倪玉雙，楊偉軍，梁建國，蔣耀華

（1.長沙理工大學 土木與建筑學院，長沙410114；2.中機國際工程設計研究院有限責任公司，長沙410007）

砌體墻是由塊體、豎向灰縫、水平灰縫組成的一種各向異性材料，混合結構房屋中，墻體除了承受墻體平面內的豎向荷載外還承受垂直于墻面的平面外荷載，包括風載和水平地震作用等。它本質上相當于四邊有支撐的豎向平板，該平板受到垂直于它表面的荷載，墻體向外彎曲時，在墻體內引起壓應力和拉應力，朝向荷載的墻面受壓，而另一面受拉。所以將由塊體和砂漿組成的砌體墻進行勻質化后即可以采用板的理論來進行研究。

砌體勻質化理論是源于復合材料力學的新興砌體研究理論，勻質化方法即按照連續(xù)體假設，綜合考慮塊體和砂漿的共同表現，將其幾何和材料信息融入到一個等效體中，再將等效體應用到整個結構中的方法。一些學者驗證了這一方法推導砌體結構平面內力學性能的可行性［1－9］。中國對砌體墻板平面外抗風與抗震性能的研究很少，而實際地震時砌體墻經常發(fā)生平面外破壞。國外一些學者對砌體平面外受力性能做過一些研究。但是結合砌體勻質化方法的研究不多。Mistler等［10］研究了砌體墻平面內、平面外宏觀力學性能。Louren?o等［11］分析了在平面外荷載的作用下，墻體尺寸（墻寬和墻高）對砌體結構的影響。Gilbert等［12］進行了無筋砌體墻在平面外低周反復荷載作用下的力學研究。建立了新的力學分析模型，對墻體的總的位移進行動力特性迭代分析，確定了墻體的破壞形式。Lam等［13］提出了一種采用單自由度分析模型研究無筋砌體墻在水平地震荷載作用下的平面外性能的方法。Gabriele等［14］用勻質化方法對平面外荷載作用下的砌體墻進行了極限承載力分析。

本文運用砌體勻質化理論，結合板的理論對砌體墻板的平面外性能進行研究，且本文用薄板理論和中厚板理論兩種理論來研究勻質化砌體墻的平面外力學性能，以研究兩種理論對不同厚度墻體的適用性，完善砌體分析理論。

1 砌體墻板的勻質化

圖1 砌體墻板的勻質化單元

2 克?；舴虬澹↘irchhoff彈性薄板）

2.1 勻質化模型

薄板的小撓度彎曲理論，以3個計算假定為基礎，它的基本內容最早由克?；舴颍↘irchhoff）提出，因此也稱為克?；舴蚣俣ǎ疚姆Q彈性薄板為克?；舴虬?。

假設用N＝ （Nαβ） 表示勻質化板的宏觀膜內力場，E＝ （Eαβ） 為對應的平面內應變場，Eαβ＝（U，＋U，），M＝ （M）為勻質化板的宏觀平αββααβ面外彎曲應力場，χ＝ （χαβ） 為對應的平面外應變場，Mαβ＝Dαβγδχγδ，U＝ （Ui）為位移場，其中，Ei3＝0，χα，β＝－U3，αβ，χi3＝0。

則克?；舴虬宓膭蛸|化關系式可表達［15］為式（1）。

式中：第1項為平衡條件，表示在基本組元Y上無體積力；第2項和第3項為平面應力的本構方程，它描述了各項材料復合后在組元中的性質，其中grads（uper）表示周期性位移的梯度的對稱部分；第4、5項為基本組元的邊界條件。

2.2 跨中撓度的計算

對于正交各向異性體，其物理方程為［16］

式中：aij是彈性常數，它們表示單位應力分量引起的形變分量。式中獨立的彈性常數只有9個，正應變只與正應力有關，剪應變只與相應的剪應力有關。

正交各向異性薄板在橫向荷載的作用下的彈性曲面微分方程為［16］

對于由塊體和砂漿組成的砌體墻，勻質化后即可用式（3）進行分析。式（3）中的平面外抗彎剛度可用勻質化后的分量［15，17］代入，則可將彈性力學中經典的彈性曲面微分方程進行變形，即式（3）可變形為式（4）所示形式，U表示撓度。

以四邊簡支的矩形薄板為例來計算勻質化后的砌體墻板的跨中撓度，其他邊界條件的砌體墻板也可采用類似的方法進行，只需要改變相應的邊界條件即可。

四邊簡支板的邊界條件為

當x1＝0或x1＝L時，

當x2＝0或x2＝H 時，

則撓度表示成式（7）所示的形式。

式中：Smn是待求系數；m和n都是任意正整數；L、H分別是板在x1、x2方向的尺寸。

荷載可表示成式（8）所示級數形式

則

將公式（7）代入微分方程（4）可得

其中

當板橫向受均布荷載時，即q （x1，x2）＝q，則有

3 瑞斯納板（Reissner中厚板）

3.1 勻質化模型

經典的薄板理論由于采用了克?；舴蚣僭O，在進行變形幾何分析時，忽略了橫向剪切變形（γzx，γzy） 對板撓曲的影響，但在建立平衡方程時，卻考慮了橫向剪力 （Qx，Qy）。

