馮 飛，楊 博

（1.91388部隊(duì)，廣東 湛江 524022；2.東南大學(xué)，江蘇 南京 210096）

0 引 言

水聲換能器是水下各種發(fā)射、接收測(cè)量用傳感器的總稱(chēng)，它將水下的聲信號(hào)轉(zhuǎn)換成電信號(hào)（接收換能器即水聽(tīng)器），或?qū)㈦娦盘?hào)轉(zhuǎn)換成水下的聲信號(hào)（發(fā)射換能器）。換能器是聲納的重要組成部分，在水聲工程起著關(guān)鍵作用，許多發(fā)達(dá)國(guó)家都投入巨大的力量進(jìn)行研究[1]。水聲換能器必須定期進(jìn)行校準(zhǔn)以保證其可靠性。采用基于虛擬儀器技術(shù)的換能器自動(dòng)校準(zhǔn)系統(tǒng)可以在節(jié)約人力資源的同時(shí)提高校準(zhǔn)效率。

對(duì)水聲換能器的校準(zhǔn)來(lái)說(shuō)，可歸為如何準(zhǔn)確測(cè)量換能器-水聽(tīng)器的轉(zhuǎn)移阻抗[2]。傳統(tǒng)上，對(duì)其測(cè)量多采用譜分析法。針對(duì)譜分析法存在頻譜泄漏及柵欄效應(yīng)，以及存在多種限制條件的問(wèn)題，本文提出一種基于Levenberg-Marquardt（L-M）算法的曲線(xiàn)擬合法，實(shí)現(xiàn)對(duì)傳統(tǒng)方法的改進(jìn)。

1 校準(zhǔn)原理

水聲換能器的主要性能參數(shù)有自由場(chǎng)（電壓）靈敏度、發(fā)送電流響應(yīng)、發(fā)送電壓響應(yīng)、指向性函數(shù)等。根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)[3]，自由場(chǎng)靈敏度通?？刹捎们蛎娌ㄗ杂蓤?chǎng)互易法、柱面波自由場(chǎng)互易法、球面波自由場(chǎng)比較法、柱面波自由場(chǎng)比較法、噪聲均勻場(chǎng)比較法等。發(fā)送響應(yīng)通常采取比較法測(cè)量。

1.1 互易法校準(zhǔn)

互易法校準(zhǔn)是根據(jù)互易換能器遵守的電聲互易原理進(jìn)行校準(zhǔn)的一種絕對(duì)校準(zhǔn)方法[4]。該法采用3個(gè)換能器，其中至少有一個(gè)互易換能器（H），另兩個(gè)是發(fā)射器（F）和水聽(tīng)器（J）。在自由場(chǎng)遠(yuǎn)場(chǎng)中按圖1所示組合，做3次測(cè)量，分別測(cè)量每換能器對(duì)輸入發(fā)射器的電流i和水聽(tīng)器的開(kāi)路電壓u或其電轉(zhuǎn)移阻抗，就能獲得水聽(tīng)器J和互易換能器H的自由場(chǎng)靈敏度。計(jì)算公式為式（1）、式（2）。

圖1 互易法校準(zhǔn)

式中：MfJ，MfH——水聽(tīng)器J和互易換能器H在頻率f下的自由場(chǎng)靈敏度；

dXY——兩換能器的聲中心之間的距離；

ZXY——每隊(duì)換能器間的轉(zhuǎn)移阻抗，定義為接收端開(kāi)路電壓和發(fā)送端發(fā)送電流的比值。

1.2 比較法校準(zhǔn)

比較法校準(zhǔn)是與標(biāo)準(zhǔn)水聽(tīng)器或標(biāo)準(zhǔn)聲源比較的一種相對(duì)校準(zhǔn)方法[3]：將發(fā)射器（F）、標(biāo)準(zhǔn)水聽(tīng)器（P）及待校水聽(tīng)器（X）按圖2所示排列，分別測(cè)量換能器對(duì)（F-P）、（F-X）的電轉(zhuǎn)移阻抗模|ZFP|和|ZFX|，則待校水聽(tīng)器的自由場(chǎng)靈敏度MX為

從換能器各項(xiàng)主要參數(shù)的獲得方法[3]可以看出，校準(zhǔn)換能器的關(guān)鍵是獲得換能器的轉(zhuǎn)移阻抗ZXY，即水聽(tīng)器的開(kāi)路電壓與發(fā)射換能器的輸入電流之間的復(fù)數(shù)比值。

