王艷麗 李 俊

（1、2．安順學(xué)院數(shù)理學(xué)院，貴州 安順 561000）

概率論中獨(dú)立性的思考

王艷麗1李 俊2

（1、2．安順學(xué)院數(shù)理學(xué)院，貴州 安順 561000）

文章從概率空間出發(fā)，分別闡述了隨機(jī)事件的獨(dú)立性和隨機(jī)變量的獨(dú)立性，結(jié)合二維隨機(jī)變量這樣一種特殊情形說(shuō)明如何理解二者之間的關(guān)系。

隨機(jī)事件；隨機(jī)變量；獨(dú)立性；示性函數(shù)；可測(cè)函數(shù)。

設(shè)（Ω，F(xiàn)，P）是一概率空間，其中Ω是樣本空間，F(xiàn)是一σ－代數(shù)（F中集A為事件）表示A的概率。

一、事件的獨(dú)立性

定義1［3］若?A，B∈F，有P（AB）＝P（A）P（B），則稱A，B兩事件相互獨(dú)立。

直觀地說(shuō)，A，B的出現(xiàn)對(duì)對(duì)方是否出現(xiàn)沒(méi)有任何影響。

定理［3］若A，B獨(dú)立，則A與也相互獨(dú)立。

推廣［1］設(shè)A1，A2，∧An是n個(gè)事件，稱這些事件是相互獨(dú)立的。如果獨(dú)立事件常常伴隨獨(dú)立隨機(jī)試驗(yàn)列而出現(xiàn)，設(shè)｛Ei｝是一列隨機(jī)試驗(yàn)，｛Ei｝的基本事件空間是Ωi，設(shè)Ak是Ek中的任一事件，Ak?Ωk，如果Ak出現(xiàn)的概率不依賴于其他各次試驗(yàn)Ei（i≠k）的試驗(yàn)結(jié)果，就說(shuō)｛Ei｝是獨(dú)立隨機(jī)試驗(yàn)列。典型例子就是放回和不放回抽樣，如設(shè)箱子內(nèi)有α（α≥2）個(gè)白球，b個(gè)黑球，在其中連續(xù)取三次，每次取一個(gè)球，若取后不放回，則依上面所說(shuō)此試驗(yàn)就不是獨(dú)立隨機(jī)試驗(yàn)序列（因?yàn)楹竺娴娜》倲?shù)顯然依賴于其前所有結(jié)果）；若取后放回再取下一個(gè)，則此試驗(yàn)就獨(dú)立了。

二、隨機(jī)變量的獨(dú)立性

定義2［4］設(shè)（Ω，F(xiàn)，P）是一概率空間，ξ（ω）是定義在Ω上的單值實(shí)函數(shù)。如果?x∈R，有｛ω：ξ（ω）≤x｝∈F，則稱ξ（ω）為一隨機(jī)變量。

三、事件獨(dú)立與隨機(jī)變量獨(dú)立的關(guān)系（注：此處只討論一種兩維隨機(jī)向量的情形）

最后由（1）（2）（3）（4）可知：隨機(jī)變量與是相互獨(dú)立的。

由以上討論可得隨機(jī)事件獨(dú)立性的另外一充要條件：

命題3：設(shè)A，B是任意兩隨機(jī)事件，則A，B相互獨(dú)立的充要條件是IA（ω），IB（ω）相互獨(dú)立。

注：該命題可以推廣到多個(gè)隨機(jī)事件的情形（見［5］）。

［1］王梓坤·概率論基礎(chǔ)及其應(yīng)用［M］．北京：科學(xué)出版社．1979，27，75．

［2］陳俊雅，王秀花等編·概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的反例［M］．天津：天津科學(xué)出版社，93．

［3］盛驟等·概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］．高等教育出版社，74．

［4］程士宏編著·測(cè)度論與概率論基礎(chǔ)［M］．北京：北京大學(xué)出版社，20．

［5］吳俊·關(guān)于隨機(jī)事件獨(dú)立性的若干性質(zhì)［J］．安徽廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2000．2．

Thinking of Independence in Probability Theory

Wan Yanli1Li Jun2
（1、2．The School of Math ematics and Science，Anshun University，Anshun 561000，Guizhou，China）

This paper starts from probability space；describes the independence of random event and the independent of random varible respectively；indicates how to comprehend their correlation combining random vector of two-dimension．

random event；random varibe；independence；indicator function；measurable function．

王德紅）

G641

A

1673－9507（2014）01－0123－03

2013－10－30

貴州省教育廳自然科學(xué)研究青年項(xiàng)目 （項(xiàng)目編號(hào)：黔教科2010067）

1．王艷麗 （1976～），河南新鄉(xiāng)人，安順學(xué)院數(shù)理學(xué)院講師，碩士。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

2．李俊 （1981～），湖南邵東人，安順學(xué)院數(shù)理學(xué)院講師，碩士。研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。