張 攀，張 量，宋衛(wèi)東

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽蕪湖 241000)

一類不定復(fù)空間型中Lagrange子流形的Chen型不等式

張 攀，張 量，宋衛(wèi)東

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽蕪湖 241000)

利用Riemann不變量和 Riemann流形上的最優(yōu)化方法得到一類不定復(fù)空間型中Lagrange子流形的Chen型不等式，并證明了等號(hào)成立時(shí)子流形一定為全測(cè)地的.

不定復(fù)空間型;Lagrange子流形;Chen型不等式;全測(cè)地

向量，在L中選取局部正交標(biāo)架場(chǎng)}，使得=X.記RicL(X)義M上的Riemann不變量如下:

特別地，當(dāng)k=2時(shí)，δk(M)=δM.此外，文獻(xiàn)［11］給出了復(fù)空間型中Lagrange子流形的一個(gè)Chen型不等式;文獻(xiàn)［12］證明了該Chen型不等式等號(hào)成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)子流形是全測(cè)地的.

定理1 設(shè)Mn為(c)中Lagrange類空子流形，n≥4，則Riemann不變量δn(M)滿足

其中H為M的平均曲率.當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，Mn為全測(cè)地子流形.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Mn是Nnn/2(c)中實(shí)n維Lagrange類空子流形.在(c)上選取局部規(guī)范正交標(biāo)架場(chǎng):

使得其限制于Mn時(shí)，{e1，e2，…，en}與Mn相切.本文約定各類指標(biāo)取值范圍如下:

A，B，C，…=1，2，…，n，1*，2*，…，n*;i，j，k，…=1，2，…，n; α，β，γ，…=1*，2*，…，n*.設(shè)ωA為eA的對(duì)偶標(biāo)架場(chǎng)，使得(c)的度量為εi=1;εα=-1.于是，(c)的結(jié)構(gòu)方程為

這里JAB為線性變換J關(guān)于{eA}的變換矩陣.

限制在Mn上，有

其中h，ξ，Rijkl分別是Mn的第二基本形式、平均曲率向量和曲率張量.定義H=‖ξ‖，Hα=()n×n.

設(shè)()為n維Riemann流形，M為N的m維子流形，N上的Riemann度量誘導(dǎo)了M上的Riemann度量g.設(shè)f:N→?為可微函數(shù).考慮條件極值問題:

可得:

引理1［6］假設(shè)x0∈M是問題(11)的解，則:

是半負(fù)定的，其中:gradf為函數(shù)f的梯度;h為M在N中的第二基本形式.

2 定理1中不等式的證明

對(duì)任意的x∈M，設(shè)單位切向量X∈TxM，且Mn在x點(diǎn)沿X方向的Ric曲率最小，在TxM和M中分別取標(biāo)準(zhǔn)正交基{e1，e2，…，en}和，…，}，使得e1=X.如果L=TxM，則由式(1)得

又由式(8)可得

上，其中k1*為常數(shù).對(duì)函數(shù)f1*關(guān)于每個(gè)自變量求偏導(dǎo)，有

則由式(13)～(17)可得

設(shè)q為P上的任意一點(diǎn)，則雙線性形式α:TqP×TqP→?為

其中:h'為P上的第二基本形式;為?n上的Riemann度量.在?n的自然標(biāo)架場(chǎng)下，的Hesse矩陣為

因?yàn)镻為?n中的全測(cè)地子流形，考慮X∈TqP，易見

所以為凸函數(shù)，于是由式(18)給出的(，，…，)是最大值點(diǎn)，因此

考慮問題maxfα(α=2*，3*，…，n*)，限制在P:++…+=kα上，其中kα為常數(shù).同理可得fα的(，…，hαnn)最大值點(diǎn)滿足

3 定理1中等號(hào)成立的證明

命題1 設(shè)Mn為(c)中Lagrange類空子流形，n≥3，x∈Mn，則δn(x)滿足

當(dāng)且僅當(dāng)TxM中存在標(biāo)準(zhǔn)正交基{e1，e2，…，en}，使得

其中a為Mn上的函數(shù)，且j，k=3，4，…，n.

其中j，k=3，4，…，n且j≠k.

當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，注意到式(19)和式(21)，必有a1=0.在切空間TxM和法空間中分別取標(biāo)準(zhǔn)正交基{e1，e2，…，en}和，…，}，使得ξ=，再由式(8)可得式(24).證畢.

下面證明定理1中等號(hào)成立的結(jié)論.假設(shè)δn(x)滿足式(23)，Mn不是全測(cè)地的，不妨假設(shè)在x點(diǎn)h(x)≠0.由命題1知，TxM中存在標(biāo)準(zhǔn)正交基{e1，e2，…，en}，使得式(24)成立.注意到h(x)≠0，則a≠0.因?yàn)榕c平均曲率向量平行，所以可以在x點(diǎn)的一個(gè)開鄰域Ox將擴(kuò)充為一個(gè)可微向量場(chǎng)，使得與平均曲率向量場(chǎng)平行.所以在開鄰域Ox內(nèi)任一點(diǎn)，Weingarten變換有3個(gè)特征值:2a，9a和3a，且重?cái)?shù)分別為1，1，n-2.于是可將TxM的正交基{e1，e2，…，en}擴(kuò)充為開鄰域Ox的局部標(biāo)準(zhǔn)正交基，使得對(duì)Ox內(nèi)任一點(diǎn)都有式(24)成立.