2 基于譜分析法的轉(zhuǎn)移阻抗測(cè)量

基于譜分析法的轉(zhuǎn)移阻抗測(cè)量主要采用以下3種方法[5]：（1）譜分析法。該方法首先對(duì)采樣信號(hào)做傅里葉變換，然后以離散傅里葉變換（DFT）進(jìn)行計(jì)算即可得到信號(hào)幅值。（2）加窗譜分析法。該方法對(duì)信號(hào)直接進(jìn)行截?cái)嘁赃M(jìn)行DFT的計(jì)算，相當(dāng)于對(duì)給信號(hào)加矩形窗，變換不同的窗函數(shù)形式，可以使得對(duì)信號(hào)幅值的估值精度有很大提高，是對(duì)譜分析法的改進(jìn)，解決了非整周期采樣造成的頻譜泄漏問(wèn)題。（3）Prony采樣法。采用該方法，是為了實(shí)現(xiàn)對(duì)正弦信號(hào)的整周期采樣，亦稱(chēng)同步采樣法。

圖2 比較法校準(zhǔn)

譜分析法在理論和實(shí)踐中主要存在以下問(wèn)題：

（1）計(jì)算原因引起的估值誤差；（2）頻率分辨力有限的問(wèn)題；（3）非整周期采樣引入的誤差；（4）水聽(tīng)器的接收信號(hào)有一個(gè)穩(wěn)定過(guò)程，傳統(tǒng)上，由人工選取穩(wěn)定區(qū)域，再由計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，這就導(dǎo)致了穩(wěn)定區(qū)域選擇的不確定性，從而產(chǎn)生了譜分析法結(jié)果的不確定性。

加窗譜分析法可以在很大程度上提高非整周期采樣時(shí)對(duì)信號(hào)幅值的估計(jì)精度，Prony采樣法實(shí)現(xiàn)了信號(hào)頻率與采樣頻率的同步，從而實(shí)現(xiàn)了整周期采樣。然而，這兩種方法都無(wú)法同時(shí)解決上述4個(gè)問(wèn)題。

3 基于曲線(xiàn)擬合法的轉(zhuǎn)移阻抗的測(cè)量

3.1 算法原理

曲線(xiàn)擬合法采用如式（4）的信號(hào)模型。將信號(hào)幅值A(chǔ)、相位φ和頻率f看作隨機(jī)變量，為換能器接收信號(hào)建模。根據(jù)一系列采樣值（t，f（t）），以最小二乘準(zhǔn)則，采用非線(xiàn)性擬合的L-M算法求解模型參數(shù)，最后以參數(shù)的估計(jì)值計(jì)算轉(zhuǎn)移阻抗。曲線(xiàn)擬合采用Levenberg-Marquardt算法進(jìn)行參數(shù)求解：

3.2 Levenberg-Marquardt算法

在非線(xiàn)性問(wèn)題的迭代求解過(guò)程中，高斯牛頓迭代具有二階的收斂速度，但迭代過(guò)程中的Hessian矩陣又可能變成奇異陣，出現(xiàn)迭代無(wú)法進(jìn)行的局面，因而穩(wěn)定性較差。Levenberg-Marquardt（L-M）算法則是在高斯牛頓法和梯度下降法之間進(jìn)行平滑調(diào)和，在遠(yuǎn)離最小值時(shí)逐漸切換到高斯牛頓法。它既有高斯牛頓法的局部收斂性，又具有梯度下降法的全局特性[6]。由于L-M算法利用了近似的二階導(dǎo)數(shù)信息，它比梯度法快得多。設(shè)x（k）表示第k次迭代的權(quán)值和閾值所組成的向量，新的權(quán)值和閾值組成的向量x（k+1）可根據(jù)下面的規(guī)則求得：

設(shè)誤差函數(shù)為

式中：E（x）——誤差；

Q——目標(biāo)向量元素?cái)?shù)目。

那么

式中：▽E（x）——梯度；

▽2E（x）——E（x）的Hessian矩陣；

對(duì)于高斯牛頓法有：

式中：μ——比例系數(shù)，常數(shù)；

Ⅰ——單位矩陣。

從該式可看出，如果μ=0，則為高斯牛頓法；如果μ取值很大，則L-M算法接近梯度下降法，每迭代成功一步，則μ減小一些，這樣在接近誤差目標(biāo)的時(shí)候，逐漸與高斯牛頓法相似。實(shí)踐證明，采用L-M及其改進(jìn)算法，速度可以比原梯度下降法提高幾十甚至上百倍[7-8]。

4 對(duì)比實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)以NI PXI-5412信號(hào)發(fā)生器發(fā)射不同頻率的正弦信號(hào)，以NI PXI-6133數(shù)據(jù)采集卡對(duì)其進(jìn)行采集，然后對(duì)幅值進(jìn)行估計(jì)。實(shí)驗(yàn)?zāi)M了在實(shí)際校準(zhǔn)中采樣點(diǎn)數(shù)的不確定性。如前文所述，采樣點(diǎn)數(shù)的不同將造成FFT計(jì)算時(shí)補(bǔ)零個(gè)數(shù)的不同。

4.1 測(cè)量精度

為了對(duì)比測(cè)量精度，實(shí)驗(yàn)以5412信號(hào)發(fā)生器，發(fā)射幅值為1V，頻率為1～79.5kHz的正弦信號(hào)，信號(hào)頻率步長(zhǎng)為500Hz，用6133數(shù)據(jù)采集卡對(duì)信號(hào)采樣，采樣時(shí)間t為滿(mǎn)足1ms

