(duì)誤差.由圖7和8可知，在積分1 000 s的時(shí)間內(nèi)，本文算法計(jì)算結(jié)果的能量相對(duì)誤差和約束相對(duì)誤差都相當(dāng)小，其中能量的相對(duì)誤差為10-13數(shù)量級(jí)，而約束誤差則為10-15數(shù)量級(jí)，說明本文算法完全是既保約束又保能量的，沒有約束違約問題，計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證理論分析結(jié)果.由于本算例雖然是在空間運(yùn)動(dòng)的雙擺，但是給定的初始位移和初始速度設(shè)定其實(shí)際運(yùn)動(dòng)只在一個(gè)平面內(nèi).圖9和10分別給出質(zhì)點(diǎn)1的運(yùn)動(dòng)軌跡和質(zhì)點(diǎn)2相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)1的運(yùn)動(dòng)軌跡.圖9和10中分別給出的3幅圖是從3個(gè)不同角度繪制的運(yùn)動(dòng)軌跡，其中，圖9（a）為xy平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，可見在計(jì)算1 000 s的時(shí)間區(qū)段內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)1仍然精確地維持在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)；同樣圖10（a）亦可驗(yàn)證這一點(diǎn).這進(jìn)一步說明本文方法既保約束又保能量的優(yōu)點(diǎn)，因?yàn)椴皇睾闼惴ㄓ?jì)算時(shí)，常常是在最初幾秒可以維持在同一平面；隨著計(jì)算繼續(xù)，誤差累計(jì)，運(yùn)動(dòng)軌跡往往躍出平面外.

3結(jié)束語

綜合運(yùn)用文獻(xiàn)[78]提出的祖沖之類方法和文獻(xiàn)[10]提出的保辛守恒思想以及歐拉中點(diǎn)保辛差分格式，建立求解多體動(dòng)力學(xué)方程的既保約束又保能量的算法.該方法在格點(diǎn)處可以嚴(yán)格滿足位移約束方程和能量守恒條件，而在非格點(diǎn)處，約束條件和能量方程可以近似滿足，避免約束違約的問題.數(shù)值算例表明，本文方法的計(jì)算結(jié)果滿意.

參考文獻(xiàn)：

[1]胡繼云. 建立多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的坐標(biāo)變換法及其應(yīng)用[D]. 重慶： 重慶大學(xué)， 2004.

[2]田強(qiáng). 基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)方法的柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究與應(yīng)用[D]. 武漢： 華中科技大學(xué)， 2009.

[3]原亮明， 王成國， 劉金朝， 等. 一種求解多體系統(tǒng)微分代數(shù)方程的拉格朗日乘子方法[J]. 中國鐵道科學(xué)， 2001， 22（2）： 5154.

[4]趙維加， 潘振寬， 王藝兵. 多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分/代數(shù)方程約束誤差小擾動(dòng)自我穩(wěn)定方法[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)， 2000， 21（1）： 9498.

[5]付士慧， 王琪. 多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程違約修正的數(shù)值計(jì)算方法[J]. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)， 2007， 24（1）： 4449.

[6]戈新生， 趙維加， 陳立群. 基于完全笛卡爾坐標(biāo)的多體系統(tǒng)微分代數(shù)方程符號(hào)線性化方法[J]. 工程力學(xué)， 2004， 21（4）： 106111.

[7]鐘萬勰， 高強(qiáng). 約束動(dòng)力系統(tǒng)的分析結(jié)構(gòu)力學(xué)積分[J]. 動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)， 2006， 4（3）： 193200.

[8]鐘萬勰， 高強(qiáng)， 彭海軍. 經(jīng)典力學(xué)辛講[M]. 大連： 大連理工大學(xué)出版社， 2013.

[9]ZHONG G， MARSDEN J E. LiePoisson HamiltonJacobi theory and LiePoisson integrators[J]. Phys Lett A， 1988， 133（3）： 134139.

[10]高強(qiáng)， 鐘萬勰. Hamilton系統(tǒng)的保辛守恒積分算法[J]. 動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)， 2009， 7（3）： 193199.

[11]邢譽(yù)峰， 楊蓉. 動(dòng)力學(xué)平衡方程的Euler中點(diǎn)辛差分求解格式[J]. 力學(xué)學(xué)報(bào)， 2007， 39（1）： 100105.

（編輯武曉英）

摘要：針對(duì)一類多體動(dòng)力學(xué)問題導(dǎo)出的微分代數(shù)方程，提出一種保能量、保約束的算法.該算法基于祖沖之類方法和歐拉中點(diǎn)保辛差分，利用祖沖之類方法保證在時(shí)間格點(diǎn)上精確滿足約束方程，避免約束違約問題；并進(jìn)一步證明該算法在時(shí)間格點(diǎn)上可以精確保能量.數(shù)值算例進(jìn)一步驗(yàn)證該算法的可靠性.

關(guān)鍵詞：多體動(dòng)力學(xué)方程； 微分代數(shù)方程； 保辛； 祖沖之

中圖分類號(hào)： O313.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： B

0引言

近年來，多體動(dòng)力學(xué)研究已逐漸成為研究熱點(diǎn).一方面是由于多體動(dòng)力學(xué)建模得到的往往是強(qiáng)非線性方程，分析困難；另一方面則是因?yàn)槎囿w動(dòng)力學(xué)問題具有十分廣泛的運(yùn)用背景[12]，如航空航天器、車輛和機(jī)器人等.目前，多體動(dòng)力學(xué)的建模方法可以分為相對(duì)坐標(biāo)法和絕對(duì)坐標(biāo)法2類.當(dāng)用絕對(duì)坐標(biāo)法時(shí)，得到的往往是微分代數(shù)方程組.關(guān)于微分代數(shù)方程組的求解，目前已有一些進(jìn)展.

