朱明，李志農(nóng)，何旭平，鄔冠華

（南昌航空大學 無損檢測技術(shù)教育部重點實驗室，江西 南昌330063）

式（4）中：k，p為調(diào)節(jié)因子，k＞0，p＞0.

對比式（4）和式（1）可知：當p＝k＝1時，廣義S變換就退化為標準S變換，即廣義S變換繼承標準S變換的所有優(yōu)點，且通過調(diào)節(jié)因子，增強廣義S變換的自適應(yīng)性，克服了標準S變換存在的不足.

碰摩是旋轉(zhuǎn)機械的一種常見故障，是轉(zhuǎn)子系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)的一個重要原因［1］.國內(nèi)外學者對轉(zhuǎn)子碰摩故障診斷也進行了廣泛的研究，提出了一些有效的方法 .其中，最典型的是利用小波變換的良好時頻局部化特性來分析轉(zhuǎn)子碰摩故障特征.文獻［2-3］用小波尺度譜和相位譜對碰摩故障的仿真數(shù)據(jù)和試驗數(shù)據(jù)進行分析，結(jié)果表明小波尺度譜和相位譜在碰摩故障數(shù)據(jù)的分析方面具有明顯的優(yōu)勢.文獻［4］利用諧波小波變換對含定子-轉(zhuǎn)子摩擦的裂紋轉(zhuǎn)子滑動軸承系統(tǒng)的振動進行了詳細研究.文獻［5］用小波時頻等高圖來診斷質(zhì)量慢變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的碰摩故障，取得了比較好的效果.然而，在小波變換中，處理非平穩(wěn)信號時，合適的基函數(shù)選擇是非常重要的，一旦選擇，在分析信號時，基函數(shù)就不允許更改，缺乏自適應(yīng)性.而且小波分解結(jié)果只與分析頻率有關(guān)，與信號本身無關(guān).另外，其基本小波函數(shù)還必須滿足容許性條件，這些不足或多或少制約了小波變換的應(yīng)用.因此，需要尋求新的有效的時頻分析方法.S變換（S-transform）是繼小波變換后新出現(xiàn)的一種時頻分析方法，它吸取了短時Fourier變換和小波變換的所有優(yōu)點，又彌補了各自的不足［6］.S變換既是一種無損變換，又是一種線性變換，時頻分辨率與信號本身直接關(guān)聯(lián).然而，由于S變換中采用的窗函數(shù)仍是固定的，缺乏自適應(yīng)性.為克服此不足，文獻［7-9］在標準S變換的尺度因子的基礎(chǔ)上，通過引入調(diào)節(jié)因子，使得窗函數(shù)寬度能根據(jù)分析信號的頻率變化而自適應(yīng)地調(diào)整，這種改進的S變換，稱為廣義S變換.本文將廣義S變換引入到轉(zhuǎn)子碰摩故障診斷中，分析了具有不同嚴重程度的碰摩故障的振動特性，并進行了實驗驗證.

1 廣義S變換

設(shè)x（t）∈L2（R），L2（R）為能量有限函數(shù)空間，則信號x（t）的一維S變換定義為

式（1）中：f為頻率；τ為時移因子；w（τ，f）為一高斯窗函數(shù)；i為虛數(shù)單位.相應(yīng)地，S 變換的逆變換為

由式（1）可知：窗函數(shù)的寬度與頻率成反比，因而，可以根據(jù)信號的頻率變化自適應(yīng)地調(diào)節(jié)窗函數(shù)的寬度，從而得到合適的時頻分辨率.因此，標準S變換與小波變換類似，也具有多分辨率特性.然而，標準S變換具有小波變換所不具有的獨特性質(zhì)，如小波變換的分解尺度與信號頻率無關(guān)，只與分析頻率有關(guān)，缺乏明顯的物理意義.標準S變換與該信號的Fourier變換直接關(guān)聯(lián)，這樣，保證了該變換的無損性.這些獨特的優(yōu)勢，使得標準S變換比小波變換具有更強的非平穩(wěn)信號的處理能力.

