申藝杰， 陳錦昌

（1. 華南理工大學機械與汽車工程學院，廣東 廣州 510640；2. 華南理工大學設計學院，廣東 廣州 510006）

新型圓錐曲線組合圖規(guī)設計及其原理

申藝杰1， 陳錦昌2

（1. 華南理工大學機械與汽車工程學院，廣東 廣州 510640；2. 華南理工大學設計學院，廣東 廣州 510006）

分析了新型圓錐曲線圖規(guī)（橢圓規(guī)、雙曲線規(guī)和拋物線規(guī)）設計的數(shù)學原理，利用圓錐曲線的光學性質和幾何性質提出了一套圖規(guī)設計的基本理論，基于這套理論設計出一種新型的、由多個簡單連桿型機構零件組合而成的圓錐曲線圖規(guī)；應用這種組合圖規(guī)可以規(guī)范、快速地繪制出各種工程上常見的二次曲線，彌補了工程制圖中一般繪圖儀器功能單一的缺點，有較好的應用前景。

工程制圖；圓錐曲線；幾何性質；圖規(guī)儀器

繪圖是工程技術人員經(jīng)常性的工作，對一般的直線、圓弧或圓利用常用的尺規(guī)作圖即可繪制[1]。在幾何作圖和工程制圖中，除了直線、圓弧和圓之外，橢圓、雙曲線、拋物線也是常遇到的線形。在繪制這些圓錐曲線時，其常用作圖方法現(xiàn)有多段圓弧連接代替、徒手繪畫、曲線板描畫的方法，前兩者近似的作圖方法得到的曲線不光滑、難看而且費時，而利用曲線板只能刻畫出曲線板上規(guī)定參數(shù)的曲線，在實際工程制圖中很不實用。繪制橢圓的橢圓規(guī)有不少，卻只能解決橢圓繪制問題，且因為種種設計的局限而目前不能得到廣泛地推廣。設計人員不得不采用像四圓心法、八圓心法等較為復雜的近似方法，或者必要時采用同心圓法、平行四邊行法，并借助于曲線板繪制不準確的橢圓。為了改變這種狀態(tài)，提高工作效率，長期以來，人們在橢圓規(guī)的研制方面曾做了不少工作[2-4]，但由于其結構較為復雜，使用不便，而且只能繪制較大的橢圓，所以一直沒有被廣泛采用，實用性不強。除橢圓規(guī)外，對于其他圓錐曲線的繪制，由于目前還缺乏簡單而實用的儀器，更沒有能同時繪畫橢圓、雙曲線和拋物線的常見二次曲線的圖規(guī)。本文利用圓錐曲線的幾何性質和光學性質，提出了一種新型的圓錐曲線圖規(guī)設計的基本理論，并由此設計出一種新型圓錐曲線圖規(guī)儀器，該儀器可以規(guī)范并且快速地制出各種工程上常見的二次曲線，具有實用性。

1 新型圓錐曲線圖規(guī)設計的數(shù)學原理與儀器構造

1.1 橢圓規(guī)的設計原理及構造

1.1.1 橢圓規(guī)的設計原理

如圖1所示，在以F1、F2為焦點的橢圓上任取一點P，過點P作橢圓的切線，以這條切線為對稱軸作出原來橢圓的軸對稱圖形，當然軸對稱圖形也是橢圓，這個橢圓的焦點分別是橢圓具有光學性質，即以 F2為焦點射出光線經(jīng)過橢圓邊界反射后經(jīng)過點F1，再根據(jù)反射定律，橢圓在點 P的法線是角 ∠ F2PF1的角平分線，那么就能推出 F1PF′ 共線， F2PF′共線。根據(jù)橢圓的性質，橢圓上一點到兩個焦點的距離之和為橢圓的長軸長，則 PF1+ PF2為一定值，又因為軸對稱的性質有則有性質F1F′= F2F′。保持圖形的這一性質，令點P在橢圓上運動，則在生成的動態(tài)圖形中，有不變量F1F和′，因為兩橢圓是全等的，所以′也是不變量。

