孔祥振，方秦，吳昊

(解放軍理工大學(xué) 國(guó)防工程學(xué)院，江蘇 南京210007)

0 引言

動(dòng)能彈斜侵徹問(wèn)題是防護(hù)工程領(lǐng)域和武器研發(fā)領(lǐng)域的研究重點(diǎn)之一。彈體斜侵徹過(guò)程中，由于初始不對(duì)稱(chēng)力和自由表面的影響，彈體產(chǎn)生彎曲，且彈道發(fā)生偏轉(zhuǎn)。對(duì)該問(wèn)題的主要研究方法可分為經(jīng)驗(yàn)公式法、理論分析方法和數(shù)值模擬法。經(jīng)驗(yàn)公式和理論分析法可以較好地預(yù)測(cè)彈體的終點(diǎn)彈道參數(shù)，但若要研究斜侵徹過(guò)程中彈體的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，則須采用數(shù)值模擬方法。傳統(tǒng)的數(shù)值模擬方法基于守恒定律和控制方程，在離散的空間網(wǎng)格和時(shí)間點(diǎn)上求出所有控制方程的解，根據(jù)坐標(biāo)系選取的不同可以分為L(zhǎng)agrangian 法、Euler 法和ALE 法，而這些方法都必須基于對(duì)靶體材料的準(zhǔn)確描述，且需要考慮復(fù)雜的接觸算法，計(jì)算成本較高，此外，Lagrangian 方法可能由于大變形產(chǎn)生網(wǎng)格畸變而使計(jì)算終止［1］。

基于球形空腔膨脹理論，Warren 等［2-3］將靶體對(duì)彈體的作用用阻力函數(shù)代替，采用彈靶分離的方法，使用Sandia 國(guó)家實(shí)驗(yàn)室編制的PRONTO 3D［4］，分別對(duì)可變形鋼彈正侵徹鋁合金靶體和石灰?guī)r靶體進(jìn)行了數(shù)值模擬，模擬中同時(shí)考慮了微小偏航角的影響，該方法不需要對(duì)靶體進(jìn)行網(wǎng)格劃分，避免了復(fù)雜的接觸算法，從而節(jié)約了計(jì)算時(shí)間和成本，計(jì)算結(jié)果表明，該方法可以較好地預(yù)測(cè)彈體的運(yùn)動(dòng)及變形情況。何濤等［5-6］基于同樣的思想，采用ABAQUS/Explicit，結(jié)合自主開(kāi)發(fā)的子程序，分別對(duì)球形彈和卵形彈正侵徹鋁合金靶體進(jìn)行了數(shù)值模擬，模擬得到的侵徹深度和彈體變形情況與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

上述方法能否準(zhǔn)確模擬彈體的運(yùn)動(dòng)變形情況取決于阻力函數(shù)的準(zhǔn)確性。而空腔膨脹理論得到的阻力函數(shù)基于半無(wú)限大靶體假設(shè)，當(dāng)彈體斜侵徹時(shí)，由于自由表面的影響，需要對(duì)偏向自由表面一側(cè)的阻力函數(shù)進(jìn)行修正。Jung 等［7］認(rèn)為彈體表面到靶體自由表面的距離存在一個(gè)閥值，若距離小于閥值，則彈體表面點(diǎn)不受力，并經(jīng)驗(yàn)地確定了凍土的該閥值。然而，這忽略了自由表面效應(yīng)隨著空腔膨脹速度的增大而增大［8-9］。將靶體視為不可壓縮材料，Macek等［10］研究了有限空腔膨脹理論，確定了考慮自由表面效應(yīng)的阻力函數(shù)，但將靶體視為不可壓縮材料，會(huì)高估阻力函數(shù)［11-12］。Warren 等［8-9］將靶體視為不可壓縮材料，假定空腔膨脹產(chǎn)生塑性-彈性響應(yīng)分區(qū)，通過(guò)比較不可壓縮條件下得到的有限空腔表面應(yīng)力與無(wú)限空腔表面應(yīng)力，得到了自由表面效應(yīng)衰減函數(shù)，然后將其乘以可壓縮模型下得到的阻力函數(shù)，將可壓縮性引入到考慮自由表面效應(yīng)的阻力函數(shù)中，并分別對(duì)4340 高強(qiáng)鋼彈體斜侵徹鋁合金靶體和石灰?guī)r靶體進(jìn)行了數(shù)值模擬。對(duì)于鋁合金靶體，模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好;而對(duì)于石灰?guī)r靶體，入射速度較高時(shí)模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，而速度較低時(shí)，模擬得到的彈體轉(zhuǎn)動(dòng)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果差別較大。何濤等［13］將上述衰減函數(shù)推廣應(yīng)用于彈體貫穿金屬靶體的數(shù)值模擬中(同時(shí)考慮兩個(gè)自由表面的影響)，并對(duì)4340 高強(qiáng)鋼彈體斜貫穿鋁合金靶體進(jìn)行了數(shù)值模擬，模擬得到的彈體最終形態(tài)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