由式（1）還可知，S變換中的基本小波函數(shù)仍是固定的，缺乏自適應(yīng)性.為此，文獻［7-9］通過引入調(diào)節(jié)參數(shù)對標準S變換進行延拓，給出廣義S變換（GST），其表達式為

式（4）中：k，p為調(diào)節(jié)因子，k＞0，p＞0.

對比式（4）和式（1）可知：當p＝k＝1時，廣義S變換就退化為標準S變換，即廣義S變換繼承標準S變換的所有優(yōu)點，且通過調(diào)節(jié)因子，增強廣義S變換的自適應(yīng)性，克服了標準S變換存在的不足.

利用傅里葉變換和卷積定理與式（3）推理過程［9-10］，類似可得

式（5）中：X（α＋f）為信號x（t）的傅里葉變換并平移頻率α.

式（6）中：j代表時間，j＝0，1，2，…，N-1；n代表頻率，n＝0，1，2，…，N-1.

特別地，當n＝0時的離散廣義S變換定義為

由式（7）可見：離散形式的廣義S變換可以用快速Fourier變換算法和卷積定理來實現(xiàn)，具體計算步驟見文獻［10-11］.

2 時頻分布的仿真分析

考慮如下仿真信號

圖1 信號x（t）的時域波形Fig.1 Time-domain waveform of signal x（t）

由圖2，3，4可知：不論是小波變換、標準S變換，還是廣義S變換，都有多分辨率分析特性，能明顯地反映出信號的兩個線性調(diào)頻部分，具有比較好的時頻分辨率.然而，對比這三者的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，它們之間仍有差別.

對比圖2與圖3可知：廣義S變換的時頻分辨率明顯高于小波變換，尤其是在高頻部分 .與廣義S變換相比，小波變換對非平穩(wěn)信號的處理能力是建立在選擇合適的小波基的基礎(chǔ)上，但到目前為止，如何合理地選擇小波基函數(shù)是非常困難的，且在理論上也沒有給出選擇的原則和判斷的標準 .另外，小波基函數(shù)一經(jīng)選擇，在分析過程中就不能更換，缺乏自適應(yīng)性.而且，小波分解結(jié)果只與分析頻率有關(guān)，而與信號自身頻率沒有任何關(guān)系.廣義S變換不僅吸收了小波變換的所有優(yōu)點，而且通過調(diào)節(jié)參數(shù)，大大增強了對信號本身分析處理的自適應(yīng)性，可以靈活調(diào)節(jié)窗函數(shù)的寬度，以達到分析信號時，能獲得最佳的時頻分辨率.因此，廣義S變換比小波變換具有明顯的優(yōu)勢.

圖2 信號x（t）的廣義S變換Fig.2 Generalized S-transformation of signal x（t）

圖3 信號x（t）的小波變換Fig.3 Wavelet transform of signal x（t）

圖4 信號x（t）的標準S變換 Fig.4 Standard S-transformation of signal x（t）

對比廣義S變換和標準S變換發(fā)現(xiàn)，兩種方法都具有和小波變換類似的多分辨率分析的思想.從圖2與圖4中可以明顯地看出，當頻率逐漸增大時，標準S變換的高頻部分的分辨率遠不及廣義S變換.這主要是因為標準S變換中的基本小波函數(shù)缺乏自適應(yīng)性造成的，而廣義S變換具有良好的自適應(yīng)性，獲得了比標準變換更高的時頻分辨率.因此，廣義S變換具有更好的實用性和靈活性.

3 實驗驗證與分析

為了進一步驗證廣義S變換的有效性，將利用廣義S變換對雙盤轉(zhuǎn)子的碰摩試驗數(shù)據(jù)進行分析.圖5為轉(zhuǎn)子實驗臺［3］.圖5中：轉(zhuǎn)子由電動機驅(qū)動，軸承為滑動軸承，用非接觸式電渦流傳感器測量垂直與水平方向的振動.