圖1 橢圓規(guī)設計原理

以上論證中所用到的相關圓錐曲線幾何性質在文獻[5-6]中都可以找到，屬于數(shù)學問題，這里不再證明。下文引用相同，不再贅述。

1.1.2 橢圓規(guī)的構造

利用上述的幾何原理制作出一套連桿裝置，按照圖1所示的幾何關系，將F1、F2固定，則以四點為鉸接點，連上兩條定長的桿件再以為鉸接點，連上一個定長的桿′則形成一個如圖1的機構，該機構在運動過程中′的交點 P的軌跡是一個橢圓。在桿′上刻制出一條軌道槽，軌道槽中存在一個能固定筆芯的滑塊于兩槽相交處，將滑塊的位置限制在點 P的動態(tài)位置，則隨點 P的運動就可以畫出一個橢圓了。

圖2 雙曲線規(guī)設計原理

1.2 雙曲線規(guī)的設計原理及構造

1.2.1 雙曲線規(guī)的設計原理

將橢圓換成雙曲線，如圖2所示，在以 F1、 F2為焦點的雙曲線一支上任取一點P，過點P作雙曲線的切線，以這條切線為對稱軸作出原來雙曲線的軸對稱圖形，軸對稱圖形是全等的雙曲線，這個雙曲線的焦點分別是雙曲線也具有光學性質，即以 F2為焦點射出光線經(jīng)過邊界反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過點 F1，再根據(jù)反射定律可推知雙曲線在點 P的法線是角∠ F2PF1的角平分線，那么就能推出′共線，PF2′共線。根據(jù)雙曲線的幾何性質，雙曲線一上點到兩個焦點的距離之差為雙曲線的實軸軸長，則 PF1- PF2為一定值，又因為軸對稱的性質有則有性質保持圖形的這一性質，令點 P在雙曲線上運動，則在生成的動態(tài)圖形中，有不變量′和因為兩雙曲線是全等的，所以則有等腰梯形再由等腰梯形的性質，等腰梯形的兩條對角線都相等，又得出兩個不變量，這個定值就是雙曲線的實軸長。

1.2.2 雙曲線規(guī)的構造

利用上述的幾何原理制作出一套連桿裝置，取兩支相同的連桿，分別在上打出兩個定位孔，這兩個定位孔的距離為一定，即是要畫出的雙曲線的實軸長值，打孔時要注意，其中一個孔打在桿的一端，將它稱為端定位點，向另一個方向量出需要的長軸長值，在那個位置打上第二個孔，稱為中間定位點，注意桿要取得足夠長，余下向另一端延伸方向的區(qū)段稱為自由段，分別將一個桿的端定位點和另一個桿中間定位點分別在點F1、F2固定，則沒有定位的桿上的定位孔位置點分別為即是前一個桿的中間定位點和后一個桿的端定位點。再取一根長度為雙曲線焦距的定長桿，以桿上的′為鉸接點鉸接上去，給機構限制后，則該機構運動過程中的交點P的軌跡是一個雙曲線。在桿上的自由段部分刻制出一軌道槽，軌道槽中存在一個能固定筆芯的滑塊于兩槽相交處，將滑塊限制在點P的動態(tài)位置，則隨著點P的運動，這樣就可以畫出一條雙曲線了。

1.3 拋物線規(guī)的設計原理及構造

1.3.1 拋物線規(guī)的設計原理

對于拋物線的畫法設計要復雜一些，因為拋物線可以看作橢圓和雙曲線焦距取為無窮大的極限臨界情況，而無窮大是無法用儀器度量的，所以上述的三桿聯(lián)動畫橢圓和雙曲線的設計思想應用在這里比較困難。但是按照剛才的設計思路，利用拋物線的光學性質，可設計出一個全等拋物線滾切的動態(tài)模型，據(jù)此可以設計出拋物線規(guī)實現(xiàn)拋物線的制圖儀器，原理如下：

