謝 展，于德介，李 蓉，呂 輝

(湖南大學(xué)，汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙 410082)

前言

汽車發(fā)動機懸置系統(tǒng)是汽車的關(guān)鍵彈性支承元件，對汽車的平順性、安全性和舒適性等有著重要影響。從被動隔振的角度看，它能隔離地面?zhèn)鬟f過來的低頻振動，從而保證發(fā)動機穩(wěn)定工作；從主動隔振的角度看，它能阻止發(fā)動機產(chǎn)生的振動向車架(車身)傳遞，從而降低車內(nèi)振動與噪聲。提高發(fā)動機懸置系統(tǒng)的隔振性能及其穩(wěn)健性，對于提高整車的NVH性能具有重要意義。

針對參數(shù)不確定問題，研究人員已經(jīng)提出了3種數(shù)學(xué)模型，即隨機模型、模糊模型和區(qū)間模型。文獻(xiàn)[1]中基于多目標(biāo)優(yōu)化與穩(wěn)健設(shè)計理論，提出了一種汽車懸架系統(tǒng)的多目標(biāo)隨機優(yōu)化方法。文獻(xiàn)[2]中利用響應(yīng)面法和區(qū)間分析方法構(gòu)建懸置系統(tǒng)的優(yōu)化模型，并采用連續(xù)二次規(guī)劃方法對其進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[3]中采用區(qū)間數(shù)學(xué)中的區(qū)間數(shù)描述懸置剛度的不確定性，提出了計算懸置系統(tǒng)固有頻率和解耦率的區(qū)間分析方法。但目前懸置系統(tǒng)的不確定性研究均只針對懸置剛度，沒有考慮懸置元件安裝位置的不確定性，但是它對隔振性能的影響更明顯[4]，設(shè)計中必須予以考慮。

本文中針對汽車發(fā)動機懸置系統(tǒng)參數(shù)的不確定性問題，基于區(qū)間分析理論，將穩(wěn)健設(shè)計與多目標(biāo)優(yōu)化相結(jié)合，對發(fā)動機懸置系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計。在區(qū)間數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上建立發(fā)動機懸置系統(tǒng)穩(wěn)健優(yōu)化模型，應(yīng)用加權(quán)方法將多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)優(yōu)化，以克服多目標(biāo)優(yōu)化的計算困難；采用多層次遺傳算法解決穩(wěn)健優(yōu)化模型中的優(yōu)化嵌套問題。懸置系統(tǒng)傳遞到車身的動反力大小直接表征了系統(tǒng)隔振性能的優(yōu)劣，動反力的波動過大不但達(dá)不到優(yōu)化的目的，而且會影響發(fā)動機的工作性能。為兼顧動反力的優(yōu)化及其穩(wěn)健性，該方法以動反力及其變化范圍最小為目標(biāo)函數(shù)，即懸置系統(tǒng)優(yōu)化性能的評價標(biāo)準(zhǔn)，以固有頻率的合理配置為約束條件，以懸置剛度為設(shè)計變量，并考慮懸置系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，將懸置剛度和懸置位置的變化范圍設(shè)為區(qū)間參數(shù)，對懸置系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化，達(dá)到良好的效果。

1 懸置系統(tǒng)的固有頻率和動反力

1.1 懸置系統(tǒng)的動力學(xué)模型

汽車發(fā)動機懸置系統(tǒng)的固有頻率一般在30Hz以下，而汽車動力總成各部分的一階彈性模態(tài)頻率一般都在60Hz以上，兩者相差甚遠(yuǎn)。因此，在對懸置系統(tǒng)進(jìn)行隔振降噪優(yōu)化時，發(fā)動機和車架可以被視為剛體。于是，汽車發(fā)動機在空間中的運動具有6個自由度，即沿3個相互垂直的軸線方向的往復(fù)直線運動和繞此3根軸線的回轉(zhuǎn)運動，這樣發(fā)動機懸置系統(tǒng)有6個振動模態(tài)以及相應(yīng)的6個固有頻率。懸置系統(tǒng)的6自由度動力學(xué)模型[5]如圖1所示。

根據(jù)拉格朗日方程，6自由度汽車發(fā)動機懸置系統(tǒng)的振動微分方程為

(1)

其中{X}=(xyzθxθyθz)

式中：{X}為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)；[M]為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；[K]為系統(tǒng)的剛度矩陣；[C]為系統(tǒng)的阻尼矩陣。

