呂 萌,蔡金燕,梁玉英,潘 剛,張國龍,孟 軍

（軍械工程學(xué)院，河北 石家莊 050003）

小樣本條件下雙應(yīng)力步降加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)

呂 萌,蔡金燕,梁玉英,潘 剛,張國龍,孟 軍

（軍械工程學(xué)院，河北 石家莊 050003）

針對(duì)小樣本條件下高可靠性長壽命產(chǎn)品的性能往往受到多個(gè)應(yīng)力的影響，且在加速退化試驗(yàn)中該類產(chǎn)品在有限試驗(yàn)時(shí)間內(nèi)難以獲得大量性能退化信息的問題，提出一種小樣本條件下雙應(yīng)力步降加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。采用Monte-Carlo對(duì)加速試驗(yàn)進(jìn)行仿真模擬，在樣本量大小一定的條件下，以監(jiān)測頻率、應(yīng)力水平數(shù)、監(jiān)測次數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，以總的試驗(yàn)費(fèi)用作為約束條件，以正常使用應(yīng)力下的p階分位壽命漸進(jìn)方差估計(jì)作為目標(biāo)函數(shù)，建立小樣本條件下雙應(yīng)力步降加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。通過仿真實(shí)例，驗(yàn)證該方法的有效性、可行性。

小樣本；性能退化；雙應(yīng)力步降加速退化試驗(yàn)；優(yōu)化設(shè)計(jì)

0 引言

加速退化試驗(yàn)是解決高可靠性、長壽命產(chǎn)品可靠性評(píng)估的一個(gè)重要技術(shù)途徑，Shuo-Jye Wu等[1]對(duì)在費(fèi)用約束條件下的退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行研究；LC Tang等[2]以試驗(yàn)費(fèi)用最少為目標(biāo)，對(duì)隨機(jī)過程分布下的步進(jìn)加速退化試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了研究；Zheng-zheng Ge等[3]在試驗(yàn)截尾時(shí)間和樣本量大小的約束下，以正常使用應(yīng)力下的p階分位壽命可靠度漸進(jìn)方差估計(jì)為目標(biāo)，對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)模型下步進(jìn)加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行研究；Jing-Rui Zhang等[4]以試驗(yàn)費(fèi)用作為約束，以正常使用應(yīng)力下產(chǎn)品可靠度均方誤差為目標(biāo)，對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)模型下的步降加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行研究；Hong-F Yu[5]對(duì)倒數(shù)weibull分布退化率下的加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究；Xiao-yang Li等[6]對(duì)競爭失效模型下的步降加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究，潘正強(qiáng)等[7]對(duì)基

于Wiener過程的多應(yīng)力加速退化試驗(yàn)設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究。然而小樣本條件下以費(fèi)用作為約束的雙應(yīng)力步降加速退化試驗(yàn)的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究相對(duì)較少，對(duì)小樣本量條件下電子產(chǎn)品的試驗(yàn)優(yōu)化問題沒有較為完善的理論支持。因而本文將采用Monte-Carlo仿真的方法對(duì)雙應(yīng)力步降加速退化試驗(yàn)進(jìn)行模擬，在小樣本條件下以費(fèi)用作為約束，對(duì)混合效應(yīng)模型下的雙應(yīng)力步降加速退化試驗(yàn)進(jìn)行分析。

1 小樣本條件下雙應(yīng)力步降加速退化試驗(yàn)方法

文獻(xiàn)[8]對(duì)雙應(yīng)力步進(jìn)加速退化試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析方法進(jìn)行了研究。設(shè)有兩組應(yīng)力水平S1和S2，每組應(yīng)力組合包含一系列應(yīng)力水平，為后續(xù)方便分析，在此假定兩組應(yīng)力水平數(shù)及應(yīng)力組合數(shù)大小均為k。

在滿足上述假設(shè)的前提下對(duì)試驗(yàn)過程具體描述如下：

在試驗(yàn)樣本大小n一定的條件下，首先給出k個(gè)監(jiān)測周期T1，T2，T3，…，Tk；其次將選取的樣本置于最高應(yīng)力水平組合下監(jiān)測T1小時(shí)；然后放入下組應(yīng)力水平組合下監(jiān)測T2小時(shí)；如此試驗(yàn)下去，直到最后一組應(yīng)力水平組合其中Ti是應(yīng)力組合水平持續(xù)的時(shí)間。

2 模型假設(shè)

2.1 退化模型假設(shè)

假設(shè)在第i個(gè)應(yīng)力組合下樣本的退化軌跡可用以下混合效應(yīng)模型描述：

其中i=1，2，…，k；j=1，2，…，k；l=1，2，…，n；hi=1，2，…，mi。

式中：Φ——退化量；

βil＞0——第i個(gè)應(yīng)力水平組合下第l個(gè)樣品的隨機(jī)特征，βihi-1～Weibull（m，ηi），m為形狀參數(shù)，ηi為分布參數(shù)；

tihi——i個(gè)應(yīng)力組合水平下的監(jiān)測時(shí)間點(diǎn)；

α＞0——固定常數(shù)。

εikhi（ti，k）——測量誤差，相互獨(dú)立且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

2.2 物理模型假設(shè)