本文基于Warren 等［9］的工作，將靶體視為不壓縮的Mohr-Coulomb 材料，得到了基于塑性-開(kāi)裂-彈性響應(yīng)分區(qū)的自由表面效應(yīng)衰減函數(shù)，并將脆性材料半經(jīng)驗(yàn)阻力函數(shù)乘以該衰減函數(shù)進(jìn)行修正，然后采用彈靶分離的方法將修正后的阻力函數(shù)作為邊界條件施加于彈體表面，對(duì)4340(RC44.5)高強(qiáng)鋼彈體斜侵徹石灰?guī)r靶體進(jìn)行了數(shù)值模擬，并分別將數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)得結(jié)果及Warren 等［9］模擬結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了本文提出方法的正確性和優(yōu)越性。

1 考慮自由表面效應(yīng)的脆性材料半經(jīng)驗(yàn)阻力函數(shù)

本節(jié)將靶體視為不可壓縮的Mohr-Coulomb 材料，假定空腔膨脹產(chǎn)生塑性-開(kāi)裂-彈性響應(yīng)分區(qū)，構(gòu)造了自由表面效應(yīng)衰減函數(shù)，并將其乘以脆性材料半經(jīng)驗(yàn)阻力函數(shù)，得到了考慮自由表面效應(yīng)的脆性材料半經(jīng)驗(yàn)阻力函數(shù)。此外，由于彈靶之間摩擦機(jī)理尚不明確，而且彈靶之間摩擦系數(shù)是速度和壓力相關(guān)的，難以測(cè)量和確定，并且彈靶間的摩擦效應(yīng)已經(jīng)擬合到了動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度R 中，因此，本文計(jì)算中忽略了彈靶間摩擦的影響。

1.1 半經(jīng)驗(yàn)阻力函數(shù)

諸多混凝土和巖石等脆性材料靶體的正侵徹實(shí)驗(yàn)表明［14-15］，靶體的破壞形態(tài)為一個(gè)近似倒錐形的沖擊坑和一個(gè)直徑近似等于彈體直徑的鉆孔區(qū)組成，如圖1 所示，其中沖擊坑深度為Hc，彈體侵徹深度為Hp. 在鉆孔區(qū)，F(xiàn)rew 等［14］、Forrestal 等［15］基于動(dòng)態(tài)球形空腔膨脹理論和對(duì)實(shí)驗(yàn)的回歸分析，提出了半經(jīng)驗(yàn)的脆性材料靶體阻力函數(shù)公式，并被以后較多學(xué)者所采用，即

式中:σn為靶體阻力函數(shù);ρ0為靶體初始密度;R 為靶體的動(dòng)態(tài)抗壓強(qiáng)度;vn為瞬時(shí)彈體表面法向速度。對(duì)于混凝土靶體，R=Sfc，其中S 為無(wú)量綱靶體經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，包含了高溫、高壓、高應(yīng)變率、高靜水壓力等影響，F(xiàn)rew 等［16］通過(guò)對(duì)正侵徹實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的回歸得到S=82.6 ×fc-0.544，式中fc單位為MPa. 對(duì)于石灰?guī)r靶體，F(xiàn)rew 等［14］觀察到R 隨彈徑的增大而減小，因此建議R =Φ +φ(D0/D)，其中D 為彈體直徑，Φ、φ 和D0為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，通過(guò)擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，F(xiàn)rew等［14］建議Φ=607 MPa，φ=86 MPa，D0=25.4 mm.

