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        由佩爾方程想起

        2014-03-10 02:22:18宋建章
        環(huán)球市場信息導報 2014年12期
        關鍵詞:佩爾素數(shù)奇數(shù)

        宋建章

        由佩爾方程的演變和同余式的定理,用初等數(shù)論的一些方法,推導出素數(shù)的一些基本定理,拓寬人們對素數(shù)的認識。對佩爾方程的解法及數(shù)論其他方面的研究有所幫助。

        我們知道佩爾方程x2-Dy2=1,D為給定的正數(shù),當D不是一個平方數(shù)的情況下,具有無限多解。這里我們僅討論D為素數(shù)且D≡3(mod4)的情況。

        即:x2-Dy2=1,D為素數(shù)且D≡3(mod4),D=4K0+3

        設x2-Dy2=1的基本解為(x0,y0)時

        一:若x0為奇數(shù),y0為偶數(shù)。有:

        x0-1=2y012 或 x0+1=2y012

        x0+1=2Dy022 x0-1=2Dy022

        y0=2y01y02 y0=2y01y02

        得:y012-Dy022=-1(A) 得:y012-Dy022=1(B)

        (A) 式不可能。因為二次同余式x2+1=0(modD)有解的充要條件是D≡-1(mod4)而這與D≡3(mod4)相矛盾[1]

        (B)式因(x0,y0)是基本解,而解(y01 ,y02)小于基本解這不可能。

        說明:x2-Dy2=1,D為素數(shù)且D≡3(mod4),D=4K0+3,其基本解(x0,y0),x0為偶數(shù),y0為奇數(shù)。

        二:若x0為偶數(shù),y0為奇數(shù)。有

        x0-1=y012 或 x0+1= y012

        x0+1=Dy022 x0-1=Dy022

        y0=y01y02 y0=y01y02

        得:y012-Dy022=-2 (C) 得:y012-Dy022=2(D)

        因 x0為偶數(shù),y0為奇數(shù)。則y01?,y02 均為奇數(shù),設y01 =2q+1

        則:y012 -1=2q(2q+2)=4q(q+1)

        因8|4q(q+1),故y012 ≡1(mod8),同理y022 ≡1(mod8)

        根據(jù)(C)式:1-(4K0 +3)×1=-2(mod8),得K0 為偶數(shù)。

        根據(jù)(D)式:1-(4K0 +3)×1=2(mod8),得K0 為奇數(shù)。

        故知:佩爾方程x2-Dy2=1,D=4K0+3

        當 K0為偶數(shù),不定方程y012-Dy022=-2有解,得同余式 x2=-2(modD)有解。

        當K0為奇數(shù),不定方程y012-Dy022=2有解,得同余式 x2=2(modD)有解。

        根據(jù)同余式x2=-2(modD)有解,將證明以下定理:

        三:定理一,設D 是素數(shù),且D=4K0+3,K0為偶數(shù),則D=a2+2b2

        舉例:179=92+2×72

        證明:如果D=3時,則D=3=1+2×12,則D=a2+2b2 有解。

        由同余式 x2=-2(modD)有解。因整數(shù)0,±1,±2…±(D-1)/2組成模D的完全剩余系。

        假定x 是其中之一,因而存在整數(shù)x 與t ,其中|x|≦(D-1)/2

        使得:x2+2=tD (t>0) <1>

        且:t=(x2+2)/D<{(D/2)2+2}/D=D/4+2/D

        因2=2×12,由<1>式有整數(shù)x,y,t(y=1)得:

        x2+2y2=tD(1≦t

        以下將證明若t>1,可調整x,y的值 ,使之減小到1。

        設k>1,是最小整數(shù)使:kD=x12 +2y12 <3> 且不可能x≡y1≡0(modk)

        由<2>式知:1、

        用完全剩余系、0,±1,±2…可以假定:|x2|≦k/2,|y2|≦k/2 <5>

        由<4>式得:x22+2y22=x12+2y12 ≡0(modk)

        由<3>與<4>,存在整數(shù)m,使得:x22+2y22=km <6>

        該文原載于中國社會科學院文獻信息中心主辦的《環(huán)球市場信息導報》雜志http://www.ems86.com總第577期2014年第45期-----轉載須注名來源 則:m=(x22+2y22)/k≧1 ,由<5>式有:

        m={(k/2)2+2×(k/2)2}/k=3k/4

        即1≦m

        K2mD=(x12+2y12)(x22+2y22)=(x1x2+2y1y2)2+2(x2y1-x1y2)2

        再由(4):x1x2+2y1y2≡x12 +2y12 ≡0(modk)

        x2y1-x1y2≡x1y1-x1y1≡0(modk)

        于由:mD={(x1x2+2y1y2)/k}2 +2{(x2y1-x1y2)/k}2

        得:mD=x23 +2y32

        這 與所設k是最小整數(shù)矛盾,問題得到證明,即:D可以寫成 a2+2b2 即:D=a2+2b2

        當K0為奇數(shù),根據(jù) 同余式 x2=2(modD)有解,將證明以下定理:

        四:定理二,設D 是素數(shù),且D=4K0+3,K0為奇數(shù),則D=a2-2b2 。

        補充說明:因 x2-2y2=1有解,故定理二有無限多解。

        如:1031=372-2×132=592-2×352=…

        證明:如果D=4×1+3=7=32-2×12,則D=a2-2b2有解。

        由同余式 x2=2(modD)有解。因整數(shù)0,1,2…(D-1)組成模D的完全

        剩余系。 假定x 是其中之一,因而存在整數(shù)x 與t ,其中x≦(D-1)

        使得:x2-2=tD (t>0) <7>

        且:t=(x2-2)/D<(D2-2)/D

        因2=2×12,由<7>式有整數(shù)x,y,t(y=1)得:

        x2-2y2=tD(1≦t

        以下將證明若t>1,可調整x,y的值 ,使之減小到1。

        設k>1,是最小整數(shù)使:kD=x12 -2y12 >0 <9> 且不可能x≡y1≡0(modk)

        由<8>式知:1

        用完全剩余系、0,1,2…(k-1)可以假定:

        x2≦k-1,y2≦k-1,且x22-2y22 >0 <11>

        由<10>式得:x22-2y22=x12-2y12 ≡0(modk)

        由<9>與<10>,存在整數(shù)m,使得:x22-2y22=km <12>

        因km=x22-2y22≦(k-1)2-2y22

        有:

        k2mD=(x12-2y12)(x22-2y22)=(x1x2-2y1y2)2-2(x2y1-x1y2)2

        再由(10):x1x2-2y1y2≡x12 -2y12 ≡0(modk)

        x2y1-x1y2≡x1y1-x1y1≡0(modk)

        于由:mD={(x1x2-2y1y2)/k}2 +2{(x2y1-x1y2)/k}2

        得:mD=x23 -2y32

        這與所設k是最小整數(shù)矛盾,問題得到證明,即:D可以寫成 a2-2b2 即:D=a2-2b2

        五:結論 設D 是素數(shù),且D=4K0+3,K0為偶數(shù),則D=a2+2b2

        設D 是素數(shù),且D=4K0+3,K0為奇數(shù),則D=a2-2b2

        (作者單位:南通紫瑯混凝土有限公司實驗室)

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