由于橡膠懸置元件的阻尼很小，且對固有頻率影響不大，所以阻尼可以忽略不計。因此式(1)可以改寫為

(2)

根據(jù)以上汽車發(fā)動機懸置系統(tǒng)動力學(xué)模型，在測得發(fā)動機的總質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量和慣性積以及各懸置的剛度、安裝位置和角度后，便可求得發(fā)動機懸置系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。

1.2 懸置系統(tǒng)的固有頻率配置

(3)

式中：i為氣缸數(shù)；n為發(fā)動機轉(zhuǎn)速；τ為沖程數(shù)。

另外，從避免共振的角度來看，要求對系統(tǒng)的固有頻率進(jìn)行合理配置。發(fā)動機懸置系統(tǒng)的各階振動頻率應(yīng)有一定間隔，一般要求最小差值在1Hz左右[6]。

1.3 懸置系統(tǒng)的動反力

汽車發(fā)動機在怠速工況且不考慮阻尼的情況下，懸置系統(tǒng)的強迫振動微分方程為

(4)

式中：{Fe}為系統(tǒng)所受的簡諧激勵力矢量。

懸置系統(tǒng)受迫振動的穩(wěn)態(tài)解為

{Udyn}=([K]-ω2[M])-1{Fe}

(5)

于是，第i個懸置傳遞給車身的動反力[5]為

{fi}={-[ki] [ki][ri]}{Udyn}

(6)

式中：[ki]為第i個懸置在全局坐標(biāo)系中的剛度矩陣；[ri]為第i個懸置位置坐標(biāo)的反對稱陣。

因此，怠速工況下懸置系統(tǒng)傳遞給車身的總動反力為

(7)

式中：fxi、fyi、fzi為第i個懸置在怠速工況下動反力的3個分量。

作為汽車的最主要振源，發(fā)動機傳遞到車身的動反力大小是懸置系統(tǒng)隔振性能的直接指標(biāo)，其值越低則表征系統(tǒng)隔振性能越好。此外，動反力的波動范圍過大會使發(fā)動機工作環(huán)境不穩(wěn)定，影響發(fā)動機的工作性能，故應(yīng)控制動反力的波動范圍。

2 基于區(qū)間分析的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計

在汽車發(fā)動機懸置系統(tǒng)的確定性優(yōu)化設(shè)計中，相關(guān)參數(shù)和設(shè)計變量都是確定性數(shù)值，其優(yōu)化模型為

(8)

式中：f(X)為目標(biāo)函數(shù)；gi(X)為約束函數(shù)；n為約束的個數(shù)；X為懸置剛度；S為設(shè)計空間。

然而，在工程實際中，汽車零部件在生產(chǎn)制造、安裝使用和汽車行駛環(huán)境中都存在著大量的不確定性。而參數(shù)的細(xì)微偏差或波動則可能導(dǎo)致系統(tǒng)性能大的波動，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)失效。因此，在懸置系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計過程中，必須考慮懸置參數(shù)的不確定性而進(jìn)行穩(wěn)健設(shè)計。穩(wěn)健設(shè)計通過調(diào)整變量的取值及其容差，使系統(tǒng)性能在參數(shù)發(fā)生一定變動的情況下仍能滿足設(shè)計要求。與確定性優(yōu)化相比，穩(wěn)健設(shè)計進(jìn)行了不確定性分析，更好地反映了懸置元件的實際情況，使懸置系統(tǒng)的設(shè)計與工程實際相吻合。針對參數(shù)的不確定性問題，區(qū)間理論近年來得到了廣泛的關(guān)注。由區(qū)間理論建立的汽車發(fā)動機懸置系統(tǒng)不確定性優(yōu)化模型為

(9)

式中：f(X,U)為目標(biāo)函數(shù)；gi(X,U)為約束函數(shù)；n為約束的個數(shù)；U為表示懸置位置的區(qū)間參數(shù)；UL和UR分別為區(qū)間參數(shù)的上下限；X為懸置剛度，取為設(shè)計變量；S為設(shè)計空間。

在式(9)中，目標(biāo)函數(shù)和約束由于區(qū)間參數(shù)設(shè)計變量的不確定性，其取值也是一個區(qū)間。文獻(xiàn)[7]中根據(jù)序關(guān)系提出：在工程實際中，不但要求目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計目標(biāo)值要小，且要求其取值范圍也要小。因此，目標(biāo)函數(shù)應(yīng)為