圖5 試驗臺簡圖Fig.5 Test bench schematic

圖6 定子結(jié)構(gòu)示意圖Fig.6 Schematic diagram of the stator

為了能更好地模擬出實際碰摩的過程，專門設(shè)計了一個有可能產(chǎn)生全周碰摩的定子.轉(zhuǎn)子徑向碰摩故障通過圖6的裝置來模擬，通過置換不同內(nèi)徑的定子，可以模擬不同程度的碰摩故障［3］.在該實驗中，轉(zhuǎn)速為3 000 r·min-1，采樣頻率為1.6 k Hz，采樣點數(shù)是512.利用傳感器獲得的兩種不同的碰摩程度下的振動信號及其相應(yīng)的頻譜圖，分別如圖7，8所示.廣義S變換的時頻分布，如圖9所示.為了比較，在此也相應(yīng)地給出了無碰摩的振動波形、頻譜圖和廣義S變換的時頻分布.

由圖8（a）可知：無碰摩時只存在1X，不存在其他倍頻信息.從圖8（b）可知：輕微碰摩故障的頻譜圖上主要顯示了信號的1X和2X諧波分量，而其他諧波分量，包括那些高階整數(shù)倍頻諧波分量，相對于1X和2X頻諧波分量，在頻譜圖上都顯得很小.由圖8（c）可知：嚴重碰摩產(chǎn)生的沖擊在轉(zhuǎn)子振動信號中激發(fā)了豐富的頻率分量，這些頻率分量的幅值也很大.很明顯，在頻譜圖中，并不能反映出信號頻率隨時間變化的特點.

圖7 碰摩故障試驗振動信號Fig.7 Rub-impact fault test vibration signal

圖8 碰摩故障試驗振動信號的頻譜圖Fig.8 Rub-impact fault test vibration signal spectrum

從圖9（a）可知：無碰摩時的廣義S變換只存在1X，且幅值是連續(xù)不變的.由圖9（b）可知：信號的1X和2X分量反映明顯，基本上比較穩(wěn)定，而其他高階分量與1X和2X分量相比較，明顯非常微弱，高階頻率分量都是周期性地被激發(fā).對比圖9（b）和圖9（c）可知：嚴重碰摩產(chǎn)生的頻率成分明顯比輕微碰摩更豐富，不僅1X，2X頻率成分持續(xù)存在，而且3X分量持續(xù)存在，且幅值比較穩(wěn)定，更高階次的頻率成份反映也比輕微碰摩更明顯，并且較有規(guī)律地間斷地出現(xiàn).

圖9 轉(zhuǎn)子碰摩的廣義S變換Fig.9 Generalized S-transformation of rotor rub-impact

因此，利用所提出的方法能很好地反映碰摩故障的嚴重程度，揭示碰摩故障特征.當發(fā)生輕微碰摩時，只有一些低階頻率成分持續(xù)存在，高階分量非常微弱.隨著碰摩程度的增加，除了低階頻率外，更高的頻率成分也會逐漸有規(guī)律地間斷地出現(xiàn)，并且幅值明顯增大.

4 結(jié)論

廣義S變換是一種新的時頻分析方法，該方法通過引入兩個調(diào)節(jié)參數(shù)k和p，可以靈活地調(diào)節(jié)窗函數(shù)的寬度，從而能夠獲得最佳的時頻分辨率 .基于廣義S變換在處理非平穩(wěn)信號的獨特優(yōu)勢，將廣義S變換引入到轉(zhuǎn)子碰摩故障診斷中，提出基于廣義S變換的轉(zhuǎn)子碰摩故障診斷方法，分析了具有不同嚴重程度的轉(zhuǎn)子碰摩故障的振動特性，并進行了仿真和實驗驗證.

仿真結(jié)果表明：廣義S變換具有良好的自適應(yīng)性，在處理非平穩(wěn)信號時明顯優(yōu)于小波變換和標準S變換.實驗結(jié)果進一步驗證了該方法的有效性，廣義S變換能夠準確地反映出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)無碰摩、輕微碰摩和嚴重碰摩的振動特征，揭示碰摩故障數(shù)據(jù)的頻率結(jié)構(gòu)，從而有效地提取出了碰摩故障信號的諧波特征，區(qū)分轉(zhuǎn)子碰摩故障的不同嚴重程度.

文中的研究為轉(zhuǎn)子碰摩故障診斷提供了一種有效的方法，同時，對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)其他類型故障的分析提供了很好的借鑒作用.

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