張海波

(吉林化工學院理學院，吉林吉林132022)

1 預(yù)備知識

微分方程多點邊值問題在應(yīng)用數(shù)學和物理等不同的領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用，如:彈性力學、核物理、化學工程、地下流水等很多問題都可以歸結(jié)為邊值問題的研究.近年來，對于多點邊值問題的研究取得了不少結(jié)果，如文［1-4］，本文給出了二階多點邊值共振問題

這里f:［0，1］×R2→R=(-∞，+∞)是連續(xù)函數(shù)，其中 e(t)∈L1［0，1］，βi∈R，i=1，2，…，m-2，βi取不同的符號，0＜ ξ1＜ ξ2＜ … ＜ ξm-2.本文主要應(yīng)用Mawhin重合度理論討論共振條件下的二階多點邊值問題(1.1)、(1.2)、(1.3)的解的存在性.

定義1.1 設(shè)L:domL?X→Y是一個零指標的Fredholm映射.如果Ω?X是一個有界開子集，domL∩ Ω ≠ φ ，且 QN(Ω)有界，Kp(IQ)N:Ω→X是緊的，則稱N:X→Y在Ω上是L-緊的.

引理1.1 (Arzela-Ascoli引理)為了使F?C［0，1］是一個列緊集，必須且僅須F是一致有界且等度連續(xù)的函數(shù)族.

引理1.2［5］設(shè) L是零指標的 Fredholm 算子，N在Ω上是L-緊的.假設(shè)

(i)Lx≠ λNx，?(x，λ)∈ ［(domLKerL)∩ ?Ω］× (0，1);

(ii)Nx?ImL，?x∈KerL∩?Ω;

(iii)deg(JNQKerL，Ω ∩ KerL，0)≠0 .

其中Q:Y→Y是一個投影，滿足ImL=KerQ，則方程Lx=Nx在domL∩Ω中至少有一個解.

本文所用的 Banach 空間是 Ck［0，1］(k=0，1)和 L1［0，1］.對 x ∈ C1［0，1］時，定義 ‖x‖∞= maxt∈［0，1］x(t) ， ‖x‖ = max{‖x‖∞，‖x＇‖∞}，記 L1［0，1］的范數(shù)為 ‖·‖1.我們還將用到Sobolev空間，Sobolev空間定義為:

W2，1(0，1)={x:［0，1］→ R:x，x＇在［0，1］上絕對連續(xù)，x″∈ L1［0，1］}.

記 X=C1［0，1］，Y=L1［0，1］.定義線性算子L:domL∩X→Y如下:

N(x)=f(t，x(t)，x＇(t))+e(t)， ?x∈X ，

其中

domL= {x ∈ X:x″∈ L1［0，1］}，

則邊值問題(1.1)、(1.2)、(1.3)就能寫成算子方程Lx=Nx.

2 主要結(jié)果

在這部分，我們將利用重合度理論證明邊值問題(1.1)、(1.2)、(1.3)的解的存在性.為此，我們先給出一些引理.

定理2.1 設(shè) f:［0，1］×R2→ R是連續(xù)函數(shù)，e(t)∈L1［0，1］.如果滿足下列條件:

則邊值問題(1.1)、(1.2)、(1.3)在 C1［0，1］上至少存在一個解.

這里J:Ker(L)→Im(Q)是自然同構(gòu)，定義J(ct)=c，則由(H3)可證得Ω3是有界的.

(C1)Lx≠ λNx，?(x，λ)∈ ［(domLKerL)∩ ?Ω］× (0，1);

(C2)Nx?ImL，?x∈KerL∩?Ω;

(C3)令 H(x，λ)= ± λx+(1- λ)JQNx，則有

H(x，λ)≠0，x∈ KerL∩ ?Ω .

從而由拓撲度的同倫不變性，可得

故由引理1.2，得到方程Lx=Nx在domL∩Ω 中至少有一解，從而邊值問題(1.1)、(1.2)、(1.3)在 C1［0，1］中至少存在一個解.

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