從圖3、圖4中可以看到：（1）譜分析法和Prony采樣法，對(duì)于信號(hào)的采樣長(zhǎng)度與FFT的點(diǎn)數(shù)的對(duì)應(yīng)程度（即需補(bǔ)零的個(gè)數(shù)）非常敏感，而加窗譜分析法可以有效地改善這一情況，能夠給出較準(zhǔn)確的幅值估計(jì)。對(duì)于曲線(xiàn)擬合法而言，這一情況對(duì)于幅值的估計(jì)不會(huì)造成影響，計(jì)算精度要高于基于譜分析的各種方法。（2）對(duì)于1～2kHz的頻段，加窗譜分析法產(chǎn)生了較大的誤差，這是由于采得的信號(hào)周期過(guò)少所致，而曲線(xiàn)擬合法對(duì)此情況有很好的適應(yīng)性。（3）曲線(xiàn)擬合法在50kHz的頻率點(diǎn)上出現(xiàn)了較大的誤差。此時(shí)，采樣頻率正好為信號(hào)頻率的2倍，而信號(hào)發(fā)生器產(chǎn)生的信號(hào)初相為0，從而導(dǎo)致所有采樣數(shù)據(jù)均為0，曲線(xiàn)擬合法不能給出準(zhǔn)確的估計(jì)。對(duì)于這種情況，在工程應(yīng)用中，只需調(diào)整采樣頻率即可。本文將采樣頻率調(diào)整為110 kHz后，可以準(zhǔn)確得到50 kHz信號(hào)的幅度的估值。（4）在欠采樣的條件下（頻段為50.5～79.5 kHz），曲線(xiàn)擬合法仍然可以給出準(zhǔn)確的估值。

圖3 無(wú)噪聲時(shí)的測(cè)量值

圖4 無(wú)噪聲時(shí)的測(cè)量誤差

為了研究曲線(xiàn)擬合法對(duì)噪聲的魯棒性，對(duì)信號(hào)加入高斯噪聲（σ2=0.03），仍采用前述實(shí)驗(yàn)條件，對(duì)信號(hào)幅值進(jìn)行估計(jì)，結(jié)果如圖5、圖6所示。

可以看出，曲線(xiàn)擬合法對(duì)噪聲有很好的適應(yīng)能力，可以滿(mǎn)足實(shí)際校準(zhǔn)的需要。

4.2 測(cè)量不確定度

測(cè)量不確定度是表征合理地賦予被測(cè)量之值的分散性，與測(cè)量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)[9]。校準(zhǔn)結(jié)果的不確定度反映了對(duì)被校量值認(rèn)識(shí)的不確定性，在水聲領(lǐng)域中通常用作對(duì)校準(zhǔn)結(jié)果的可靠性度量，是測(cè)試方法有效性的重要判據(jù)[10]。在4.1節(jié)所述條件下，進(jìn)行了對(duì)幅值估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的比對(duì)實(shí)驗(yàn)。標(biāo)準(zhǔn)不確定度定義為式（11），測(cè)試結(jié)果見(jiàn)圖7和圖8。

圖5 加入高斯噪聲(σ2=0.03)后的測(cè)量值

圖6 加入高斯噪聲（σ2=0.03）后的測(cè)量誤差

圖7 無(wú)噪聲時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

圖8 加入高斯噪聲(σ2=0.03)后的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

可以看出：（1）加窗譜分析法和曲線(xiàn)擬合法有較小的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，譜分析法和Prony采樣法的不確定度變化較大。（2）在加入噪聲后，譜分析法、加窗譜分析法和Prony采樣法的標(biāo)準(zhǔn)不確定度均有不同幅度的提高，而曲線(xiàn)擬合法的標(biāo)準(zhǔn)不確定度幾乎沒(méi)有變化。（3）在50kHz的頻率點(diǎn)上，曲線(xiàn)擬合法出現(xiàn)了較大的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，原因亦為采樣頻率正好為信號(hào)頻率的兩倍所致，改變采樣頻率為110kHz后，標(biāo)準(zhǔn)不確定度減小。

5 結(jié)束語(yǔ)

基于L-M算法的曲線(xiàn)擬合法，在對(duì)水聲換能器的轉(zhuǎn)移阻抗進(jìn)行測(cè)量計(jì)算時(shí)，測(cè)量精度高，標(biāo)準(zhǔn)不確定度小，在測(cè)量計(jì)算時(shí)，受限條件少，不需滿(mǎn)足基于譜分析法的各種方法所需的計(jì)算條件，在欠采樣的情況下，依然可以獲得很高的估算精度和很小的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。同時(shí)，具有較強(qiáng)的魯棒性，對(duì)噪聲適應(yīng)能力較強(qiáng)，可以滿(mǎn)足實(shí)際測(cè)試校準(zhǔn)工作的需求，具有一定的優(yōu)越性。

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