(10)

其中

(11)

式中：m(f(X,U))為目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計目標(biāo)值；w(f(X,U))為目標(biāo)函數(shù)的取值區(qū)間；fR(X,U)與fL(X,U)分別為目標(biāo)函數(shù)取值的上下限。

由式(10)和式(11)，式(9)所示的不確定性優(yōu)化問題可轉(zhuǎn)換成一個多目標(biāo)的確定性優(yōu)化問題。對于多目標(biāo)優(yōu)化問題，直接進(jìn)行優(yōu)化會給計算帶來困難，必須對其進(jìn)行相應(yīng)的處理。本文中采用加權(quán)法，即將多目標(biāo)優(yōu)化問題通過加權(quán)轉(zhuǎn)化成單目標(biāo)優(yōu)化問題，以便于優(yōu)化計算。加權(quán)處理后的汽車發(fā)動機懸置系統(tǒng)不確定性穩(wěn)健優(yōu)化模型為

(12)

式中：X為懸置剛度；XL與XR為懸置剛度取值的上下限；α為加權(quán)系數(shù)，其取值范圍為0～1。

從式(10)可知，基于區(qū)間分析的不確定性優(yōu)化問題，既要求得目標(biāo)函數(shù)的目標(biāo)值，也要求得目標(biāo)函數(shù)的最小值，這就產(chǎn)生了優(yōu)化嵌套問題。本文中采用遺傳算法對穩(wěn)健優(yōu)化模型進(jìn)行多層次全局優(yōu)化計算，以穩(wěn)健優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)為遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)，其尋優(yōu)過程分為兩步：首先，以懸置剛度為設(shè)計變量，在其設(shè)計空間內(nèi)產(chǎn)生第一層次初始種群；然后，以第一層次初始種群中的個體和懸置位置參數(shù)為區(qū)間變量，在其變化區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生第二層次初始種群代入適應(yīng)度函數(shù)計算；最終，通過上述迭代尋優(yōu)計算得到穩(wěn)健可靠的優(yōu)化解。

基于區(qū)間分析的汽車發(fā)動機懸置系統(tǒng)穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計流程如圖2所示。

3 數(shù)值算例

對圖1所示的某轎車發(fā)動機懸置系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計，該車發(fā)動機的布置方式是斜置式，并采用四點支撐方式。懸置系統(tǒng)的設(shè)計參數(shù)有懸置剛度、位置和安裝角度，但由于懸置位置和安裝角度涉及到整車尺寸設(shè)計，不易做出調(diào)整，因此選擇懸置剛度作為設(shè)計變量(共12個)，懸置位置(共12個)作為區(qū)間參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化前發(fā)動機懸置系統(tǒng)的剛度值和慣性參數(shù)值分別如表1和表2所示。

表1 優(yōu)化前各懸置的靜剛度值 N/mm

表2 發(fā)動機懸置系統(tǒng)的慣性參數(shù)值 kg·mm2

該車發(fā)動機為直列式四缸四沖程發(fā)動機，怠速轉(zhuǎn)速為900r/min，主要激勵力為2階往復(fù)慣性力，根據(jù)式(3)計算得其激勵頻率為30Hz。從隔振的角度出發(fā)，根據(jù)1.2節(jié)可算得懸置系統(tǒng)固有頻率的取值范圍應(yīng)為4～21Hz。從避免共振的角度出發(fā)，各階固有頻率之間的差值應(yīng)在1Hz以上。以懸置系統(tǒng)固有頻率的合理配置為優(yōu)化模型的約束條件，可表示為

(13)

本文中以動反力及其波動范圍最小為目標(biāo)函數(shù)，考慮到懸置剛度不能太“軟”也不能太“硬”，其取值區(qū)間為50～305N/mm，則懸置系統(tǒng)的確定性優(yōu)化模型為

(14)

考慮到懸置元件由于生產(chǎn)制造、安裝和測量過程中的不確定性，取位置參數(shù)的變化范圍為5mm,并且取加權(quán)系數(shù)為0.5，則懸置系統(tǒng)的穩(wěn)健優(yōu)化模型可表示為

(15)