為了探討橫向剪切變形對板撓曲的影響。20世紀三、四十年代以來，以瑞斯納為代表的一批學者提出了考慮剪切變形的板的理論。一般稱為中等厚度板（中厚板）理論（瑞斯納理論）。在瑞斯納理論中，引入2個變量U（板的撓度）和Φ（x，y）（瑞斯納稱之為應力函數也稱為x方向轉角分量φx和y方向轉角分量φy），它們分別滿足一個4階方程及一個2階方程，總階數為6階，可以在每一邊界給出3個邊界條件，而不是經典理論的2個條件［18］。

在瑞斯納理論中，引入2個變量U和Φ，即3個位移分量和兩個轉角分量，可表示為UR＝（（x1，x2） ）和Φ ＝ （φα（x1，x2） ），與位移和轉角分量相關的應變張量可表示為

宏觀平面外彎曲應力M＝Mαβ（x1，x2），

剪力Q＝Qα（x1，x2），平面內彈性模量與平面外抗彎剛度同克希霍夫板。

即瑞斯納板的勻質化化模型相對于克?；舴虬宥?，只是增加了剪應力和剪應變。

3.2 跨中撓度的計算

對于瑞斯納板，有如下關系式成立

剪切模量用F＝ （Fαβ） 表示，則有如式（15）、（16）所示關系式存在。

同時，考慮板的平衡關系，有

采用與克希霍夫板類似的結合彈性力學中經典方程的推導方法，可將式（14）～（16）聯(lián)合χαβ＝（φ，＋φ，）代入式（17）和（18）可得式（19）～αββα

（21）。

為便于和彈性薄板進行比較，此處仍以四邊簡支板為例進行說明，即其邊界條件為

當x1＝0或x1＝L時，

當x2＝0或x2＝H時，

則滿足平衡方程和邊界條件的函數如下：

將這些函數代入微分方程組，可得

其中：

最后可解得

其中，det （gij）是gij的行列式，由式（24）即可估算板的撓度。其中平面外抗彎剛度取值同克希霍夫板。

4 算例

為驗證兩種板理論計算的勻質化砌體墻板的跨中撓度的準確性，現將計算值與試驗值進行比較。目前中國尚無墻體受平面外荷載的試驗數據，其他國家的試驗也屈指可數，Lourenco［19］做過幾組試驗，比較結果見表1。墻體均為四邊簡支受平面外均布荷載，高均為2 800mm，厚度均為150mm，寬分別為3 400mm（WI）、5 000mm（WII）和5 800mm（WIII），每組墻體3塊，試驗值為3塊墻體的平均值。計算所取材料參數見原文獻。

從表1可以看出，兩種理論計算值與試驗值吻合均較好，且中厚板理論的計算值更接近試驗值，對于WI組試驗墻體，計算值較其他兩組試驗墻體更接近于試驗值，且隨著WI組到WIII組墻體即高寬比減小時，兩種理論計算值的誤差也越來越小。因為實驗墻體只有9片，故結果有其局限性，為進一步探討2種理論的適用性，進行下面詳細的理論分析。

表1 計算值與試驗值的比較

5 兩種板理論下的跨中撓度計算比較

5.1 不同高寬比下兩種理論計算的勻質化砌體墻板的跨中撓度

以由240mm×115mm×53mm的塊體砌筑而成，承受q＝0.01MPa橫向荷載的墻體為例，邊界條件及荷載形式如圖2所示。利用Matlab軟件來計算兩種板理論下勻質化砌體墻板的跨中撓度。計算中砂漿的彈性模量為2 200MPa，泊松比為0.25。研究兩種板理論計算的跨中撓度誤差的規(guī)律時，從兩個方面來加以討論：一是固定墻體高度H ＝3 000mm，計算不同高寬比下每種厚度的墻體的跨中撓度；第二是計算相同高寬比下不同厚度墻體的跨中撓度，最后通過計算結果總結規(guī)律。

圖2 墻體的邊界條件和荷載形式

表2表示不同高寬比下各厚度墻體的撓度值，從表2及圖3中的分析結果可以看出，120、180、240及370mm的勻質化砌體墻用薄板理論和中厚板理論算得的跨中撓度值隨高寬比增大而變化的趨勢基本相同，且在固定墻高為3 000mm時，都在高寬比為1.4處誤差值高出50%，在高寬比為2時，誤差較大，從而可以得出，在利用板理論計算勻質化砌體墻的跨中撓度時，具體采用何種理論要依據墻體的尺寸而定，當兩種理論計算值誤差較小時，可用簡化的薄板理論，但是誤差較大時，需用較精準的中厚板理論，中厚板理論更接近墻體的實際力學模型。