因?yàn)镸n為(c)的不變子流形［14］，所以對(duì)Mn上任意切向量場(chǎng)X，Y，Z，有

由式(29)，(33)可得ek(a)=0，再結(jié)合式(27)可得=0.由式(27)，(31)可得=0，再結(jié)合式(29)有=0.由式(40)，(41)有e1(a)=0，再結(jié)合式(32)有)=0.注意到式(34)，故有=0.由式(28)，(37)，(41)有)=0，再結(jié)合式(30)，(36)，(38)有=0.又由式(37)有

結(jié)合式(45)～(47)有a=0，這與a≠0的假設(shè)矛盾.故必有a=0，則Mn為全測(cè)地子流形.

［1］ CHEN Bangyen.Some Pinching and Classification Theorems for Minimal Submanifolds［J］.Arch Math，1993，60:568-578.

［2］ Chern S S.Minimal Submanifolds in a Riemannian Manifold［M］.Lawrence:University of Kansas Press，1968.

［3］ Chen B Y，Dillen F，Verstraelen L，et al.Totally Real Submanifolds of CPnSatisfying a Basic Equality［J］.Arch Math，1994，63(6):553-564.

［4］ Defever F，Mihai I，Verstraelen L.B.-Y.Chen’s Inequality for Submanifolds of Sasakian Space Forms［J］.Boll Unione Mat Ital，2001，4B(2):521-529.

［5］ Gülbahar M，Kilic E，Keles S.Chen-Like Inequalities on Lightlike Hypersurfaces of a Lorentzian Manifold［J］.Journal of Inequalities and Applications，2013，2013(1):266.

［6］ Oprea T.Optimizations Methods on Riemannian Submanifolds［J］.An Univ Buc，2005，1:127-136.

［7］ Oprea T.Chen’s Inequality in Lagrangian Case［J］.Colloq Math，2007，108:163-169.

［8］ Bolton J，Montealegre C R，Vrancken L.Characterizing Warped Product Lagrangian Immersions in Complex Projective Space［J］.Proc Edinb Math Soc，2009，52(2):273-286.

［9］ Tripathi M M.Improved Chen-Ricci Inequality for Curvature-Like Tensors and Its Applications［J］.Differential Geometry and Its Applications，2011，29(5):685-698.

［10］ CHEN Bangyen.Relations between Ricci Curvature and Shape Operator for Submanifolds with Arbitrary Codimensions［J］.Glasg Math J，1999，41(1):33-41.

［11］ Oprea T.On a Riemannian Invariant of Chen Type［J］.Rocky Mountain J Math，2008，38(2):567-581.

［12］ Dillen F，F(xiàn)astenakel J.On an Inequality of Oprea for Lagrangian Submanifolds［J］.Cent Eur J Math，2009，7(1): 140-144.

［13］ CHEN Bangyen，Dillen F.Classification of Marginally Trapped Lagrangian Surfaces in Lorentzian Complex Space Forms［J］.Journal of Mathematical Physics，2007，48(1):013509.

［14］ CHEN Bangyen，Ogiue K.On Totally Real Submanifolds［J］.Trans AMS，1974，193:257-266.

(責(zé)任編輯:趙立芹)

Inequalities of Chen Type for Lagrangian Submanifolds of a Class of Indefinite Complex Space Form

ZHANG Pan，ZHANG Liang，SONG Weidong
(College of Mathematics and Computer Science，Anhui Normal University，Wuhu 241000，Anhui Province，China)

We obtained an inequality of Chen type for Lagrangian submanifolds of a class of indefinite complex space form using the Riemannian invariant and the optimization method on the Riemannian manifolds.In particular，we also showed that a Lagrangian submanifold of the indefinite complex space form attaining equality in the inequality must be totally geodesic.

indefinite complex space form;Lagrangian submanifolds;inequality of Chen type;totally geodesic

O186.12

A

1671-5489(2014)03-0439-06

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2014.03.07

0 引言及主要結(jié)果

2013-07-15.

張 攀(1991—)，男，漢族，碩士研究生，從事微分幾何的研究，E-mail:zhangpan1991622@sina.com.通信作者:張 量(1979—)，男，漢族，碩士，副教授，從事微分幾何的研究，E-mail:zhliang43@sohu.com;宋衛(wèi)東(1958—)，男，漢族，教授，從事微分幾何的研究，E-mail:swd@sina.com.

安徽省高校優(yōu)秀青年人才基金(批準(zhǔn)號(hào):2011SQRL021ZD).