圖1 侵徹兩階段模型Fig.1 Two-stage penetration model

在開(kāi)坑區(qū)，由于應(yīng)力波在靶體自由表面的反射引起靶體破壞，動(dòng)態(tài)球形空腔膨脹理論不再適用，F(xiàn)rew 等［14］、Forrestal 等［15］認(rèn)為彈體從自由表面到開(kāi)坑區(qū)和鉆孔區(qū)交界處阻力呈線(xiàn)性增長(zhǎng)，并認(rèn)為開(kāi)坑區(qū)深度為2 倍彈體直徑。在數(shù)值方法中，將開(kāi)坑區(qū)等分為10 層，則每一層的靶體阻力函數(shù)［3］為

式中:σn是按(1)式求得的靶體阻力函數(shù)。在開(kāi)坑區(qū)，由于靶體破壞產(chǎn)生的材料飛散，彈身位置并不受力，靶體阻力函數(shù)只作用于彈頭上。

1.2 考慮自由表面效應(yīng)的衰減函數(shù)

如圖2 所示，假設(shè)空腔在脆性材料中膨脹產(chǎn)生塑性-開(kāi)裂-彈性響應(yīng)分區(qū)，各響應(yīng)分區(qū)的分界面分別為rb、rc，空腔半徑為ra，空腔膨脹速度為，rd處為自由表面。將靶體視為不可壓縮的Mohr-Coulomb 材料，以下推導(dǎo)構(gòu)造塑性-開(kāi)裂-彈性響應(yīng)分區(qū)下的自由表面效應(yīng)衰減函數(shù)。

圖2 空腔膨脹響應(yīng)區(qū)Fig.2 Response regions for cavity expansion

球?qū)ΨQ(chēng)歐拉坐標(biāo)系下動(dòng)量和質(zhì)量守恒方程分別為

式中:σr和σθ分別為徑向和環(huán)向應(yīng)力，受壓為正，受拉為負(fù);ρ0和ρ 分別為靶體初始狀態(tài)和最終狀態(tài)的密度，當(dāng)靶體不可壓縮時(shí)有ρ=ρ0;粒子徑向位移s 和粒子徑向速度v 有以下關(guān)系:

對(duì)(4)式積分可以得粒子徑向位移為

將(6)式代入(5)式可得粒子徑向速度為

1.2.1 彈性區(qū)的求解

由于彈性區(qū)粒子位移很小，粒子徑向位移［17］可近似為

則彈性應(yīng)變?yōu)?/p>

對(duì)于不可壓縮材料，由胡克定律:

將(10)式代入動(dòng)量守恒方程(3)式，得

式中:Λ1為積分常數(shù)，可通過(guò)σr在自由表面處(r =rd)為0 求得。

1.2.2 開(kāi)裂區(qū)的求解

當(dāng)彈性區(qū)環(huán)向應(yīng)力σθ到達(dá)材料最大抗拉強(qiáng)度時(shí)，靶體由彈性區(qū)進(jìn)入開(kāi)裂區(qū)，則開(kāi)裂-彈性交界面上滿(mǎn)足:

式中:ft為靶體單軸抗拉強(qiáng)度。由Hugoniot 跳躍條件，開(kāi)裂-彈性交界面左右徑向應(yīng)力連續(xù)，則

利用牛頓迭代法解(14)式即可得開(kāi)裂-彈性交界面位置rc.

在開(kāi)裂區(qū)，σθ=0，將其代入動(dòng)量守恒式(3)式，則

式中:Λ2為積分常數(shù)，可由(16)式與(12)式在r =rc處相等求得。

1.2.3 塑性區(qū)的求解

脆性材料塑性區(qū)由Mohr-Coulomb 破壞準(zhǔn)則描述:

式中:λ、τ 為Mohr-Coulomb 常數(shù)。

塑性-開(kāi)裂交界面左右徑向應(yīng)力連續(xù)，則有

式中:Y 為靶體單軸抗壓強(qiáng)度。利用牛頓迭代法解(18)式即可得塑性-開(kāi)裂界面位置rb.

將(17)式代入(3)式得

式中:Λ3為積分常數(shù)，可由(20)式與(16)式在r=rb處相等得到。

當(dāng)空腔膨脹速度大于一定值時(shí)，開(kāi)裂區(qū)消失(rb＞rc)，響應(yīng)分區(qū)變?yōu)閺椝苄苑謪^(qū)，此時(shí)，塑性-彈性交界面位置可由下式［9］確定:

1.2.4 空腔表面徑向應(yīng)力的求解

由上述討論，空腔表面徑向應(yīng)力可通過(guò)以下步驟進(jìn)行求解:

1)由(14)式和(18)式分別求得rc、rb. 若rc＞rb，則空腔膨脹產(chǎn)生塑性-開(kāi)裂-彈性響應(yīng)分區(qū);若rc＜rb，則空腔膨脹產(chǎn)生塑性-彈性響應(yīng)分區(qū)。

2)若rc＞rb，依次利用(12)式、(16)式、(20)式即可求得空腔表面應(yīng)力。但若rc＞rd時(shí)，即不存在彈性區(qū)時(shí)，脆性材料受拉破壞，此時(shí)，令空腔表面徑向應(yīng)力σr(ra)=0.