圖3 不同高寬比下各厚度墻體的撓度誤差值

表2 不同高寬比下各厚度墻體的撓度值

5.2 相同高寬比下兩種理論計算的墻體撓度

計算相同高寬比下不同厚度墻體的跨中撓度時，仍然以由240mm×115mm×53mm的塊體砌筑而成，承受q＝0.01MPa橫向荷載的墻體為例，墻體邊界條件和荷載形式如圖2。砂漿的彈性模量和泊松比及其它相關參數同前。

5.2.1 高寬比0.5 由表3中數據和圖4中曲線走勢可以看出，高寬比為0.5時，兩種理論計算的4種厚度墻體的撓度誤差值的變化趨勢基本一致，隨著厚度與寬度或者說厚度與高度比值的增加而減小。且誤差均比較小，在10%以內，所以，此時，可用簡化的薄板理論來代替中厚板理論計算勻質化砌體墻的跨中撓度。

表3 高寬比0.5時不同厚度墻體的撓度值

圖4 高寬比0.5時不同厚度墻體的撓度誤差值

5.2.2 高寬比0.75 由表4中數據和圖5中曲線走勢可以看出，高寬比為0.75時，兩種理論計算的4種厚度墻體的撓度誤差值的變化趨勢基本一致，隨著厚度與寬度或者說厚度與高度比值的增加而減小。且誤差均比較小，在20%以內，所以，此時，可用簡化的薄板理論來代替中厚板理論計算勻質化砌體墻的跨中撓度。

表4 高寬比0.75時不同厚度墻體的撓度值

圖5 高寬比0.75時不同厚度墻體的撓度誤差值

5.2.3 高寬比1.0 由表5中數據和圖6中曲線走勢可以看出，高寬比為1.0時，兩種理論計算的4種厚度墻體的撓度誤差值的變化趨勢基本一致，隨著厚度與寬度或者說厚度與高度比值的增加而減小，誤差均在30%以內。

5.2.4 高寬比1.25 由表6中數據和圖7中曲線走勢可以看出，高寬比為1.25時，兩種理論計算的4種厚度墻體的撓度誤差值的變化趨勢基本一致，隨著厚度與寬度或者說厚度與高度比值的增加而增加，值得注意的是此時誤差的變化趨勢與高寬比不大于1.0的墻體相比，變化趨勢是相反的，從曲線圖上的曲線走勢也可以看出來，也就是說我們在確定用何種理論計算勻質化砌體墻的跨中撓度時，不光要看墻體厚度與寬度或是厚度的比值，也要考慮墻體的高寬比。

表5 高寬比1.0時不同厚度墻體的撓度值

表6 高寬比1.25時不同厚度墻體的撓度值

圖6 高寬比1.0時不同厚度墻體的撓度誤差值

圖7 高寬比1.25時不同厚度墻體的撓度誤差值

5.2.5 高寬比1.5 由表7中數據和圖8中曲線走勢可以看出，高寬比為1.5的墻體，類同高寬比為1.25的墻體，即兩種理論計算的4種厚度墻體的撓度誤差值的變化趨勢基本一致，都隨著厚度與寬度或者說厚度與高度比值的增加而增加。

表7 高寬比1.5時不同厚度墻體的撓度值

圖8 高寬比1.5時不同厚度墻體的撓度誤差值

6 小 結

用勻質化理論將砌體墻板進行勻質化后用板的理論來研究砌體墻的平面外力學性能，得到了如下結論：

1）通過與試驗墻體比較可知，用薄板理論和中厚板理論算得的跨中撓度值與試驗值吻合均較好，且中厚板理論計算值更接近試驗值。

2）通過進一步的理論分析可知，固定墻高時，120、180、240、370mm的勻質化砌體墻用兩種理論算得的跨中撓度值隨高寬比增大而變化的趨勢基本相同，且在固定墻高為3 000mm時，都在高寬比為1.4處誤差值高出50%，在高寬比為2時，誤差較大，從而可以得出，在利用板理論計算勻質化砌體墻的跨中撓度時，具體采用何種理論要依據墻體的尺寸而定，當兩種理論計算值誤差較小時，可用簡化的薄板理論，但是誤差較大時，需用較精準的中厚板理論。

3）計算相同高寬比下不同厚度墻體的跨中撓度時，要注意高寬比不大于1和大于1兩種情況下，兩種板理論計算的跨中撓度誤差值變化的趨勢是相反的，即討論兩種板理論計算的勻質化砌體墻的跨中撓度時，不能單一以某個指標來衡量，要綜合考慮墻體厚度，墻體高寬比等。

4）彈性力學中的經典板理論可用來研究砌體墻板的平面外力學性能，但是薄板理論不能模擬所有不同尺寸的墻體，中厚板理論更精準，但是計算復雜，故在不確定是否可用簡化的薄板理論時，可先用本文的方法比較二者的跨中撓度計算值，進而確定用何種理論研究其他平面外力學性能指標，即在跨中撓度計算值相差不大的情況下，就可用簡化的薄板理論，否則，就需要用計算相對復雜的中厚板理論。

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