如圖3所示，在以F為焦點，l為準線，OF為焦準距的拋物線上任取一點P，過點P作切線t，利用拋物線的光學性質可知，從點 F發(fā)出的光線以拋物線為鏡面反射的光線與軸平行，則可知過點P作軸的平行線就是直線PF關于切線t軸對稱線，又根據(jù)拋物線的性質，線段PF=PF′即有等腰三角形 ΔP FF′、FF′的垂直平分線是切線 t，由上述分析可知拋物線準線上的一個點與焦點的連線段垂直平分線與過這一點與軸平行的直線的交點軌跡是這條拋物線。

圖3 拋物線規(guī)設計原理

1.3.2 拋物線規(guī)的構造

據(jù)上述原理可以設計成拋物線規(guī)，因為FF′的中點Q在OF的垂直平分線上，即在拋物線過頂點的切線t1上，也即在過拋物線頂點與軸垂直的直線上，那么就在這根直線的位置上定位一根導桿 1，再在準線位置上定位另一根導桿 2，并在上面加上一個滑塊F′，再拿一根自由導桿3，讓這根導桿的一端被滑塊F′定位，而剩余的自由段被定點F限制，就是說導桿3伴隨滑塊F′運動而必須經(jīng)過點F，用一個滑塊2記錄下導桿1與導桿3的交點位置，取一根導桿4，使導桿4鎖在滑塊2上，并加鎖保持與導桿3垂直，再拿一根導桿5，使導桿5鎖在滑塊F′上，并再加鎖保持與導桿2垂直。這樣，在導桿4和導桿5的軌道槽交匯處插上筆芯，隨滑塊F′在導桿2的軌道上滑動，這支筆芯繪畫出一條以F為焦點，l為準線的拋物線。

2 繪制圓錐曲線的組合規(guī)

2.1 組合規(guī)的組成

在解決完橢圓規(guī)，雙曲線規(guī)，拋物線規(guī)的設計原理后，就可以設計出一套組合規(guī)繪圖工具，利用這套工具的配合使用可以繪制出各種工程需要的圓錐曲線。

組合規(guī)（圖4）配有的工具（工具名稱后的括號內注明的是標準裝配中該工具的數(shù)量）。

圖4 組合規(guī)套裝示意圖

2.1.1 尋跡型導桿

尋跡型導桿是配有旁邊帶有刻度尺的滑槽軌道導桿，這種導桿的軌道用來給繪圖筆以限制畫出圓錐曲線，這種導桿稱為尋跡型導桿。在每根這種導桿上一端，即為刻度尺零刻度處，裝有一個定位釘，另一端開口，可以使滑塊滑入導桿軌道里，定位釘?shù)淖饔檬窃趫D紙上，使導桿繞著這一點旋轉，在工作中這一點是要扎在要畫的圓錐曲線的焦點位置。導桿向另一端延伸方向有軌道槽，軌道上可以安置滑塊，這個滑塊的結構非常特殊，見鎖芯滑塊。旁邊刻有刻度，其結構就像游標卡尺的結構。

2.1.2 限制性導桿

與尋跡型導桿一樣，限制性導桿軌道旁也有刻度尺，但從功能角度來講，限制性導桿的設計長度要比尋跡型導軌的長度要短，因為畫雙曲線時限制性導桿用來給尋跡型導桿加以限制，而尋跡型導軌的長度決定了繪制雙曲線的范圍。限制性導桿的結構與尋跡型導桿不相同之處在于，端頭沒有裝定位針。

2.1.3 長導桿

長導桿結構和尋跡型導桿導軌結構不同之處是端頭沒有定位針，其重要特點是兩端開口，軌道上刻有標度尺，上面裝配有一塊滑塊。考慮到用于繪制雙曲線和拋物線的范圍問題，它比限制性導桿尺度要長一些。長導桿還有一個特點是為繪制拋物線設計的，它的兩端可以伸出小圖釘，伸出小圖釘可以把整個導桿定位在圖紙上。

