王智宇，李景詩(shī)，朱本喜，宋海明

（吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)春 130012）

0 引 言

其中：Z＋＝max｛0，Z｝；S為原生資產(chǎn)價(jià)格；t為時(shí)間；V（S，t）表示美式看跌期權(quán)的價(jià)格；σ，r，q，T和K分別表示原生資產(chǎn)的波動(dòng)率、無風(fēng)險(xiǎn)利率、原生資產(chǎn)的紅利率、期權(quán)的到期日和敲定價(jià)格；常數(shù)α是彈性系數(shù)；S＊（t）為美式期權(quán)的最佳實(shí)施邊界，它把美式期權(quán)的求解區(qū)域分成兩部分：S≤S＊（t）為實(shí)施區(qū)域；S＞S＊（t）為持有區(qū)域.

求解美式看跌期權(quán)定價(jià)問題目前主要存在以下問題：

1）求解區(qū)域左端最佳實(shí)施邊界S＊（t）未知，求解區(qū)域不規(guī)則；

2）求解區(qū)域右端為無窮區(qū)域，難以直接應(yīng)用數(shù)值算法；

3）給出的算法需要同時(shí)確定期權(quán)價(jià)格V和最佳實(shí)施邊界S＊（t）.

1 Front－Fixing變換

由于拋物問題（4）定義在半無窮區(qū)域上，因此數(shù)值求解時(shí)需進(jìn)行截?cái)?而直接做人工截?cái)鄷?huì)導(dǎo)致數(shù)值不穩(wěn)定或數(shù)值不精確［4］，因此本文采用PML技巧對(duì)無界區(qū)域進(jìn)行截?cái)?

2 PML技巧

3 數(shù)值解法

4 數(shù)值算例

考慮對(duì)一只敲定價(jià)格K＝10的一年期美式看跌期權(quán)進(jìn)行數(shù)值模擬，其中模型（1）中參數(shù)分別為r＝0.05，q＝0.02，σ＝0.35，α＝0.7，數(shù)值結(jié)果如圖1所示.其中：t表示時(shí)間；s表示股票價(jià)格；V表示期權(quán)價(jià)格.

圖1（A）給出了本文算法得到的最佳實(shí)施邊界與二叉樹法［8］的對(duì)比結(jié)果.本文算法中，取θ＝0，M＝200，N1＝1 000，N＝1 010，σ0＝10，m0＝3；二叉樹法中取M＝1 000.圖1（B）給出了本文算法得到的期權(quán)價(jià)格三維圖像.由圖1可見，本文算法能較精確地給出最佳實(shí)施邊界和期權(quán)價(jià)格.

圖1 最佳實(shí)施邊界（A）和期權(quán)價(jià)格的三維圖像（B）Fig.1 Optimal exercise boundary（A）and 3Dimage of option price（B）

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