3)若rc≤rb，依次利用(12)式、(20)式即可求得空腔表面應(yīng)力。但若rb＞rd時(shí)，即不存在彈性區(qū)時(shí)，脆性材料受壓破壞，此時(shí)令空腔表面徑向應(yīng)力σr(ra)=0.

1.2.5 衰減函數(shù)的構(gòu)造

若空腔在半無(wú)限靶體中膨脹，則產(chǎn)生塑性-開(kāi)裂-彈性響應(yīng)分區(qū)，此時(shí)空腔表面徑向應(yīng)力(ra)可由(12)式，(16)式和(20)式求得(令rd→∞)。則衰減函數(shù)構(gòu)造為

圖3 分別給出了不同空腔膨脹速度下，rd/ra與基于塑性-開(kāi)裂-彈性響應(yīng)分區(qū)得到的衰減函數(shù)和基于彈塑性響應(yīng)分區(qū)得到的衰減函數(shù)關(guān)系曲線(xiàn)。其中，靶體為Salem 石灰?guī)r，經(jīng)驗(yàn)參數(shù)如表1 所示。由圖3 可見(jiàn):1)當(dāng)空腔膨脹速度較低時(shí)，基于塑性-開(kāi)裂-彈性響應(yīng)分區(qū)得到的衰減函數(shù)比基于彈塑性響應(yīng)分區(qū)得到的衰減函數(shù)小，即采用塑性-開(kāi)裂-彈性響應(yīng)分區(qū)時(shí)，自由表面效應(yīng)影響較大;而當(dāng)空腔膨脹速度較高時(shí)，由于開(kāi)裂區(qū)消失，采用兩種響應(yīng)分區(qū)得到的衰減函數(shù)相同。2)隨著空腔膨脹速度的增大，自由表面效應(yīng)影響距離也越來(lái)越大。

圖3 衰減函數(shù)與自由表面距離的關(guān)系曲線(xiàn)Fig.3 Decay function vs. distance to the free surface

由上述分析，考慮自由表面效應(yīng)的半經(jīng)驗(yàn)阻力函數(shù)可確定為

表1 石灰?guī)r靶體經(jīng)驗(yàn)參數(shù)［9］Tab.1 Empirical parameters of limestone target［9］

2 有限元模型

由第1 節(jié)分析，侵徹過(guò)程中靶體對(duì)彈體的作用可以用阻力函數(shù)σn來(lái)代替，這樣，在進(jìn)行有限元模擬時(shí)，就可以將靶體的響應(yīng)作為邊界條件施加于彈體表面，從而避免了靶體網(wǎng)格的劃分和復(fù)雜的接觸算法。圖4 給出了彈體表面單元所受壓力邊界條件示意圖，各單元所受壓力可以表示為

式中:v 為結(jié)點(diǎn)速度矢量;n 為彈體表面在結(jié)點(diǎn)處的外法線(xiàn)方向。由上式可見(jiàn)，隨著侵徹過(guò)程中v 和n不斷變化，每個(gè)單元的瞬時(shí)壓力也在不斷變化，并且只有當(dāng)彈體表面單元位于靶體內(nèi)部時(shí)，壓力邊界條件才起作用。當(dāng)彈體斜侵徹靶體時(shí)，還需要考慮彈靶之間的分離效應(yīng)，本文采用的方法是當(dāng)(v·n)＜0 時(shí)，令壓力為0. 通過(guò)ABAQUS 用戶(hù)子程序［18］將上述方法植入，在每一個(gè)時(shí)間步子程序都會(huì)被調(diào)用一次，用來(lái)計(jì)算施加于彈體表面的壓力。

圖4 彈體表面壓力定義Fig.4 Definition of pressure boundary condition

3 數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

為驗(yàn)證本文提出方法的正確性和優(yōu)越性，本節(jié)首先對(duì)4340 高強(qiáng)鋼(RC44.5)彈體正侵徹石灰?guī)r靶體進(jìn)行了數(shù)值模擬，并對(duì)比了模擬得到的侵徹深度和實(shí)驗(yàn)測(cè)得值;然后對(duì)4340 高強(qiáng)鋼彈體斜侵徹石灰?guī)r靶體進(jìn)行了數(shù)值模擬，并分別對(duì)比分析了模擬得到的彈體最終形態(tài)與彈尖最終位置和實(shí)驗(yàn)測(cè)得值及Warren 等［9］的模擬結(jié)果。