2.1.4 鎖芯滑塊

鎖芯滑塊的結構可分多層，每一層套上可以有滑入導軌的凸圈，凸圈通過軸承裝配在一個中心軸上。中心軸呈圓筒形，中心是夾槽孔，用來加緊與之配套的鉛芯和芯釘。凸圈可以繞中心軸自由轉動，凸圈是用來滑入導桿軌道與軌道配合的。每一個凸圈都有一個鎖定裝置，當一個凸圈滑入軌道時，凸圈沿軌道方向自由運動，而一旦上鎖，凸圈就被固定在軌道上一個指定的位置不能移動。夾入鉛芯的滑塊在滑入兩條自由尋跡軌道時，鉛芯在紙面上劃出軌道交點的軌跡。

2.1.5 凸圈

凸圈套在鎖芯滑塊上，可以在鎖芯滑塊上調整套鎖位置，它可以滑入軌道槽，與鎖芯滑塊配合使用，4中已經(jīng)介紹。

2.1.6 定位芯釘

定位芯釘是與鎖芯滑塊的夾槽相配合的芯釘，夾入鉛芯的滑塊定位在滑桿上以后，把釘定在圖紙上的一個點，那么這條導桿的運動就被限制為它的軌道必須過定點的運動。

2.1.7 鉛芯（數(shù)量不作要求，可以按需求增加）

這是與鎖芯滑塊的夾槽相配合的鉛芯，夾入鉛芯的滑塊在滑入兩條自由尋跡軌道時，鉛芯在紙面上畫出軌道交點的軌跡。

2.1.8 十字定位鎖

十字定位鎖是專門用來繪制拋物線而設計的工具，結構是有十字槽的方塊，兩槽方向垂直，中心有圓孔，圓孔的大小與凸圈相配合，槽可以卡在導桿的外沿，兩相配合，兩根桿卡在槽里時，兩根導桿被限制保持垂直。但必須在一定條件下才能加以這樣的限制。條件如下：當兩根導桿通過滑塊的兩層凸圈的滑入而配合后，把十字定位鎖中心圓孔與上層露出的凸圈相配合后，下方槽卡在下邊導桿外沿，這樣就可以在上方槽上再拿一根長導桿配合上去，利用長導桿的圖釘可以定位上去；也可以不這么做，這樣做以后，兩根桿運動限制在槽里時，隨機械運動兩根導桿保持垂直。也可以對上層的桿進行限制，原理相同。

2.2 組合規(guī)的使用方法

2.2.1 繪制橢圓

需要工具（按上節(jié)的編號給出，括號中注明的是在該繪制工作中所需要此工具的數(shù)量，下文同）：1(×2)，2(×1)，4(×3)，5(×6)，7(×1)。

步驟一：找出要畫橢圓的兩個焦點的位置和橢圓上的一個點，儀器套裝中拿出兩根尋跡型導桿。兩根導桿的定位端釘在圖紙上要畫的橢圓的焦點位置，將鎖芯滑塊插好鉛芯兩層凸圈分別滑入兩根尋跡型導桿的導軌，鉛芯方向朝向紙面，鉛芯位置就在兩自由導軌的交點，整個系統(tǒng)構成一個動態(tài)機構。

步驟二：拿出一根限制性導桿，利用其上的刻度尺，將其上軌道滑入兩個鎖芯滑塊調至距離為橢圓的焦距，鎖定在桿上。

步驟三：將限制性導桿上兩個鎖芯滑塊再加凸圈，使得兩滑塊可以分別滑入兩根尋跡型導桿的軌道槽中，分別在兩根尋跡型導軌上的刻度尺上讀數(shù)，讀到要繪制的橢圓半長軸長度處，將對應軌道上的鎖芯滑塊滑到這個位置用鎖定裝置鎖住。這時三根桿的搭接方式由下層到上層分別為第一根尋跡型導桿、限制性導桿、第二根尋跡型導桿，構成整個動態(tài)機構，用手拿住限制性導桿順著力引動機構，筆芯畫出了一個橢圓（圖5）。