對懸置系統(tǒng)初始模型進(jìn)行模態(tài)參數(shù)和動反力計算，結(jié)果如表3所示。由表可見：1階與2階、3階與4階固有頻率很接近，差值小于1Hz，從1.2節(jié)的分析可知，懸置系統(tǒng)容易發(fā)生共振；且懸置系統(tǒng)的動反力比較大，達(dá)到了287.28N；動反力的波動區(qū)間亦較大，變化范圍為48.33N。因此，須對此懸置系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化。

懸置系統(tǒng)確定性優(yōu)化后各懸置的靜剛度值如表4所示，優(yōu)化后的結(jié)果如表3所示。從表3可知，優(yōu)化后系統(tǒng)各階頻率之間的差值增大，都在1Hz以上，符合頻率合理配置的要求；動反力也得到較大改善，最小值只有185.10N，降幅達(dá)到了35.6%。但若考慮到懸置剛度的不確定性，假定其變化范圍為其優(yōu)化值的10%。在這個波動范圍內(nèi)，對懸置系統(tǒng)的動反力進(jìn)行穩(wěn)健性分析，計算得到其變化區(qū)間為[184.87,253.96]，波動幅度達(dá)到了最優(yōu)值的37.3%，說明即使不考慮懸置位置的不確定性，確定性優(yōu)化結(jié)果的穩(wěn)健性也很差。因此，須對此懸置系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計。

表3 懸置系統(tǒng)優(yōu)化前后參數(shù)對比

表4 確定性優(yōu)化后各懸置的靜剛度值 N/mm

穩(wěn)健優(yōu)化后的靜剛度值如表5所示，優(yōu)化后的結(jié)果如表3所示。從表3可知，優(yōu)化結(jié)果滿足頻率合理配置要求，且動反力的變化范圍降至最優(yōu)值的6.49%，穩(wěn)健性得到了提高，但動反力有一定的增大。若考慮懸置位置在5mm的范圍內(nèi)波動，得到動反力的變化區(qū)間為[178.52,203.41]，動反力的變化范圍為其最優(yōu)值的13.2%，比剛度穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計的動反力變化區(qū)間大一倍多?？梢?，懸置位置參數(shù)對懸置系統(tǒng)的影響比懸置剛度要明顯。因此，須同時考慮懸置系統(tǒng)的懸置剛度和懸置位置參數(shù)的不確定性。

表5 剛度穩(wěn)健優(yōu)化后各懸置的靜剛度值 N/mm

由于汽車發(fā)動機懸置位置參數(shù)是通過測量得到的，且懸置系統(tǒng)并不是在一個靜態(tài)的環(huán)境中工作，因此必須考慮二者引起懸置位置參數(shù)的不確定性，假設(shè)懸置系統(tǒng)位置參數(shù)取值在測量值附近的變化范圍為5mm。另外由于懸置元件的不確定性，其剛度值也會有一定的波動，假設(shè)其變化范圍為目標(biāo)值的10%。根據(jù)式(15)算得優(yōu)化后的各懸置的靜剛度值如表6所示，優(yōu)化后系統(tǒng)固有頻率及動反力結(jié)果如表3所示。從表3可知，優(yōu)化后系統(tǒng)固有頻率滿足合理配置的要求；與懸置剛度穩(wěn)健優(yōu)化的結(jié)果相比，其動反力目標(biāo)值進(jìn)一步降低，且其變化區(qū)間也進(jìn)一步縮小，其波動幅度為目標(biāo)值的9.4%，穩(wěn)健性得到了提高，滿足穩(wěn)健設(shè)計要求。

表6 穩(wěn)健優(yōu)化后各懸置的靜剛度值 N/mm

4 結(jié)論

(1) 在區(qū)間分析理論的基礎(chǔ)上，將穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計與多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計相結(jié)合，應(yīng)用遺傳算法，對懸置系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計。該方法在對懸置剛度進(jìn)行尋優(yōu)的同時，還考慮了懸置剛度和懸置位置參數(shù)的不確定性，從而在實現(xiàn)優(yōu)化的同時提高了懸置系統(tǒng)優(yōu)化結(jié)果的穩(wěn)健性。

(2) 對某轎車的發(fā)動機懸置系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計，結(jié)果表明：在固有頻率滿足合理配置要求的同時，穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計不僅大幅降低了懸置系統(tǒng)的動反力，且動反力的變化范圍也明顯縮小，說明該方法能有效用于懸置系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計。

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