本文對(duì)4340 高強(qiáng)鋼彈體采用冪次硬化本構(gòu)模型［1］，即

3.1 正侵徹條件下侵徹深度

Frew 等［14］分 別 進(jìn) 行 了7.1 mm、12.7 mm、25.4 mm不同直徑4340 高強(qiáng)鋼(RC44.5)彈體正侵徹石灰?guī)r靶體的實(shí)驗(yàn)，圖5 分別給出了數(shù)值模擬得到的侵徹深度和實(shí)驗(yàn)測(cè)得值。由圖5 可見(jiàn)，數(shù)值模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)吻合非常好，驗(yàn)證了本文的計(jì)算方法及其子程序的正確性。

圖5 正侵徹侵徹深度模擬值與實(shí)驗(yàn)值［14］對(duì)比Fig.5 Comparison of the depths of numerical simulation and experimental［14］penetrations

3.2 斜侵徹條件下彈體變形

Warren 等［9］進(jìn)行了4340 鋼(RC44.5)彈體以不同傾角和初速斜侵徹石灰?guī)r靶體的實(shí)驗(yàn)，表2 分別給出了不同工況下實(shí)驗(yàn)得到的彈體最終形態(tài)和依本文方法模擬得到的彈體最終形態(tài)及Warren 等［9］模擬得到的彈體最終形態(tài)圖。由表2 可見(jiàn)，當(dāng)傾角較小且初速較大時(shí)，本文模擬得到的結(jié)果和Warren等［9］模擬得到的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)吻合均較好;而當(dāng)傾角較大或初速較小時(shí)，本文得到的模擬結(jié)果較Warren等［9］模擬得到的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)更為接近，驗(yàn)證了本文提出基于脆性材料塑性-開(kāi)裂-彈性響應(yīng)分區(qū)得到的自由表面效應(yīng)模型的優(yōu)越性。

表2 不同工況下數(shù)值模擬得到的彈體變形情況與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比Tab.2 Comparison of the projectile deformations in numerical simulation，experiment and Ref.［9］

?

圖6 分別給出了不同工況下實(shí)驗(yàn)得到的彈尖最終位置和依本文方法模擬得到的彈尖最終位置及Warren 等［9］模擬得到的彈尖最終位置。由圖6 可見(jiàn)，依本文方法得到的彈尖最終位置較Warren 等［9］模擬得到的彈尖最終位置與實(shí)驗(yàn)更為接近，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文提出自由表面效應(yīng)模型的優(yōu)越性。

圖6 不同工況下數(shù)值模擬得到的彈尖最終位置與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比Fig.6 Comparison of the positions of the tips in numerical simulation，experiment and Ref. ［9］

4 結(jié)論

本文將脆性靶體視為不可壓縮Mohr-Coulomb材料，假定空腔膨脹產(chǎn)生塑性-開(kāi)裂-彈性響應(yīng)分區(qū)，構(gòu)造了自由表面效應(yīng)的衰減函數(shù)，并將衰減函數(shù)乘以基于半無(wú)限大靶體假設(shè)的半經(jīng)驗(yàn)阻力函數(shù)，得到了用于斜侵徹條件下半經(jīng)驗(yàn)阻力函數(shù)。

基于彈靶分離的方法，將靶體對(duì)彈體的作用用阻力函數(shù)代替，避免了靶體網(wǎng)格的劃分和復(fù)雜的接觸算法，對(duì)可變形彈斜侵徹石灰?guī)r靶體進(jìn)行了數(shù)值模擬。數(shù)值模擬結(jié)果表明，當(dāng)傾角較小且初速較大時(shí)，本文模擬得到的彈體最終形態(tài)和彈尖最終位置和Warren 等［9］模擬得到的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合均較好;而當(dāng)傾角較大或初速較小時(shí)，本文得到的彈體最終形態(tài)和彈尖最終位置較Warren 等［9］模擬得到的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果更為接近，驗(yàn)證了本文提出的基于脆性材料塑性-開(kāi)裂-彈性響應(yīng)分區(qū)的自由表面效應(yīng)模型的優(yōu)越性。

本文方法基于彈體無(wú)明顯磨蝕假設(shè)，而當(dāng)彈體高超聲速侵徹混凝土或巖石靶體時(shí)(著靶速度達(dá)到1 500 m/s)，高溫高壓以及骨料的摩擦和切削等作用會(huì)產(chǎn)生彈體頭部磨蝕效應(yīng)。因此進(jìn)一步的研究應(yīng)在于將彈體磨蝕嵌入本文方法中，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)彈體磨蝕和運(yùn)動(dòng)的耦合分析。

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