需要說明的是，當裝配好組件如圖5所示，把筆芯一開始需要放在橢圓的一個長軸端點。因為桿件不可能無限細，所以筆尖不可能與之完全重合，用儀器旋轉繪制后出現(xiàn)一個缺口，該誤差可以通過提高制作工藝的精確程度來縮小到可以忽略的程度。然后手動驅動機構逆時針旋轉一周，便畫出一個圓。

圖5 應用組合規(guī)畫橢圓

2.2.2 繪制雙曲線

需要工具：1(×2)，2(×1)，4(×3)，5(×6)，6(×1)，7(×1)

步驟一：找出要畫雙曲線兩個焦點的位置和雙曲線上的一個點，儀器套裝中拿出一根尋跡型導桿，導桿的定位端釘在圖紙上要畫的雙曲線的一個焦點位置。

步驟二：拿出一根限制性導桿，在其軌道上滑入兩個鎖芯滑塊，利用其上的刻度尺，一個定位到軌道端頭，另一個定位到刻度在一個焦距的位置，并且將這個滑塊通過在加套一個凸圈的方法滑入步驟一中尋跡型導桿的軌道中。

步驟三：拿出又一根限制性導軌，通過在加套一個凸圈的方法將位于限制性導桿端頭的滑塊滑入其中。

步驟四：拿出兩個鎖芯滑塊，分別滑入步驟三中的限制性導桿的軌道中，向先滑入的那個鎖芯滑塊里插入定位芯釘，并在限制性導桿的刻度尺上讀數(shù)到雙曲線的實軸長的位置，向后滑入的鎖芯滑塊插入鉛芯并通過在加套一個凸圈的方法滑入步驟一中尋跡型導桿的軌道中。這時將定位芯釘釘在雙曲線的另一個焦點上，三根桿的搭接方式由下層到上層分別為第一根尋跡型導桿、第二根尋跡型導桿、限制性導桿，構成整個動態(tài)機構，用手拿住限制性導桿順著力引動機構，筆芯畫出了一支雙曲線（圖6）。

需要說明的是，這里繪制出來的雙曲線范圍決定于尋跡型導桿的長度，可根據(jù)工程的需要，采用不同規(guī)格的套規(guī)進行繪制。

圖6 應用組合規(guī)畫雙曲線

2.2.3 繪制拋物線

需要工具：1(×4)，3(×2)，4(×3)，5(×6)，7(×1)，8(×3)

步驟一：找出要畫拋物線的焦點位置、準線位置和頂點切線的位置（頂點切線與準線平行，焦點到頂點切線的距離和頂點切線到準線的距離相同，都是半個焦準距的長度）。然后從儀器套裝中拿出兩根長導桿，兩根長導桿兩端伸出圖釘，把兩根桿軌道分別定位到準線位置和頂點切線位置。

步驟二：拿出一根限制性導桿，使被固定在圖紙上的兩根長導桿的兩個滑塊的另端凸圈按先準線位置上的導桿，再頂點切線位置的導桿的順序滑入限制性導桿的軌道里，向限制性導桿軌道里滑入一個加有定位芯釘?shù)幕瑝K，再把定位釘釘在焦點處，注意滑塊對導桿都不定位。

步驟三：拿出兩個十字定位鎖和兩根長導桿，在準線位置長導桿上的滑塊處利用十字定位鎖運用垂直限制加上一根過該滑塊對應點與準線垂直的長導桿，再在頂點切線位置長導桿上的滑塊處利用十字定位鎖運用垂直限制加上一根過該滑塊對應點與限制性導桿垂直的長導桿。拿出一個夾緊鉛芯的滑塊滑到這兩根長導桿里，筆跡即是長導桿軌道交點軌跡，就是拋物線（圖7）。手握準線位置倒桿上的滑塊上下運動控制機械即可。