退化軌跡參數(shù)中的隨機(jī)效應(yīng)參數(shù)βil服從GΘ（·）分布，分布參數(shù)中ηi與應(yīng)力存在如下關(guān)系：

3 優(yōu)化問題描述

3.1 設(shè)計(jì)變量

（1）應(yīng)力水平組合數(shù)k；（2）加速應(yīng)力水平組合下的監(jiān)測頻率；（4）gij為監(jiān)測次數(shù)，且gij≥2，因而試驗(yàn)的總時(shí)間其中tu為單位時(shí)間（小時(shí)）。從而試驗(yàn)方案可表示為

3.2 優(yōu)化目標(biāo)

選用正常使用應(yīng)力水平下p階分位壽命漸近方差的局部估計(jì)值作為目標(biāo)函數(shù)，即

3.3 約束條件

在樣本量一定的條件下，因費(fèi)用主要由監(jiān)測方面的費(fèi)用組成，故可以用費(fèi)用函數(shù)來代替時(shí)間函數(shù)對(duì)試驗(yàn)中的設(shè)計(jì)變量進(jìn)行約束，具體如下：

式中：gij≥2，fij＞0，且n和gij均為正整數(shù)；

Cm——監(jiān)測單個(gè)樣本監(jiān)測一次所需的費(fèi)用；

Cs——單個(gè)樣本費(fèi)用；

Ce——單位時(shí)間的操作費(fèi)用[1]。

4 優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

4.1 優(yōu)化算法

圖1為小樣本條件下雙應(yīng)力步降加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖。

第1步 在樣本量n給定的條件下，由式（4）可計(jì)算得試驗(yàn)應(yīng)力水平組合數(shù)ku=[（Cb-nCs）/（Ce+2nCm）]，監(jiān)測頻率fu=[（Cb-nCs-2knCm）/（kCe）]的上限，[·]為取整函數(shù)；利用式（4）尋找所有的gi，構(gòu)造應(yīng)力水平并計(jì)算各應(yīng)力水平大小其中i=1，2，…，k；j=1，2，…，k。通過對(duì)上述變量計(jì)算完成對(duì)試驗(yàn)方案集的構(gòu)造。

圖1 小樣本條件下雙應(yīng)力步降退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖

第2步 在備選方案集D中選取一個(gè)試驗(yàn)方案其中R為備選方案的個(gè)數(shù)。

第3步 利用Monte-Carlo方法，模擬雙應(yīng)力步降加速退化試驗(yàn)Q次，得到Q組模擬試驗(yàn)數(shù)據(jù)：

第4步 通過對(duì)ycilhi進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值fq，r（d）。

將其作為目標(biāo)函數(shù)值fr。

第6步 返回第2步選取另一個(gè)試驗(yàn)方案重復(fù)第2～5步，直至第R個(gè)方案完成，目標(biāo)函數(shù)集為f= {fr，r=1，2，…，R}；

第7步 選取使得目標(biāo)函數(shù)值fr達(dá)到最小的方案作為最優(yōu)試驗(yàn)方案d*。

4.2 目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算

目標(biāo)函數(shù)的計(jì)算主要涉及p階分位壽命ξp的推導(dǎo)、數(shù)學(xué)模型及物理模型中先驗(yàn)參數(shù)的估計(jì)及AVar（ξp）的計(jì)算。其中模型中相關(guān)參數(shù)的估計(jì)比較簡單，可以參照文獻(xiàn)[1]給出的最小二乘估計(jì)方法進(jìn)行求解，這里重點(diǎn)給出AVar（ξp）的計(jì)算方法。

首先給出對(duì)數(shù)似然函數(shù)如下：

然后通過對(duì)式（6）求二階偏導(dǎo)可得到局部Fisher矩陣：

其中，l為對(duì)數(shù)似然函數(shù)，矩陣各項(xiàng)為l的二階偏導(dǎo)數(shù)在的值。

根據(jù)文獻(xiàn)[5]可很容易推導(dǎo)出p階分位壽命的極大似然估計(jì)為

則p階分位壽命ξp0的漸近方差估計(jì)為

其中

5 實(shí)例分析

采用文獻(xiàn)[5]中的實(shí)例進(jìn)行分析，發(fā)光二極管（LED）的使用壽命受到溫度和電流影響，其中該型LED的正常使用溫度為278K，最低加速應(yīng)力溫度為298 K，最高為378 K；正常使用電流25 mA，最低加速電流為28 mA，最高為40 mA。費(fèi)用參數(shù)分別為：Cb=2 000元/h，Cs=55元/h，Cm=0.3元/h，Ce=0.6元/h。試驗(yàn)樣品的先驗(yàn)信息如下：

為簡化優(yōu)化問題，特對(duì)試驗(yàn)變量做以下假設(shè)：

（1）為了簡化計(jì)算方便分析在此將應(yīng)力設(shè)置為等間隔，即

（2）在溫度最高為378K，最低為298K，電流最高為40mA，最低為28mA的應(yīng)力水平組合下，樣本大小n=5和n=8時(shí)，按照本文提出的方法對(duì)雙應(yīng)力步降加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行分析。具體情況如表1、表2所示。