許多學(xué)者認(rèn)為，數(shù)值積分過程中約束方程的違約是造成積分困難的重要原因之一.原亮明等[3]把位移約束方程按照泰勒級(jí)數(shù)展開，與動(dòng)力學(xué)方程組合進(jìn)行迭代求解；趙維加等[4]用泰勒級(jí)數(shù)把約束方程展開，根據(jù)積分步長提出一種能對(duì)約束誤差自動(dòng)修正的小擾動(dòng)違約穩(wěn)定方法；付士慧等[5]對(duì)具有完整、定常約束的多體系統(tǒng)，通過修改的帶乘子的拉格朗日正則形式方程，給出一種違約修正方法；戈新生等[6]提出一種基于完全笛卡爾坐標(biāo)的多體系統(tǒng)微分代數(shù)方程符號(hào)線性化方法.在諸多研究中，文獻(xiàn)[7]中所提的方法能很好地解決約束方程違約問題.他們利用保辛的時(shí)間有限元結(jié)合祖沖之類方法的思想：保辛方法可以保證長時(shí)間積分的精度，祖沖之類方法可以解決約束方程違約這一問題.但是，當(dāng)時(shí)的文獻(xiàn)中還沒有正式提出祖沖之類方法這一名詞，直到在最近出版的《經(jīng)典力學(xué)辛講》[8]中，祖沖之類方法才被正式提出.祖沖之類方法指出，約束方程不必處處滿足，只要在時(shí)間格點(diǎn)處滿足即可.依據(jù)這一思想，使得微分代數(shù)方程的求解格式簡單，而且無約束違約問題.

對(duì)于非線性系統(tǒng)的差分格式要保辛，而國外論文提出，對(duì)于不可積系統(tǒng)，保辛和守恒難以同時(shí)達(dá)成[9]的問題，闡明保辛則能量不能守恒，能量守恒就不能保辛的兩難命題.實(shí)際上，文獻(xiàn)[10]通過引入含參變量的近似Hamilton系統(tǒng)，并以此為基礎(chǔ)利用保辛攝動(dòng)的思想，提出一種Hamilton系統(tǒng)的保辛守恒積分算法，實(shí)現(xiàn)即保辛又保能量的算法.

圖7為能量的相對(duì)誤差，其中計(jì)算相對(duì)誤差所參考的真實(shí)能量H=34.868 J；圖8為約束最大相對(duì)誤差.由圖7和8可知，在積分1 000 s的時(shí)間內(nèi)，本文算法計(jì)算結(jié)果的能量相對(duì)誤差和約束相對(duì)誤差都相當(dāng)小，其中能量的相對(duì)誤差為10-13數(shù)量級(jí)，而約束誤差則為10-15數(shù)量級(jí)，說明本文算法完全是既保約束又保能量的，沒有約束違約問題，計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證理論分析結(jié)果.由于本算例雖然是在空間運(yùn)動(dòng)的雙擺，但是給定的初始位移和初始速度設(shè)定其實(shí)際運(yùn)動(dòng)只在一個(gè)平面內(nèi).圖9和10分別給出質(zhì)點(diǎn)1的運(yùn)動(dòng)軌跡和質(zhì)點(diǎn)2相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)1的運(yùn)動(dòng)軌跡.圖9和10中分別給出的3幅圖是從3個(gè)不同角度繪制的運(yùn)動(dòng)軌跡，其中，圖9（a）為xy平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，可見在計(jì)算1 000 s的時(shí)間區(qū)段內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)1仍然精確地維持在一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)；同樣圖10（a）亦可驗(yàn)證這一點(diǎn).這進(jìn)一步說明本文方法既保約束又保能量的優(yōu)點(diǎn)，因?yàn)椴皇睾闼惴ㄓ?jì)算時(shí)，常常是在最初幾秒可以維持在同一平面；隨著計(jì)算繼續(xù)，誤差累計(jì)，運(yùn)動(dòng)軌跡往往躍出平面外.

3結(jié)束語

綜合運(yùn)用文獻(xiàn)[78]提出的祖沖之類方法和文獻(xiàn)[10]提出的保辛守恒思想以及歐拉中點(diǎn)保辛差分格式，建立求解多體動(dòng)力學(xué)方程的既保約束又保能量的算法.該方法在格點(diǎn)處可以嚴(yán)格滿足位移約束方程和能量守恒條件，而在非格點(diǎn)處，約束條件和能量方程可以近似滿足，避免約束違約的問題.數(shù)值算例表明，本文方法的計(jì)算結(jié)果滿意.

參考文獻(xiàn)：

[1]胡繼云. 建立多剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的坐標(biāo)變換法及其應(yīng)用[D]. 重慶： 重慶大學(xué)， 2004.

[2]田強(qiáng). 基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)方法的柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究與應(yīng)用[D]. 武漢： 華中科技大學(xué)， 2009.

[3]原亮明， 王成國， 劉金朝， 等. 一種求解多體系統(tǒng)微分代數(shù)方程的拉格朗日乘子方法[J]. 中國鐵道科學(xué)， 2001， 22（2）： 5154.

[4]趙維加， 潘振寬， 王藝兵. 多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分/代數(shù)方程約束誤差小擾動(dòng)自我穩(wěn)定方法[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)， 2000， 21（1）： 9498.

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（編輯武曉英）