圖7 應用組合規(guī)畫拋物線

2.2.4 繪制圓

圓也屬于圓錐曲線，要畫出半徑為R的圓，取一根尋跡型導桿，把它一端定位在圓心處，向軌道中滑入插好筆芯的滑塊到刻度尺半徑 R處，手持導桿旋轉一周即可。

3 結 束 語

本文從圓錐曲線的幾何性質和光學性質出發(fā)，分別給出了橢圓規(guī)、雙曲線規(guī)和拋物線規(guī)設計的數(shù)學原理及圖規(guī)構造，設計出一種新型的圓錐曲線組合圖規(guī)儀。該設計彌補了常見的傳統(tǒng)橢圓規(guī)功能單一的缺陷，能夠繪制出工程制圖中不同的基于焦點的各種參數(shù)的平面二次曲線（即已知焦點的位置）。本設計的圓錐曲線圖規(guī)操作簡單，易于推廣，具有一定實用性。

該產(chǎn)品還沒有進行商業(yè)化，還在實驗測試階段，整套機械主要運用的都是簡單平面連桿機構，所以操作簡單易于制作，利用文獻[7]中的方法進行機構分析，可以進一步驗證各處機構的科學性、合理性。目前在實驗室中連接的簡易模型工作狀態(tài)良好，可以繪制出上文要求的各種圓錐曲線，繪圖區(qū)域的大小由桿件的長短控制，可以批量生產(chǎn)出不同規(guī)格的適用于不同繪圖區(qū)域要求的套裝，隨著機構的精細程度提高，可以提高它的繪圖精度，未來的開發(fā)和應用價值可佳。

[1] 馬希青. 機械繪圖工具和儀器的使用方法[M]. 北京:機械工業(yè)出版社, 2010: 2-20.

[2] 曾毅慧. 橢圓規(guī)設計中的一些問題及解決途徑[J].機械工程師, 1988, (6): 20-22.

[3] 高利宏. 一種橢圓規(guī)的設計及附加功能介紹[J]. 機械設計, 1997, (8): 44.

[4] 杜密科, 劉淑先. 兩種橢圓規(guī)機構的設計及原理[J].機械工程師, 1995, (4): 18-19.

[5] A·科克肖特, F·B·沃爾特斯. 圓錐曲線的幾何性質[M].蔣聲譯. 上海: 上海教育出版社, 2002: 1-27, 34-122.

[6] [古希臘]阿波羅尼奧斯. 阿波羅尼奧斯圓錐曲線論[M]. 朱恩寬等譯. 西安: 陜西科學技術出版社, 2007: 244-318.

[7] 華大年, 華志宏. 連桿機構設計與應用創(chuàng)新[M]. 北京: 機械工業(yè)出版社, 2008: 194-288.

A New Design of Combinational Conical Curve Gauge and Principle of Chart

Shen Yijie1, Chen Jinchang2
(1. Machinery and Automobile Engineering Institute, South China University of Technology, Guangzhou Guangdong 510640, China; 2. School of Design, South China University of Technology, Guangzhou Guangdong 510006, China)

Through analyzing mathematical principles of designing the conical curve gauge (ellipse gauge, hyperbola gauge and parabola gauge), a set of design theory is put forward based on the optical and geometric properties of conical curve. By applying this theory, a new type of conical curve gauge is designed, which is composed of multiple simple linkage mechanical parts assembly, and which can help quickly draw various normative conical curves common in engineering. It makes up for the disadvantage that the function of general engineering drawing instrument is single and has a good prospect of application.

engineering drawing; conic curve; geometrical properties; compasses instrument

O 17

A

2095-302X (2014)02-0208-06

2013-03-25；定稿日期：2013-07-01

湖南省教育廳資助項目（12C0118）；湖南科技大學教研資助項目（G31022）

申藝杰（1992-），男，河南洛陽人，本科生。主要研究方向為機械工程及自動化。E-mail：syj92929@163.com

陳錦昌（1956-），男，廣東南海人，教授，碩士。主要研究方向為工程圖學、計算機圖形學、工業(yè)設計。E-mail：jcchen@scut.edu.cn