比較分析表1與表2，可以得到如下結(jié)論：

（1）在試驗(yàn)費(fèi)用（試驗(yàn)截尾時(shí)間）及樣本量大小一定的條件下，目標(biāo)函數(shù)的值隨著應(yīng)力水平數(shù)的增加呈現(xiàn)先減小的趨勢。

（2）樣本量大小及應(yīng)力水平數(shù)一定的條件下，目標(biāo)函數(shù)的值隨著試驗(yàn)費(fèi)用（試驗(yàn)截尾時(shí)間）的增加呈現(xiàn)減小的趨勢。

在實(shí)際試驗(yàn)時(shí)，還需考慮應(yīng)力水平大小對(duì)優(yōu)化試驗(yàn)方案的影響，表3給出了n=8，k=3時(shí)最高應(yīng)力水平變化時(shí)的優(yōu)化試驗(yàn)方案。

表1 小樣本條件下雙應(yīng)力步降加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果（n=5)

表2 小樣本條件下雙應(yīng)力步降加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果（n=8)

從表3中可以得出，當(dāng)最低應(yīng)力水平Tmin、Vmin一定時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值A(chǔ)Var（ξp0）隨著最高應(yīng)力水平Tmax、Vmax的減小呈現(xiàn)先減小后增大得趨勢。

表3 小樣本條件下雙應(yīng)力步降加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果（n=8)

6 結(jié)束語

本文對(duì)小樣本條件下雙應(yīng)力步降加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了討論，給出在小樣本量條件下雙應(yīng)力步降加速退化優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般方法，分析不同小樣本量條件下，在不同費(fèi)用約束下的最優(yōu)試驗(yàn)方案；同時(shí)以n=8，k=3為例分析一定費(fèi)用條件下應(yīng)力變化對(duì)最優(yōu)試驗(yàn)方案的影響，得出一些指導(dǎo)小樣本下雙應(yīng)力步降加速退化試驗(yàn)的有用結(jié)論，補(bǔ)充和完善了加速退化試驗(yàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)理論框架。

[1]Wu S J，Chang C T.Optimal design of degradation tests in presence ofcostconstraint[J].Reliablity Engineering and System Safety，2002，76（2）：109-115.

[2]Tang L C，Yang G Y，Xie M.Planning of step-stress accelerated degradation test[C]∥ RAMS，Los Angeles，USA，2004：278-292.

[3]Ge Z Z，Li X Y，Zhang J R.Planning of step-stress accelerated degradation test with stress optimization[C]∥Advanced Materials Research，Germany，2010：118-120，404-408.

[4]Zhang J R，Jiang T M，Li X Y，et al.Optimization of step stress accelerated degradation test plans[C]∥17th Interna tional Conference on Industrial Engineering and Engineering Management，IE and EM 2010，China，2010（10）：947-951.

[5]Yu H F.Designing an accelerated degradation experiment with a reciprocal weibull degradation rate[J].Journal of Statistical Planning and Inference，2006，136（1）：282-297.

[6]Li X Y，Jiang T M.Optimal design for step-stress accel erated degradation with competing failure modes[C]∥Annual Reliability and Maintainability Symposium，2009：64-68.

[7]潘正強(qiáng)、周經(jīng)倫，彭寶華.基于Wiener過程的多應(yīng)力加速退化試驗(yàn)設(shè)計(jì)[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2009，8（29）：64-71.

[8]汪亞順，莫永強(qiáng)，張春華，等.雙應(yīng)力步進(jìn)加速退化試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析研究——模型與方法[J].兵工學(xué)報(bào)，2009，30（4）：451-456.

Optimization design of double-step-down-stress accelerated degradation test for small sample

Lü Meng，CAI Jin-yan，LIANG Yu-ying，PAN Gang，ZHANG Guo-long，MENG Jun
（Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China）

Performance of the high reliability and long life products on the condition of the small sample are affected by several stresses and it is hard to get the performance degraded information in limited test time in accelerated degradation test.This paper presented a method of optimal designs for the double-step-down-stress accelerating degradation test on condition of small sample.Simulating procedure of the test with Monte-Carlo and on the condition of the sample size was specified.Numbers of stress and inspection frequency were considered as variables. Asymptotic variance estimation of 100pth percentile of the lifetime distribution of the product at use condition was considered as goal function under the constraint of the total experiments cost. Finally，optimal designed model of the double-step-down-stress accelerated degradation test on condition of the small sample was established.Simulation results verify feasibility and the validity of this method.

smallsample； performance degradation； double-step-down-stressaccelerated degradation test；optimal design

TH123+.4；TJ206；TB114.3；TP277.3

：A

：1674-5124（2014)03-0129-04

10.11857/j.issn.1674-5124.2014.03.034

2012-08-05；

：2012-10-11

河北省重點(diǎn)基金項(xiàng)目（109635529D）

呂 萌（1984-），男，河北石家莊市人，博士研究生，研究方向?yàn)槲淦餍阅軝z測與故障診斷。